雷世清

摘要：數(shù)學核心知識是數(shù)學核心價值的主要載體。數(shù)學學科的核心價值研究，若能夠與數(shù)學核心知識的教學有機融合到一起，那么教學轉(zhuǎn)型必定能夠起到事半功倍的效果.本文結(jié)合《數(shù)列求和》復(fù)習模塊的教學實踐，兼談從數(shù)學核心知識到數(shù)學核心價值教學轉(zhuǎn)型研究的一些思考.

關(guān)鍵詞：核心知識 ；核心價值； 教學轉(zhuǎn)型 ；PBL教學模式

案例背景

上海教育出版書出版高二年級第一學期數(shù)學（試用本）第7章《數(shù)列與數(shù)學歸納法》第一節(jié)內(nèi)容是《數(shù)列》.學生在學習這一節(jié)內(nèi)容之后，在運用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式時運算經(jīng)常出錯。于是我嘗試改編課本和練習冊相關(guān)問題，運用了PBL（Problem-based Learning 即基于問題的學習）教學模式，安排了一節(jié)《數(shù)列求和》復(fù)習模塊課.

案例主題

1.熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式.

2.掌握一些既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列的數(shù)列求和的常見方法，能熟練運用這些方法解決數(shù)列求和問題，體驗等價轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想的運用.

3.學會觀察、思考、表達，形成分析問題與解決問題的能力和探究創(chuàng)新意識.

教學方法與手段引導(dǎo)啟發(fā) 自主探究 練、講、議、思相結(jié)合

案例敘述

片段一 復(fù)習與回顧

1. 等差數(shù)列{an}的前n項和公式為 Sn=____________或Sn=_____________.

等比數(shù)列{an}的前n項和公式為 Sn=_______________.

2.求和：（1）1+3+5+···+（2n-1）=_________________ （n∈N*）；

（改編 教材第30頁 例1、教材第34頁 練習7.5 第1（1）題）

（2）已知a≠0，n∈N*，則1+a+a2+a3+…+an= _______________.

（改編 教材第34頁 練習7.5 第1（2）題、練習冊 第12頁 習題7.4 A組 第1（1）題）

3.已知數(shù)列{an}前項的和Sn，則 an=______________.

思考：已知數(shù)列{an}的通項公式，如何求該數(shù)列前n項和Sn=？

設(shè)計意圖：溫故知新；考查數(shù)列項數(shù)的確定及等比數(shù)列前n項求和公式注意事項.

活動要求：學生課前完成，課上相互評價.

第1、2（1）、3題，學生做得很好.第2（2）題學生討論熱烈，最后達成了共識.

T：誰小結(jié)一下.

S：要熟練運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項的和的公式.若等比數(shù)列的公比含參數(shù)，看一看是否需要討論哦.

T：小結(jié)得很好.數(shù)列求和在高中數(shù)學中占有很重要的地位.本節(jié)課我們來研究既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列的數(shù)列的求和問題.（板書課題：數(shù)列求和）

判斷二 探究活動

例1 求和：（1）112+214+318+…+（n+12n）（n∈N*）；

（改編 練習冊 第15頁 習題7.6 A組 第3題）

（2）9+99+999+···+（10n-1）（n∈N*）.

設(shè)計意圖：先化簡通項公式，再分組求和（數(shù)列求和的基本方法）.

T：請問這個數(shù)列是等差或等比數(shù)列嗎？你是怎么求得的？分組板演、交流.

第1小組代表：上黑板板演

原式=（1+12）+（2+14）+（3+18）+···+（n+12n）

=（1+2+3+···+n）+（12+14+18+···+12n）

=n（1+n）2+12[（1-（12）n]1-12=n22+n2+1-12n

然后匯報：將原數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的求和.

第2小組代表：上黑板板演

原式=（101-1）+（102-1）+（103-1）+···+（10n-1）

=（10+102+103+···+10n）-（1+1+1+···+1n個1）=10（1-10n）1-10-n=10n+19-109-n.

然后匯報：將原數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列喝一個常數(shù)列的求和..

T：投影其它組探究情況.

T：剛才從各小組探究情況都說明：若一個數(shù)列既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，但它是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相加所得的新數(shù)列.這種把通項公式拆成兩個或兩個以上的等差或等比數(shù)列的求和的方法叫做分組求和法（板書）.這種方法是拆項法的一種，運用了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.

例2 求和：（1） 11×2+12×3+13×4+···+1n（n+1）（n∈N*）；

（改編 練習冊第15頁 7.6 A組 第3題）

（2）11×3+12×4+13×5+···+1n（n+2）（n∈N*）.

（改編 教材第35頁 例2）

設(shè)計意圖：用裂項相消法求數(shù)列的前n項的和（常用數(shù)列求和方法之一）.

T；請分組討論、板演、交流.

學生開始思考，有的低著頭在算、有的竊竊交流、有的學生在沉思……，很快學生討論聲四起.

第3小組代表：上黑板板演

（1）解：因為 1n（n+1）=1n-1n+1，

所以 原式=（1-12）+（12-13）+（13-14）+···+（1n-1n+1）=1-1n+1=nn+1.

然后匯報交流.

小組4代表：上黑板板演

（2）解：因為 1n（n+2）=12（1n-1n+2），

所以 原式=12[（1-13）+（12-14）+（13-15）+（14-16）···+（1n-1n+2）]

=12（1+12-1n+1-1n+2）=12（32-1n+1-1n+2）=34-12（n+1）-12（n+2）.

然后匯報交流.

T：投影其它組探究情況.

全體學生聚精會神聽著、看著……

T：剛才從各小組探究情況看，求數(shù)列求和前，先根據(jù)通項的結(jié)構(gòu)化簡再求和.我們把上述求和方法形象稱之為裂項相消法（邊講邊板書），這種方法也是拆項法的一種.

例3若數(shù)列an的前n項和為Sn，且an=2n-1，1≤n≤3，

2n-7，n≥4，n∈N ，求Sn.

設(shè)計意圖：用分段求和方法求數(shù)列的前n項的和（也是常用數(shù)列求和方法之一）.

活動要求：各小組先合作探究，然后搶答.若搶答錯誤，再進行下一輪搶答.

學生們積極參與探究活動中……

S1：Sn=（1+2+4）+[1+3+5+···+（2n-7）]

=7+（n-3）[1+（2n-7）]2=n2-6n+16.

T：同學們，上述回答對嗎？

S：不完全對.

T：繼續(xù)搶答.

S2：當1≤n≤3時，Sn=1-2n1-2=2n-1，當n≥4時，Sn=（1+2+4）+[1+3+5+···+（2n-7）]

=7+（n-3）[1+（2n-7）]2=n2-6n+16，

所以 Sn=2n-1，1≤n≤3，

n2-6n+16，n≥4， n∈N.

T：未作評判.問：為什么這樣分類？

S2：由題意知 該數(shù)列的前三項是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，它從第四項起為以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以這么分類.

其他學生：鼓掌.

T：這位同學回答得很好！這種數(shù)列求和方法稱之為——分段求和（同學集體回答）.

片段三 鞏固與反思

求數(shù)列1，1+2，1+2+4，…， 1+2+22+···+2n-1，…的前n項和Sn.

學生都認真作答，我不斷巡視著，并不時與學生對話、交流。

片段四 學習小結(jié)

T：本節(jié)課你都掌握了哪些數(shù)列求和的方法？數(shù)列求和涉及哪些數(shù)學思想方法？

S：（1）利用公式求和：利用等差、等比數(shù)列求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.

（2）分組法求和：將數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和.

（3）裂項法求和：將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.

（4）分段求和：就n進行分類討論再求和.

另外，在數(shù)列求和過程中，運用了化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想方法.

T：小結(jié)得很精彩.（補充）其中（2）、（3）的方法統(tǒng)稱為拆項法.同學們，不管用什么方法求和，方法的實質(zhì)都是把既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題.

案例反思

本節(jié)課運用了PBL（Problem-based Learning 即基于問題的學習）教學模式進行了從數(shù)學核心知識到數(shù)學核心價值教學轉(zhuǎn)型研究。本節(jié)課整合資源，改編教材和練習冊相關(guān)問題，學生在參與一系列探究活動過程中形成了一定的歸納總結(jié)能力、探究能力和創(chuàng)新意識.本節(jié)課突出了化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學思想方法的運用，突破了教學難點，教學目標達成度高.

（作者單位：上海市嘉定區(qū)教師進修學院 201800 ）