黃元宋

【摘要】“變量與函數(shù)”是滬科版八年級(jí)上冊(cè)的重要教學(xué)內(nèi)容。本文論述教師要遵循科學(xué)的探究理念，把握函數(shù)概念的本質(zhì)，合理運(yùn)用正、反實(shí)例，讓學(xué)生體驗(yàn)概念的探究過(guò)程，準(zhǔn)確理解函數(shù)特征，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象概括的能力。

【關(guān)鍵詞】《變量與函數(shù)》 概念教學(xué) 對(duì)應(yīng) 反例 特征

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）09A-0065-02

函數(shù)概念是數(shù)學(xué)的基本概念之一，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著十分重要的作用。初中階段的函數(shù)概念是從動(dòng)態(tài)變化和聯(lián)系對(duì)應(yīng)的角度來(lái)進(jìn)行定義的，該定義是對(duì)一個(gè)變化過(guò)程中兩個(gè)量的描述。由于函數(shù)的特征是變化發(fā)展的，加上學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備不足，導(dǎo)致了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解有困難。因此，在課堂教學(xué)中教師要結(jié)合實(shí)例，幫助學(xué)生完成思維的飛躍。

一、抓住函數(shù)本質(zhì)，突出“變化”與“對(duì)應(yīng)”思想

從函數(shù)概念的本源來(lái)看，函數(shù)的起源來(lái)自于對(duì)事物運(yùn)動(dòng)、變化的分析，它描述了客觀事物之間存在的動(dòng)態(tài)變化而又互相依存的特殊關(guān)系，正是這種關(guān)系的存在，使得處于變化中的兩個(gè)變量相互制約、相互牽制。因此，“變化”是函數(shù)的本質(zhì)屬性，也是函數(shù)教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)，教師應(yīng)以函數(shù)“變化”作為突破口展開(kāi)教學(xué)。

在“變量與函數(shù)”教學(xué)問(wèn)題提出的初始階段，教師可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：

一輛汽車(chē)以每小時(shí)60千米的速度勻速行駛，行駛的里程為s千米，時(shí)間為t小時(shí)，首先填寫(xiě)下表，然后嘗試用含有t的式子表示s。

學(xué)生在面對(duì)上述問(wèn)題中s=60t時(shí)，對(duì)于給定的t值，也可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的s值，但大多數(shù)學(xué)生僅是將其作為一個(gè)個(gè)獨(dú)立的算式，沒(méi)有從整體上進(jìn)行聯(lián)系，更不能深刻體會(huì)該過(guò)程中變量s隨著變量t的變化而變化。因此，教師要設(shè)計(jì)一些典型的例子，計(jì)算由自變量得到相應(yīng)的函數(shù)值，讓學(xué)生在觀察、比較、分析具體問(wèn)題中量與量之間的變化關(guān)系。對(duì)于靜止的表達(dá)式或表格，要引導(dǎo)學(xué)生將其看作是動(dòng)態(tài)的過(guò)程，讓學(xué)生從靜止的關(guān)系中逐步過(guò)渡到量與量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系上，實(shí)現(xiàn)靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的飛躍。

另外，函數(shù)的本質(zhì)也存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。在學(xué)習(xí)函數(shù)之前，教材已經(jīng)滲透了“對(duì)應(yīng)”的思想，例如有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，因此在教學(xué)函數(shù)概念時(shí)，教師要通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生感受“對(duì)應(yīng)”思想，通過(guò)非概念的變式使學(xué)生明晰“對(duì)應(yīng)”是“唯一”確定的對(duì)應(yīng)。

例如在概念探索階段可以出示如下問(wèn)題：

某地區(qū)一天內(nèi)的氣溫變化情況圖

（1）圖象中存在的兩個(gè)變量分別是什么？

（2）溫度T取到一個(gè)定值時(shí)，時(shí)間t是否唯一確定？請(qǐng)說(shuō)出該地區(qū)t=12時(shí)的溫度。

通過(guò)引導(dǎo)提問(wèn)，讓學(xué)生從直觀上感受函數(shù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，理解“唯一確定”的含義，明晰函數(shù)概念。

函數(shù)是從數(shù)量角度來(lái)反映變化規(guī)律的模型，對(duì)于函數(shù)概念的“變化”和“對(duì)應(yīng)”思想，教師要進(jìn)行有針對(duì)性的設(shè)計(jì)，通過(guò)引導(dǎo)設(shè)問(wèn)的方式使學(xué)生從圖象的直觀感受上理解函數(shù)的特性，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷質(zhì)的飛躍。

二、結(jié)合生活實(shí)例，體驗(yàn)概念的生成

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是活動(dòng)式的教學(xué)，對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，教師更要精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)情境，從生活實(shí)例中提煉豐富的素材，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探究過(guò)程，并建立起對(duì)函數(shù)知識(shí)的認(rèn)識(shí)。

對(duì)于“變量與函數(shù)”的教學(xué)，教師應(yīng)由實(shí)際問(wèn)題來(lái)抽象函數(shù)概念，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，正確理解函數(shù)的意義，了解函數(shù)的本質(zhì)。首先從生活的實(shí)例中讓學(xué)生感知變量，深刻體會(huì)學(xué)習(xí)變量的必要性。例如，在教學(xué)中讓學(xué)生體會(huì)自己的成長(zhǎng)經(jīng)歷，隨著年齡的增加，大家身體長(zhǎng)高、體重增加、知識(shí)增多等，這些都可以看作是變量。緊接著就要引導(dǎo)學(xué)生明晰變量和常量的概念，如：①以60千米/時(shí)勻速行駛的汽車(chē)，它的里程隨時(shí)間的變化而變化；②某地一天內(nèi)各時(shí)刻的氣溫變化；③懸掛重物的彈簧，它的長(zhǎng)度隨質(zhì)量的變化而變化。首先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：存在數(shù)值變化的量和數(shù)值不變的量，然后指出實(shí)例中哪些是變量，哪些是常量，最終反復(fù)分析、比較、抽象、概括出變量與常量的概念。針對(duì)實(shí)例中的某一問(wèn)題讓學(xué)生分組討論，分析問(wèn)題中的兩個(gè)變量之間是否存在聯(lián)系，存在怎樣的聯(lián)系。教師要密切關(guān)注和了解各組的討論情況，適時(shí)點(diǎn)撥。例如問(wèn)題1，存在變量時(shí)間t，變量里程s，兩個(gè)變量存在聯(lián)系，即其中一個(gè)變量取一定值時(shí)，另一個(gè)變量是唯一確定的，如t=1時(shí)，s=60；t=2時(shí)，s=120。然后引導(dǎo)學(xué)生歸納概括，得出問(wèn)題中變量與變量之間的共同屬性：①存在兩個(gè)變量；②變量之間存在聯(lián)系；③一個(gè)變量的變化會(huì)引起另一個(gè)變量發(fā)生變化；④這種變化呈一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后，引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述函數(shù)的概念。

可見(jiàn)，結(jié)合實(shí)例開(kāi)展探究活動(dòng)，并根據(jù)實(shí)例進(jìn)行有針對(duì)性地分析和比較，不僅有利于學(xué)生掌握函數(shù)的本質(zhì)，也能提升學(xué)生分析概括的能力。

三、合理引用反例，辨析函數(shù)的特征

函數(shù)概念的形成需要經(jīng)歷“觀察—分析—比較—概括—表述”的過(guò)程，學(xué)生對(duì)于概念的認(rèn)識(shí)將經(jīng)歷從模糊到清晰。教學(xué)中合理地運(yùn)用反例可以幫助學(xué)生深刻理解函數(shù)的概念，但是反例的運(yùn)用需要細(xì)致斟酌，過(guò)多、過(guò)早都會(huì)對(duì)學(xué)生的理解造成干擾。

概念探究的前期需要大量的實(shí)例作為背景，由實(shí)例來(lái)抽象出變量關(guān)系，從中概括出函數(shù)“單值對(duì)應(yīng)”的特殊關(guān)系。該過(guò)程需要充分引入反例，通過(guò)正反對(duì)比讓學(xué)生有效避開(kāi)概念理解的誤區(qū)。例如由“氣溫問(wèn)題”的函數(shù)圖象向?qū)W生講解“唯一確定”時(shí)不需要設(shè)置反例，反例的設(shè)置只會(huì)使學(xué)生失去學(xué)習(xí)重點(diǎn)，但對(duì)于函數(shù)概念的“唯一對(duì)應(yīng)”則可以設(shè)置反例，通過(guò)辨析幫助學(xué)生理解該特征的實(shí)質(zhì)：這樣的對(duì)應(yīng)可以是“一對(duì)一”，也可以是“多對(duì)一”，但不可以是“一對(duì)多”（實(shí)例如下圖）。

在教學(xué)“一個(gè)變量確定另一個(gè)變量”時(shí)，可以對(duì)引用的實(shí)例進(jìn)行反例辨析，例如對(duì)于“汽車(chē)勻速行駛問(wèn)題”和“氣溫問(wèn)題”作出如下變式提問(wèn)：①該地區(qū)某一天的時(shí)間是氣溫的函數(shù)嗎？②該汽車(chē)以每小時(shí)60千米的速度勻速行駛，時(shí)間t是里程s的函數(shù)嗎？巧妙運(yùn)用反例，可以幫助學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)理解“兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，即“變量A能唯一確定變量B”，理解自變量與函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力。

單純地觀察同一屬性的事物很難明晰事物的共同屬性，而對(duì)事物的充分認(rèn)識(shí)是從對(duì)比中發(fā)展而來(lái)的，沒(méi)有對(duì)比就沒(méi)有區(qū)分，反例的合理運(yùn)用則可以幫助學(xué)生把握事物的共同特征。

“變量與函數(shù)”的教學(xué)是首次在常量的基礎(chǔ)上引入了變量，是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知的深入遞進(jìn)。教師要充分結(jié)合實(shí)例，遵循感性到理性、具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，充分把握函數(shù)的“變化”與“對(duì)應(yīng)”思想，合理利用正、反實(shí)例，通過(guò)對(duì)比分析幫助學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)特征。

（責(zé)編 林 劍）endprint