安徽省無為縣牛埠中學(xué)(238351) 朱小扣

一類絕對值函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用舉隅

安徽省無為縣牛埠中學(xué)(238351) 朱小扣

高考和競賽中對絕對值的考察一直是重點(diǎn),學(xué)生做這些題目時時常會覺得很難,無從下手,即使做出來耗時也會比較多.針對這一情況,本文將闡述絕對值函數(shù)的兩條重要的性質(zhì),以期在絕對值問題上給大家有所幫助與啟發(fā).

絕對值函數(shù)的兩個性質(zhì)如下:

性質(zhì)1 含單絕對值函數(shù)f(x)=a|x?b|的圖像是“三點(diǎn)兩線”,

雙絕對值函數(shù)f(x)=a1|x?b1|+a2|x?b2|的圖像是“四點(diǎn)三線”,

三絕對值函數(shù)f(x)=a1|x?b1|+a2|x?b2|+a3|x?b3|的圖像是“五點(diǎn)四線”...

性質(zhì)2 若f(x)=|x?b1|+|x?b2|+···+|x?bn|,則當(dāng)x是b1,b2,...,bn的中位數(shù)時,f(x)最小.

性質(zhì)1的直接運(yùn)用

例1(2012年“北約”)求x的范圍,使f(x)=|x+2|+|x|+|x?1|是增函數(shù).

解 由性質(zhì)1可知f(x)圖像是“五點(diǎn)四線”,畫出圖可知x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數(shù).(注:五點(diǎn)依次令x=?2,0,1得到三點(diǎn),再在x＜?2和x＞1各取一點(diǎn))

圖1

性質(zhì)1的運(yùn)用升級

例2(2014年湖北高考理科)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,若?x∈R,f(x?1)≥f(x),則實數(shù)a的取值范圍為__________.

解 可以用四點(diǎn)三線快速地畫出f(x)(x≥0)的圖像(其中四點(diǎn)分別為O(0,0),A(a2,?a2),B(2a2,?a2),C(3a2,0)),由奇函數(shù)的性質(zhì)得到x＜0的另一半圖像,如圖,因為對任意實數(shù)x都有,f(x?1)≤f(x),即f(x?1)的圖像要在f(x)的下方,將C平移到C′′,C′′必須超過C才可以,3a2?(?3a2)≤1解得

圖2

例3(14年福建高考文科12題)在平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)P1(x1,y1),P(x2,y2)間的“L-距離”定義為

則平面內(nèi)與x軸上兩個不同的定點(diǎn)的“L-距離”之和等于定值(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡可以是( )

解 不妨設(shè)F1(?a,0),F(a,0),其中a＞0,點(diǎn)P(x,y)是其軌跡上的點(diǎn),且P與x軸上兩個不同的定點(diǎn)F1,F2的“L-距離”之和等于定值b(大于|F1F2|).

顯然圖像關(guān)于x軸對稱,當(dāng)y≥0時,

由性質(zhì)1知圖像是“四點(diǎn)三線”,易得答案為A.

點(diǎn)評 三個例題很好的驗證了性質(zhì)1的重要性,特別是例2,例3,如果不會性質(zhì)1的話,用分類討論的話,學(xué)生很難短時間內(nèi)畫出絕對值函數(shù)的圖像,在考試時可能會耗時較多,甚至?xí)绊懫渌}的得分.性質(zhì)1雖然簡單,但會用的人卻不多,它不應(yīng)被老師和同學(xué)們忽視,并不是所有的題目都用很復(fù)雜的方法去解,實際上,解題往往是”大道至簡”.

性質(zhì)2的直接應(yīng)用

例4(2016年陜西高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽)設(shè)x∈R,則函數(shù)f(x)=|2x?1|+|3x?2|+|4x?3|+|5x?4|的最小值是___.

性質(zhì)2的變式應(yīng)用

A.0 B.1 C.2 D.3

解法1令

因為

故原方程無解

解法2 令f(x)=|2x?5|+|3x?7|+|5x?11|,易知三絕對值函數(shù)圖象是:“五點(diǎn)四線”

圖3

例6(2011年“北約”)求|x?1|+|2x?1|+|3x?1|+···+|2011x?1|的最小值.

解 令

f(x)=|x?1|+|2x?1|+|3x?1|+···+|2011x?1|.則可以求得

性質(zhì)2在二元函數(shù)中的應(yīng)用

例7(第五屆世界數(shù)學(xué)團(tuán)體競標(biāo)賽青年組)已知二元函數(shù)F(x,y)=|x?1|+|x?2|+|x?3|+|x?4|+|y?1|+|y?2|+|y?3|,求F(x,y)的最小值.

解 令

則F(x,y)=f(x)+g(y),由性質(zhì)2得,

故Fmin(x,y)=fmin(x)+gmin(y)=4+2=6.

性質(zhì)2在含有變量問題中的應(yīng)用

例8 (2016年科大自招)對任意的實數(shù)x都有|2x?a|+|3x?2a|≥a2,則a的取值范圍是___.

解 令f(x)=|2x?a|+|3x?2a|,則只需fmin(x)≥a2即可.注意到

性質(zhì)2在含有變量問題中的應(yīng)用引申

例9(“合作杯”試題)m∈R,若方程2|x?1|+3|mx?5|=6無實數(shù)解,求m的范圍.

解 令f(x)=2|x?1|+3|mx?5|,則只需fmin(x)＞6即可.

(1)當(dāng)m=0時,f(x)=2|x?1|+15＞6恒成立,滿足條件.

(2)當(dāng)m/=0時,無論m為何值,中位數(shù)是1或由性質(zhì)2得,

點(diǎn)評 在高考和競賽,對性質(zhì)2的考察,幾乎是每年都有,而且是常考常新,像例8到例9一樣,我們常常培養(yǎng)了學(xué)生“一題多解”的能力,卻忽視了培養(yǎng)學(xué)生“一解多題”的能力,只要掌握了上述題中絕對值的本質(zhì)即性質(zhì)2,我們就能在學(xué)習(xí)和考試中靈活運(yùn)用,就可以化難為簡,順利求解.

總結(jié) 通過性質(zhì)1和2能解決很多絕對值函數(shù),但變式題也很多,如果能了解這種問題本質(zhì),那么就能夠靈活運(yùn)用.所以要學(xué)好數(shù)學(xué),我們必須要會舉一反三,觸類旁通.總而言之,性質(zhì)1和2是解決絕對值函數(shù)問題的兩大利器,也是化難為易的橋梁,熟悉這兩條性質(zhì),就可以秒殺有關(guān)絕對值函數(shù)的高考和競賽題.

[1]朱小扣.含有雙絕值的不等式的五種解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(華南師范大學(xué)版),2016(13),36-37.