福建省漳州普教室(363100) 張兵源

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

利用正投影的定比性質(zhì)求解一類圓錐曲線試題

福建省漳州普教室(363100) 張兵源

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

一、投影的基礎(chǔ)知識

“投影”這個概念學(xué)生在初中接觸過.用光線照射物體,在某個平面(地面,墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線,投影所在的平面叫做投影面.因此投影的三個要素為:投影線,投射體,投影面.由同一點(diǎn)(點(diǎn)光源發(fā)出的光線)形成的投影叫做中心投影,由平行光線形成的投影是平行投影.這兩種投影的區(qū)別在于投影線是否交于一點(diǎn).平行投影又可以分為兩種:正投影和斜投影.投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影(射影),投影線不垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做斜投影.

二、正投影的性質(zhì)

高中階段,學(xué)生接觸到的投影絕大多數(shù)是正投影.正投影具有如下性質(zhì):

1.全等性.若線段或平面圖形平行于投影面,則正投影反映實長或?qū)嵭?線段的長度,圖形的形狀和大小,可以從投影面確定和度量.

2.定比性.若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上.直線上兩線段的長度之比等于該兩線段投影的長度之比.兩平行線段的空間實長之比等于其投影長度之比.

3.平行性.若空間兩直線互相平行,則其同面投影也互相平行.也就是說,兩平行直線的平行投影仍互相平行.

4.平移性.一條直線或一個平面圖形,經(jīng)過平移后,雖然位置變化,但是它們在同一投影面上的投影的形狀和大小沒有變化.

5.積聚性.垂直于投影面的直線,在該投影面上的投影積聚為一點(diǎn).垂直于投影面的平面在該投影面上的投影積聚為一條直線,且該平面上所有的線和點(diǎn)的投影都積聚在該直線上.

三、定比性質(zhì)的應(yīng)用

正投影的定比性質(zhì)經(jīng)常用在數(shù)學(xué)解題當(dāng)中.在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中,經(jīng)常會碰到一類以圓錐曲線為載體求線段長度比,或者已知線段比求解相關(guān)量的試題.這類題型如果直接求原線段長度比則計算較為繁瑣,如果能夠利用是正投影的定比性質(zhì)來做,則計算效率大大提高.

如圖 1所示,在平面直角坐標(biāo)系中,A,B,C三點(diǎn)共線,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).

根據(jù)正投影的定比性質(zhì),易知

如果AB//x軸,則

如果AB//y軸,則

利用這個結(jié)論來解決平面解析幾何中線段比問題效果十分顯著.

圖1

四、應(yīng)用

例1如圖2所示.已知點(diǎn)A(2,0),拋物線C∶x2=4y的焦點(diǎn)為F,射線FA與拋物線相交于點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則|FM|∶

圖2

解析F(0,1),A(0,2).直線FA方程為拋物線準(zhǔn)線方程為y=?1.聯(lián)立得聯(lián)立得xN=4.

例2設(shè)F1,F2,是橢圓的左右焦點(diǎn).M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點(diǎn)為N.若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

解析 如圖3所示,由已知有|MF2|=4,即由|MN|=5|F1N|得作NA⊥x軸,垂足為A.由得|NA|=1.由得故聯(lián)立

圖3

圖4

解析 如圖4所示.設(shè)Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,yR).作QG⊥x軸,垂足為G;RH⊥x軸,垂足為H;PI⊥x軸,垂足為I.由

由P(xP,yP)在直線上,得因此有

又O,P,Q三點(diǎn)共線,故有.在①中兩邊同時除以xP,得Q是軌跡方程為:

例4設(shè)P是拋物線上一點(diǎn),直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.若直線l不過原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S,與y軸交于點(diǎn)T,試求的取值范圍.

圖5

解析 如圖5所示,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),其中y1＞0,y2＞0.設(shè)直線l方程為y=kx+b,其中k/=0,b/=0.則T(0,b).作PP1⊥x軸,垂足為P1;QQ1⊥x軸,垂足為Q1.

又y1,y2是不相等的正實數(shù),所以

圖6

圖7

解析 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0).如圖6所示,若直線l與y軸重合,則由,得,解得y0=1,

若直線l斜率存在,如圖7所示,設(shè)方程為y=kx+2.由得(1+4k2)x2+16kx+8=0.則

此時

即2x1x2=x0(x1+x2).將2○代入上式得將代入直線y=kx+b得y0=1.故所以又由

五、結(jié)束語

不難發(fā)現(xiàn),利用正投影的定比性質(zhì)求解此類試題,其實是將傾斜的線段比轉(zhuǎn)化為水平或豎直的線段比,從而找到橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,這其實是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體應(yīng)用.通過這樣的轉(zhuǎn)化,我們化繁為簡,化抽象為具體,大道至簡,實現(xiàn)了高效解題.