■江西省豐城中學(xué) 吳愛龍

數(shù)列的求和

■江西省豐城中學(xué) 吳愛龍

編者的話:基本知識和基本技能是高中數(shù)學(xué)的核心,同學(xué)們一定要高度重視。愿同學(xué)們通過閱讀,能從中感悟知識的結(jié)構(gòu)與拓展,把握高考命題特點與趨勢。

2.已知Sn,求an。

已知數(shù)列的前n項和Sn,求數(shù)列的通項an時,我們有關(guān)系式

3.等差數(shù)列的前n項和。

一、考綱要求

掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式。

二、知識梳理與拓展

1.數(shù)列的前n項和。

數(shù)列的前n項和通常用Sn表示,其意義是指Sn=a1+a2+…+an。

數(shù)列的前n項和是一個專用述語,有其特指的含義。必須理解好三點:①指的是和,而不是n項之積或別的運算。②指的只能是n個項之和,不能多一項或少一項。③指的是前n項之和,而不是某n個項的和,應(yīng)從第一項開始,一項不少地加至第n項。如果不是從第一項開始,而是從某項開始的連續(xù)n項之和,盡管不是數(shù)列的前n項和,但也可以借助Sn來表示,比如a3+a4+…+an+2可以表示為Sn+2-S2;也可以用求和符號∑來表

上述第一個公式可由倒序相加法推導(dǎo)。其實它表示上底邊長為a1,下底邊長為an,高(層數(shù))為n的梯形面積公式;而后兩個公式則是將該梯形割或補,變成一個平行四邊形的面積na1與一個三角形的面積d之和或變成一個平行四邊形的面積nan與一個三角形的面積之差了。特別地,當(dāng)d=0時,其前n項和Sn=na1。

4.等比數(shù)列的前n項和。

已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比為q,則的“ai”是代表項,它代表了a3,a4,…,an+2中的任一項,而∑下方的“i=3”是指求和時從第三項a3開始相加,∑上方的“n+2”指的是最后加至第n+2項an+2終止。這個符號既清晰又簡捷,在高等數(shù)學(xué)中還可以直接參與運算。在初等數(shù)學(xué)研究方面,常用∑表示循環(huán)和,如三角形ABC的三邊分別為a、b、c,則其周長可以表示為∑a,即∑a=a+b+c。

如果數(shù)列從第一項開始一項不少地加下去,直至無窮,這個和被稱作是無窮數(shù)列的所有項和,常記為S;任何數(shù)列都存在著前n項和,卻未必有所有項之和了。當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q滿足|q|＜1且q≠0時,其所有項之

常數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列,不論從等差或等比角度看都有Sn=na1。

上述公式可由錯位相減法推導(dǎo),也可以用下面幾種方法推得。

方法1:Sn=a1+q(a1+a1q+…+aqn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)=a1+q(Sn-a1qn-1),n≥2,q≠1。所以Sn=時,亦符合。

方法2:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q≠1,則

由合比定理有:5.等差(比)數(shù)列前n項和的主要性質(zhì)。

(2)等差數(shù)列中,當(dāng)a1＞0,d＜0時,若ak＞0,ak+1＜0,則Sk最大;當(dāng)a1＜0,d＞0時,若ak＜0,ak+1＞0,則Sk最小。

(3)等差(比)數(shù)列中,非零數(shù)列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍成等差(比)數(shù)列。

6.數(shù)列求和的幾種常見方法。

數(shù)列求和的常用方法有:倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、公式法、分組求和法、奇偶數(shù)討論法等。

三、典例解析與點評

點評:對此解法應(yīng)注意兩點:(1)等差數(shù)列前n項和Sn是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù),因此若設(shè)Sn=k(7n+2),Tn=k(n+3),則是不合理的;(2)已知數(shù)列的前n項和Sn,求數(shù)列的通項an時,有關(guān)系式an=

點評:對此解法也應(yīng)注意兩點:(1)等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用;(2)等差數(shù)列求和公式的逆用。

點評:此法是分組求和與公式法求和的完美組合。常用的幾個公式

點評:上述方法用的是裂項相消法,裂項(拆項)相消法是數(shù)列求和的常用方法之一。裂項是手段,相消是目的。因此,尋找合理的裂項方式是關(guān)鍵。例如一項裂成了兩項,但由于無法相互抵消其中的項,所以這種裂項是失敗的。對幾種常見的裂項應(yīng)熟記。此外,相消時規(guī)律性很強,既然是成對地“裂”,又是成雙地“消”,所以必定是成套地“留”。

解法3:學(xué)了組合,也可用組合數(shù)性質(zhì)來解。因為n(n+1)=2C2n+1,又Cmn+1=Cmn+Cm-1n,所以1×2+2×3+…+n(n+1)=(n+2)。

點評:此解法將數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為組合數(shù)求和并利用組合數(shù)性質(zhì)的問題來解,可謂匠心獨運。

一般地,我們有1·2·3·…·k+2·3·4·…·(k+1)+…+n(n+1)(n+2)…(n+k)(n,k∈N*,k≥2)。求和S=1+2x+3x2+…+nxn-1。

當(dāng)x≠0且x≠1時,有:

S=1+2x+3x2+…+nxn-1。

xS=x+2x2+…+(n-1)xn-1+nxn。

點評:上述解法是分類討論思想與化歸思想的完美組合,解題時極易漏掉x=0與x=1時情形的討論。錯位相減法,“錯位”是手段,“相減”是目的;如果錯位后不能相減,錯位就是無功之舉;如果錯位相減后能將各項系數(shù)歸一,則錯位就是一種漂亮的形式,因為采用錯動位置的書寫方法是為了將字母x的指數(shù)對齊,對整齊后再減才會少出錯誤。話雖如此,但很多同學(xué)具體運用此法時仍會出錯,很難對上正確答案,因此我們平時應(yīng)多加訓(xùn)練。網(wǎng)絡(luò)上流行一種死記結(jié)論的待定系數(shù)法,但筆者不推薦使用這種方法。

點評:這里對已知等式兩邊求導(dǎo),體現(xiàn)了整體處理思想,當(dāng)然也可以對所求和式通過求積分的辦法求得。有時可能需要多次求導(dǎo)或求積分。

(責(zé)任編輯 徐利杰)