■江蘇省太倉(cāng)市教師發(fā)展中心 邵 紅

經(jīng)典題突破方法

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我們知道,已知一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列及其首項(xiàng)和公比,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng),是件輕而易舉的事。若不知該數(shù)列是否為等比數(shù)列時(shí),我們?nèi)绾蝸?lái)求它的通項(xiàng)呢?一個(gè)字“變”!真可謂:變一變,天塹變通途。

1.利用遞推關(guān)系,“變出”等比數(shù)列

已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公比0＜q＜1,設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=an+1+an+2,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式。

分析:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,那么{bn}也是等比數(shù)列嗎?可試探是為是常數(shù)。

解:由題意知bn+1=an+2+an+3。又{an}是等比數(shù)列,公比為q,故:

點(diǎn)評(píng):對(duì)于有些數(shù)列試題,雖然題目中沒(méi)有告訴我們它是等比數(shù)列,但是我們不妨大膽猜想,利用遞推關(guān)系判斷它是否為等比數(shù)列。

2.利用對(duì)數(shù)函數(shù),“變出”等比數(shù)列

若數(shù)列{an}中,若a1=3,且an+1=an2(n是正整數(shù)),則數(shù)列的通項(xiàng)公式an=____。

分析:將an+1=an2兩邊取對(duì)數(shù),可發(fā)現(xiàn){lgan}是等比數(shù)列。

解:因?yàn)閍n+1=an2,所以an＞0(n∈N*)。

兩邊取對(duì)數(shù),得lgan+1=2lgan。

{lgan}是以lga1=lg3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,lgan=(lga1)·2n-1=。

點(diǎn)評(píng):通過(guò)構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)達(dá)到降次的目的,使原來(lái)的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進(jìn)行求解,從而使問(wèn)題順利獲解。

3.通過(guò)分解常數(shù),“變出”等比數(shù)列

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2),求{an}的通項(xiàng)公式。

分析:{an}雖然不是等比數(shù)列,但{an+m}(m是常數(shù))是等比數(shù)列嗎?

解:an=2an-1+1(n≥2),即an=2an-1+2-1(n≥2),an+1=2(an-1+1)(n≥2)。

又a1+1=2,故數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,an+1=2n,即an=2n-1。

點(diǎn)評(píng):這個(gè)題目通過(guò)對(duì)關(guān)系式中1的分解,進(jìn)行適當(dāng)組合,可得等比數(shù)列{an-1},從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。一般地,形如an+1=pan+q(p≠1,pq≠0)型的遞推式均可通過(guò)待定系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解:設(shè)an+1+k=p(an+k)與原式比較系數(shù)可得pk-k=

4.通過(guò)分解系數(shù),“變出”等比數(shù)列

數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=5,an+2-3an+1+2an=0,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

分析:遞推式an+2-3an+1+2an=0中含相鄰三項(xiàng),因而考慮每相鄰兩項(xiàng)的組合,即把中間一項(xiàng)an+1的系數(shù)分解成1和2,適當(dāng)組合,可發(fā)現(xiàn)一個(gè)等比數(shù)列{an-an-1}。

解:由an+2-3an+1+2an=0,得an+2-an+1-2(an+1-an)=0,即an+2-an+1=2(an+1-an)。且a2-a1=5-2=3,故{an+1-an}是以2為公比,3為首項(xiàng)的等比數(shù)列,an+1-an=3·2n-1。

利用逐差法可得an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1

=3·2n-1+3·2n-2+…+3·20+2

=3·(2n-1+2n-2+…+2+1)+2

故an=3×2n-1-1

點(diǎn)評(píng):這種方法適用于an+2=pan+1+qan型的遞推式,通過(guò)對(duì)系數(shù)p的分解,可得等比數(shù)列{an-an-1}:設(shè)an+2-kan+1=h(an+1-kan),比較系數(shù)得h+k=p,-hk=q,可解得h,k。

(責(zé)任編輯 徐利杰)