吳永慶

[摘 要]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課堂是開放性的課堂，它能夠給予學(xué)生積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流的機(jī)會(huì)，是學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，感悟數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要場(chǎng)所。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課堂中應(yīng)該給予學(xué)生充足的實(shí)驗(yàn)探究時(shí)間，盡可能不給或少給限制和提示，鼓勵(lì)學(xué)生用自己喜歡的契合自身實(shí)際的認(rèn)知方式去探索和發(fā)現(xiàn)，尊重學(xué)生思維的獨(dú)立性和多樣性。

[關(guān)鍵詞]多邊形內(nèi)角和；實(shí)驗(yàn)；生動(dòng)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）29-0028-02

弗賴登塔爾提出：“‘學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是做，通過‘做進(jìn)行‘再創(chuàng)造?！薄读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也提出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程?！币虼?，教師在課堂中要挖掘可以給學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的素材，創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)問題情境，由學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建解決問題的基礎(chǔ)模型，給予學(xué)生充足的實(shí)驗(yàn)探究時(shí)間，讓學(xué)生多角度嘗試和發(fā)現(xiàn)，從而經(jīng)歷知識(shí)的形成過程，感悟數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，最終形成數(shù)學(xué)研究素養(yǎng)。

【教學(xué)片段一】自主探究 尋求方向

（從四邊形開始探索多邊形的內(nèi)角和時(shí)，學(xué)生通常會(huì)選擇一些特殊的四邊形，試圖通過特殊的例子尋找實(shí)驗(yàn)的思路和方法）

生1：我們組選用正方形來研究。正方形的四個(gè)角都是90°，所以四邊形的內(nèi)角和是360°。

生2：我們組選用長(zhǎng)方形進(jìn)行研究。由于長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是90°，所以我們認(rèn)為四邊形的內(nèi)角和是360°。

生3：我們組選擇的是平行四邊形。把平行四邊形分成兩個(gè)三角形，一個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，平行四邊形的內(nèi)角和就是兩個(gè)180°，也就是360°，所以我們也認(rèn)為四邊形的內(nèi)角和是360°。

（雖然學(xué)生選擇的都是特殊的多邊形，但他們的實(shí)驗(yàn)思路卻具有一般性）

師：其他的四邊形的內(nèi)角和也可以像平行四邊形一樣分成兩個(gè)三角形來求嗎？請(qǐng)小組合作，任意畫一個(gè)四邊形進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。

生（實(shí)驗(yàn)研究后總結(jié)）：不論是什么樣的四邊形，只要任意連接其中一條對(duì)角線，就可以把四邊形分成兩個(gè)三角形（如圖1）。因此，四邊形的內(nèi)角和是360°。

實(shí)驗(yàn)研究能夠培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、動(dòng)手能力、探索和合作精神，因此，教師應(yīng)設(shè)計(jì)開放式的實(shí)驗(yàn)，在學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究過程中盡可能不給或少給限制和提示，讓學(xué)生自主尋找實(shí)驗(yàn)思路，思考實(shí)驗(yàn)方法。對(duì)于同一問題，學(xué)生在探究時(shí)會(huì)出現(xiàn)殊途同歸的情況，對(duì)此，教師應(yīng)當(dāng)在學(xué)生實(shí)驗(yàn)探究的過程中扮演問題關(guān)鍵點(diǎn)的點(diǎn)撥者，引導(dǎo)學(xué)生把握實(shí)驗(yàn)研究的方向。在四邊形內(nèi)角和的研究中，其中兩組學(xué)生通過研究正方形和長(zhǎng)方形很快就猜測(cè)四邊形的內(nèi)角和是360°，這是試圖從特殊情況去獲取一般情況，而第三組的學(xué)生把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形，通過三角形的內(nèi)角和推理得到四邊形的內(nèi)角和。雖然平行四邊形也是特殊的四邊形，但這個(gè)實(shí)驗(yàn)的思路和方法卻是值得推廣的。此時(shí)，教師應(yīng)通過追問引導(dǎo)學(xué)生步入正確的實(shí)驗(yàn)軌道。顯然，只有在教學(xué)中給予學(xué)生廣闊的實(shí)驗(yàn)空間，對(duì)學(xué)生思維不加限制，并在學(xué)生遇到困難時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥，才能讓學(xué)生充分地動(dòng)起來。

【教學(xué)片段二】方法遷移 多面開花

（對(duì)于五邊形的內(nèi)角和，因?yàn)橐呀?jīng)有了四邊形內(nèi)角和的研究經(jīng)驗(yàn)，絕大多數(shù)學(xué)生很容易想到將五邊形分成若干個(gè)已知內(nèi)角和的多邊形來進(jìn)行研究）

生1：我們把五邊形分成三個(gè)三角形（如圖2），所以五邊形的內(nèi)角和是180°×3=540°。

生2：我們把五邊形分成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形（如圖3），所以五邊形的內(nèi)角和是180°+360°=540°。

生3：我們把五邊形分成五個(gè)三角形（如圖4），但是中間卻多算了一個(gè)周角的度數(shù)，所以五邊形的內(nèi)角和是180°×5-360°=540°。

對(duì)于五邊形內(nèi)角和的實(shí)驗(yàn)探究，教材推薦的方法與生1的相同，從節(jié)省時(shí)間的角度來講，教師可以直接引導(dǎo)學(xué)生利用生2的方法進(jìn)行研究，然而，積累數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)重于知識(shí)的獲取，只有在探究時(shí)給予學(xué)生充足的時(shí)間，不束縛研究思路，回報(bào)才會(huì)是豐碩的：學(xué)生的思路打開了，他們能夠利用探索四邊形內(nèi)角和的經(jīng)驗(yàn)，將五邊形轉(zhuǎn)化成已知內(nèi)角和的多邊形，這不僅僅是三角形，也可以是三角形“+”四邊形；不僅僅是“+”，也可以出現(xiàn)“-”——生3的思路又為深度探究提供了思維支撐。至此，學(xué)生的“動(dòng)”讓整節(jié)課展現(xiàn)了更新的活力。

【教學(xué)片段三】提煉規(guī)律 深度理解

1.成果匯總，初探規(guī)律

根據(jù)推導(dǎo)出的不同多邊形的內(nèi)角和，教師組織學(xué)生歸納并總結(jié)規(guī)律。

2.深度探究規(guī)律

師：多邊形的內(nèi)角和為什么不是幾條邊就是幾個(gè)180°的和，而是邊數(shù)減2后乘以180°？你們能夠用自己的研究來解釋這個(gè)現(xiàn)象嗎？

生1：我們?cè)谘芯课暹呅蝺?nèi)角和時(shí)將五邊形分成了五個(gè)三角形，但是這種分法必定多算了一個(gè)周角，也就是180°×2，所以用“180°乘以邊數(shù)（5）后必須減去多算的兩個(gè)180°。研究六邊形時(shí)也存在這樣的問題，所以多邊形的內(nèi)角和一定是“180°×（邊數(shù)-2）”。

生2：我們是把多邊形分成若干個(gè)三角形，在分的時(shí)候發(fā)現(xiàn)至少三個(gè)頂點(diǎn)才能得一個(gè)三角形，在此基礎(chǔ)上，而每增加一個(gè)頂點(diǎn)，就會(huì)多得一個(gè)三角形，多邊形是幾條邊就有幾個(gè)頂點(diǎn)，那么這樣分得的三角形個(gè)數(shù)就必定比多邊形的頂點(diǎn)數(shù)少2，可以看成“邊數(shù)-2”，所以多邊形的內(nèi)角和是“180×（邊數(shù)-2）”。endprint

弗賴登塔爾說：“在較低層次的活動(dòng)過程中的想法、制造的數(shù)學(xué)工具等會(huì)變成高層次學(xué)習(xí)時(shí)思考的物件。”也就是說，在實(shí)驗(yàn)探究的過程中，學(xué)生探究的思路，活動(dòng)的過程、表達(dá)的語言、總結(jié)的公式等都會(huì)變成更高層次學(xué)習(xí)的媒介。對(duì)于這些重要的生成性資源，教師要有意識(shí)地進(jìn)行拾取，讓學(xué)生退回下一層或自然進(jìn)入更高層次的學(xué)習(xí)。在學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)探究出多邊形內(nèi)角和的一般規(guī)律“180°×（邊數(shù)-2）”后，教師對(duì)學(xué)生的結(jié)論進(jìn)行有意引導(dǎo)，可引發(fā)學(xué)生對(duì)規(guī)律的進(jìn)一步探究，從而讓學(xué)生對(duì)于規(guī)律的理解上升到更高層次。

【教學(xué)片段四】外延拓展 擴(kuò)大成果

師：其實(shí)多邊形除了內(nèi)角之外還有外角。如圖5，這個(gè)三角形中的∠1、∠2、∠3是內(nèi)角，而∠4、∠5、∠6是和這些內(nèi)角相對(duì)應(yīng)的外角。通過剛才的實(shí)驗(yàn)探究我們發(fā)現(xiàn)每一種多邊形都有固定的內(nèi)角和，且這些多邊形的內(nèi)角和是有規(guī)律可循的，即180°的倍數(shù)，是不是多邊形的外角和和內(nèi)角和一樣也存在著規(guī)律呢？

生1：我們組用量角器量出了每個(gè)外角的度數(shù)，求出三角形的外角和是360°。

生2：我們組是認(rèn)為每個(gè)內(nèi)角和對(duì)應(yīng)的外角的和正好是一個(gè)平角（180°），那么三角形內(nèi)角與外角的總和就是180°×3=540°，而三角形的內(nèi)角和是180°，所以外角和就是540°-180°=360°。

在研究三角形外角和的基礎(chǔ)上，學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)探究四邊形、五邊形、六邊形的外角和。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課堂應(yīng)當(dāng)是開放性的課堂，教學(xué)內(nèi)容的選擇不要拘泥于教材，要關(guān)注與學(xué)生探究活動(dòng)中有關(guān)的知識(shí)，讓學(xué)生的體驗(yàn)過程更加完整。通過數(shù)據(jù)匯總，學(xué)生發(fā)現(xiàn)內(nèi)外角總和總是比內(nèi)角和多“180°×2”，更是明晰了360°的來歷。這樣，外角和作為本節(jié)課的主要知識(shí)，既讓學(xué)生感受到了每種多邊形內(nèi)角和的“統(tǒng)一”，又讓學(xué)生在教學(xué)最后對(duì)外角和的挖掘研究中感悟到數(shù)學(xué)的“同一”，這不正是數(shù)學(xué)的美嗎？

讓學(xué)生“動(dòng)”起來的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課堂，能創(chuàng)造更多的機(jī)會(huì)并給予充足的時(shí)間讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)探究中經(jīng)歷知識(shí)形成的過程，從而理解數(shù)學(xué)概念、體會(huì)數(shù)學(xué)思想、形成數(shù)學(xué)技能。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬等，編譯.上海：上海教育出版社，1995.

[2] 陳士文.白話數(shù)學(xué)：“1”和“三角形”[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2016（2）.

[3] 陳燕虹.“數(shù)學(xué)是人類活動(dòng)”觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)活動(dòng)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2016（6）.

（責(zé)編 金 鈴）endprint