文/梅州市梅縣區(qū)三鄉(xiāng)中學 李曉文

數(shù)學思想在函數(shù)中的應用

文/梅州市梅縣區(qū)三鄉(xiāng)中學 李曉文

函數(shù)是初中數(shù)學的重點內(nèi)容，是對初中知識的概括和總結，是聯(lián)系初高中知識的紐帶，是變量數(shù)學在初中數(shù)學的滲透，它使學生的思維從常量數(shù)學過渡到變量數(shù)學，函數(shù)知識在中學數(shù)學中有舉足輕重的地位，而在函數(shù)知識中蘊含了豐富的數(shù)學思想，認真學習和掌握好這些數(shù)學思想，對提高學生數(shù)學素養(yǎng)具有重要的現(xiàn)實意義。

一、函數(shù)中的代數(shù)思維

在數(shù)學中使用代數(shù)思維，即用代數(shù)的方法解決問題，它要求分析問題中的等量關系，把問題表示為含有未知數(shù)的等式，把問題形式化。還可以利用等式的性質(zhì)進行變形，但在變化過程中始終保持等量關系。對于這一數(shù)學思維方法，在函數(shù)中無疑可以得到強化。

1.方程與函數(shù)思想

函數(shù)與方程關系密切，初中階段函數(shù)關系式可以看成是含有兩個未知數(shù)的方程。因此，我們可以運用方程知識解決許多函數(shù)問題，如求函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點坐標，就是解函數(shù)或自變量為零時的方程等。因此我們可以利用一元二次方程根的判別式來判斷兩函數(shù)圖象是否相交，判斷二次函數(shù)的圖象與x軸的交點情況等。

例1.已經(jīng)拋物線y=x2-5mx+4m2（m為常數(shù)），求證：此拋物線與x軸一定有交點。

析：本題將函數(shù)與方程的判別式結合在一起。拋物線與x軸的交點必滿足y=0，故只需證明x2-5mx+4m2=0的判別式大于或等于0即可。

2.建模與函數(shù)思想

在函數(shù)知識中出現(xiàn)了一類以函數(shù)知識為背景，具有創(chuàng)新性、開放性、針對社會熱點，有強烈時代氣息的函數(shù)應用題，解答此類問題的關鍵是將實際問題中的內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，從而求得實際問題的答案。

二、函數(shù)中的幾何思維

1.圖形與函數(shù)

在初中函數(shù)教學中，出現(xiàn)了從幾何圖形中確立函數(shù)關系式而利用函數(shù)性質(zhì)的解決幾何問題的數(shù)形結合的新題型。這類題主要利用幾何圖形的性質(zhì)列出幾何量之間的等式，再將某些幾何量轉(zhuǎn)化成函數(shù)的變量或自變量，最后用函數(shù)的性質(zhì)解答問題。

例2.如圖，從一張矩形紙較短的邊上找一點E，過這點剪下兩個正方形，它們的邊長分別是AE，DE，要使剪下的兩個正方形的面積和最小，點E應選在何處？為什么？

析：考將這個幾何問題轉(zhuǎn)化另類二次函數(shù)模形來研究。

①首先探索取特殊值的情況

設AD=4，DE分別是2，1，0，當DE=2時，兩個正方形面積的和最小，猜想：E是AD的中點時，兩個正方形面積的和最小。

②證明猜想，設AD=t，ED=x，兩個正方形的面積和為y，兩個正方形的面積分別為x2，(t-x)2，則y=x2+(t-x)2，

得 y=2x2-2tx+t2， 配方得 y=2

本題運用了從特殊到一般的探究過程，在證明其一般性時運用數(shù)形結合思想 （圖形→代數(shù)式→函數(shù)解析式）將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題。

2.運動與函數(shù)

動態(tài)幾何題是函數(shù)與運動相結合的典型題。動態(tài)幾何題是以幾何知識和幾何圖形為背景，滲入運動變化思想的一類題，通常是通過圖形運動產(chǎn)生變量形成函數(shù).

三、函數(shù)中的分類思維

分類討論思想是根據(jù)數(shù)學本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想。初中數(shù)學分類討論思想應用很廣泛應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化。在函數(shù)的教學過程中我們要利用學生已有的認識基礎，把生活中的分類遷移到數(shù)學中來，在數(shù)學教學中進行分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如

例3.函數(shù)y=ax2-ax+3x+1與x軸只有一個交點，求a的值與交點坐標。

分析：本題中函數(shù)是什么函數(shù)沒有確定，故要根據(jù)初中學生已有的函數(shù)知識，根據(jù)a的不同取值，分別考慮此函數(shù)是一次函數(shù)或者二次函數(shù)兩種情況。

解：當a=0時，為一次函數(shù)y=3x+1， 交點為 （-1/3， 0）；

當a不為0時，為二次函數(shù)y=ax2+(3-a)x+1， △ =b2－4ac=a2-10a+9=0，

解得a=1或a=9，交點為（-1，0）或 （9， 0）。

由上可見，在函數(shù)中蘊含著豐富的數(shù)學思想，在教學中我們要把它不斷地向?qū)W生滲透這些思想，幫助學生掌握數(shù)學思想，提高其運用數(shù)學方法的能力。這是長期、復雜而細致的工作，中學數(shù)學教學中應全面研究教材中所蘊含的數(shù)學思想方法，探討各種數(shù)學思想方法在不同階段的教學要求，做到全面安排，逐步培養(yǎng)學生對數(shù)學思想的理解和運用能力。只有重視和加強數(shù)學思想方法教學，使數(shù)學知識的教學與思想方法的教學并重，數(shù)學教學的目標才能全面實現(xiàn)。

責任編輯 徐國堅