深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院(518060) 關(guān)麗娜 曹麗華

雙直線弦長公式及其應(yīng)用

深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院(518060) 關(guān)麗娜 曹麗華

顧名思義,雙直線弦長公式指的是:給定兩條直線l1,l2第三條直線l3與直線l1,l2相交所成兩點(假設(shè)有兩個交點)之間的距離公式.高考不但考查圓錐曲線的弦長公式,它也考查了雙直線弦長公式.以下我們先給出與雙直線弦長有關(guān)的公式,然后舉例子討論了它的應(yīng)用.最后,類比這些例子,編擬了一道題目.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對于一些位置特殊的直線,我們有如下的雙直線弦長公式:

引理 設(shè)直線l3∶Ax+By+C=0與直線l1∶x+m1y=0、l2∶x+m2y=0(m1/=m2)相交于M,N兩點,則有

證明 設(shè)M,N坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).因為A,B不能同時為零,因此不妨設(shè)B/=0,則聯(lián)立

消去y并且整理可得 (Am1?B)(Am2?B)x2+[2Am1m2?B(m1+m2)]Cx+m1m2C2=0.由韋達定理可得

所以

其中m＞0.另外,由于引理要求直線與另外兩條直線有兩個交點,因此(Am1?B)(Am2?B)/=0,在下面的討論中就不再重復(fù)提起.

有了引理,我們很容易得到以下一個定理:

定理1 設(shè)直線l3∶Ax+By+C=0與直線l1∶x+m1y=0、l2∶x+m2y=0(m1/=m2)相交于M,N兩點,則有

證明 由點到直線距離公式可得原點到直線l3的距離的方程,若不存在,說明理由.由引理可得

有了這些公式,接下來我們討論它們在高考數(shù)學(xué)壓軸題中的應(yīng)用.

(1)求雙曲線E的離心率;

(2)如圖1,O為坐標(biāo)原點,動直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限)且△OAB的面積恒為8,試探究:是否存在總與l有且只有一個公共點的雙曲線E:若存在,求出雙曲線E

由引理中的評注,可得

例2(2015湖北)設(shè)動直線l與兩定直線l1∶x?2y=0和l2∶x+2y=0分別交于P,Q兩點.若直線l總與橢圓有且只有一個公共點,試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由.

解 設(shè)直線l與橢圓的公共點為(x0,y0),此時直線l的方程為.因為據(jù)定理1的評注得易知在和上單調(diào)遞增;在和上單調(diào)遞減;又因為當(dāng)x0=0或者x0=±4時,S△OPQ=8.故△OPQ的面積的最小值為8.

基于這兩道題目的這些特征,筆者編擬了以下一個類似問題以供大家參考討論.

解 設(shè)拋物線上除去L的任意一點P的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意可知|y0|∈(1,+∞).因為拋物線過該點的切線方程為則由定理1的評注可得