廣州華南師范大學附屬中學(510630) 羅碎海

廣東廣雅中學(510160) 蔡文靈

原函數(shù)與其導函數(shù)“三性”聯(lián)系與三次函數(shù)對稱性

廣州華南師范大學附屬中學(510630) 羅碎海

廣東廣雅中學(510160) 蔡文靈

函數(shù)三個基本性質(zhì)簡稱為“三性”,即為對稱性(奇偶性)、周期性、單調(diào)性.以下為可導函數(shù)與其導函數(shù)“三性”聯(lián)系的探究結(jié)論及其應用.

一、對稱性

定理1若函數(shù)f(x)為可導函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=a對稱,則其導函數(shù)f′(x)圖象關(guān)于點(a,0)對稱.

證明

f(x)關(guān)于直線x=a對稱

定理2 若函數(shù)f(x)為可導函數(shù),且圖象關(guān)于點(a,b)對稱,則其導函數(shù)f′(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱.

證明

f(x)關(guān)于點(a,b)對稱

推論1 若函數(shù)f(x)為可導偶函數(shù),則其導函數(shù)f′(x)為奇函數(shù).

推論2 若函數(shù)f(x)為可導奇函數(shù),則其導函數(shù)f′(x)為偶函數(shù).

思考 定理1、2的逆定理是否成立?

定理3 若定義在I上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)圖象關(guān)于x=a對稱,存在x0,若a?x0,a+x0∈I,則函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點對稱.

?函數(shù)f(x)關(guān)于點對稱.

推論3 若定義在I上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)圖象關(guān)于x=a對稱,且a∈I,則函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(a,f(a))對稱.

特例分析 分析以下兩組函數(shù)的對稱性,驗證定理1—3.

(2)對于函數(shù)F(x)=2x3?6x2,有

知F(x)=2x3?6x2圖像關(guān)于點(1,?4)對稱.對于函數(shù)f(x)=6x2?12x,可知函數(shù)對稱軸為x=1.F(x)=2x3?6x2的導函數(shù)是f(x)=6x2?12x,符合定理2.反過來,函數(shù)f(x)=6x2?12x圖像關(guān)于x=1對稱,其原函數(shù)為F(x)=2x3?6x2,而F(1)=?4,所以函數(shù)F(x)=2x3?6x2圖像關(guān)于點(1,?4)對稱,符合定理3推論.

定理4 若定義在I上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)圖象關(guān)于點(a,b)對稱,則當b/=0時,函數(shù)f(x)圖象不關(guān)于直線x=a對稱;當b=0時,存在x0,若a?x0,a+x0∈I,使得f(a?x0)=f(a+x0)時,函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱.

證明f′(x)關(guān)于點(a,b)對稱?f′(a+x)+f′(a?x)=2b

當b/=0時,

若f(x)關(guān)于x=a對稱,則f(a+x)=f(a?x),此時2bx+C=0,從而b=0且C=0,這與b/=0矛盾.所以當b/=0時,f(x)不關(guān)于直線x=a對稱.

當x=x0時,f(a?x0)=f(a+x0),所以C=f(a+x0)?f(a?x0)=0,所以f(a+x)=f(a?x),即f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱.

特例 一次函數(shù)f(x)=2ax+b(a/=0)的圖像關(guān)于其上任意一點對稱,即可以說f(x)=2ax+b(a/=0)的圖像關(guān)于點(0,b)對稱,也可以說關(guān)于點對稱.其原函數(shù)F(x)=ax2+bx+c的圖像只關(guān)于直線對稱.

由原函數(shù)f(x)與其導函數(shù)f′(x)對稱性的聯(lián)系可得其奇偶性的聯(lián)系如下:

推論4 若定義在對稱區(qū)間I上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)為偶函數(shù),且x0∈I,則函數(shù)f(x)圖象關(guān)于對稱;特別地,當?x0∈I,使得f(x0)=?f(?x0)時,函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

推論5 若定義在對稱區(qū)間I上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)為奇函數(shù),且?x0∈I,使得f(x0)=f(?x0),則函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

二、周期性

定理5 若函數(shù)f(x)是周期為T的可導周期函數(shù),則其導函數(shù)f′(x)也是周期為T的周期函數(shù).

證明f(x)是周期為T的周期函數(shù)?f(x)=f(x+T)?f′(x)=f′(x+T),即f′(x)是周期為T的周期函數(shù).

定理6 若定義在R上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)是周期為T的周期函數(shù),且?x0∈R,使得f(x0)=f(x0+T),則函數(shù)f(x)也是周期為T的周期函數(shù).

證明f′(x)是周期為T的周期函數(shù)?f′(x)=f′(x+T)

當x=x0時,f(x0)=f(x0+T),則C=f(x0)?f(x0+T)=0.所以f(x)=f(x+T),即f(x)是周期為T的周期函數(shù).

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)是最好的例子.

三、單調(diào)性

原函數(shù)f(x)的單調(diào)性與它的導函數(shù)f′(x)的單調(diào)性沒有必然聯(lián)系.

原函數(shù)f(x)具備單調(diào)性,其導函數(shù)f′(x)可以不具備.例如,函數(shù)f(x)=x3為單調(diào)遞增函數(shù),而其導函數(shù)f′(x)=3x2不是單調(diào)函數(shù);

導函數(shù)f′(x)具備單調(diào)性,原函數(shù)f(x)可以不具備.例如,函數(shù)不具備單調(diào)性,而導函數(shù)f′(x)=x?sinx為單調(diào)遞增函數(shù);

原函數(shù)f(x)和導函數(shù)f′(x)可以同時具備單調(diào)性.例如,函數(shù)f(x)=ex和其導函數(shù)f′(x)=ex均為單調(diào)遞增函數(shù);

原函數(shù)f(x)和導函數(shù)f′(x)可以具備不同的單調(diào)性.例如,函數(shù)f(x)=e?x為單調(diào)遞減函數(shù),其導函數(shù)f′(x)=?e?x為單調(diào)遞增函數(shù).

四、三次函數(shù)性質(zhì)

有了以上原函數(shù)f(x)和導函數(shù)f′(x)的結(jié)論,三次函數(shù)的性質(zhì)自然可得,為了明確,我們羅列如下:

性質(zhì)1函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a/=0)是中心對稱圖形,其對稱中心是

性質(zhì)2三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a/=0)的對稱中心就在其導函數(shù)f′(x)=3ax2+2bx+c(a/=0)的對稱軸上.

性質(zhì)3三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a/=0)的二階導函數(shù)f′′(x)=6ax+2b的零點為點是三次函數(shù)的拐點.

性質(zhì)4過三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a/=0)的對稱點(拐點)的切線有且只有一條.

性質(zhì)5若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a/=0)有極值,則它的對稱中心是兩個極值點的中點.

五、例題分析與練習

解 因為f(x)是偶函數(shù),根據(jù)推論1可知,

是奇函數(shù)且f′(0)=0,即

故a+b=0.填滿足的任意有序?qū)崝?shù)對即可,如(1,?1).

2.(2007江西)設函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導偶函數(shù),則曲線y=f(x)在x=5處的切線的斜率為()

解 因為是以5為周期的可導偶函數(shù),根據(jù)推論1及定理5 可知,f′(x)是以 5 為周期的奇函數(shù),且f′(5)=f′(0)=0,所以選B.

3. 已知實數(shù)a,b分別滿足a3?3a2+5a=1,b3?3b2+5b=5,則a+b=____

方法一 由于已知的兩個等式結(jié)構(gòu)相似,因此可以考慮構(gòu)造函數(shù):

則f(a)=1,f(b)=5,易知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(1,3)對稱,所以f(a)+f(2?a)=6,從而f(2?a)=f(b),因為

所以f(x)是增函數(shù),所以2?a=b,即a+b=2.

方法二 將已知等式邊形為

構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3+2x,因為f(?x)=?f(x),所以f(x)是奇函數(shù).又因為f′(x)=3x2+2＞0,所以f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)是一個單調(diào)遞增的奇函數(shù).由f(a?1)=?2,f(b?1)=2得到

所以a?1=1?b,所以a+b=2.

A.0 B.504 C.1008 D.2016

解 因為

所以函數(shù)f(x)關(guān)于點對稱,從而

5. (2017年高二期末廣東三校聯(lián)考)已知曲線C∶f(x)=x3?6x2+9x+d,直線l1∶y=?3x+b,直線l2∶k(x?2)+f(2),(其中b,d,k皆為實常數(shù)),試分析下列命題:

①d=0時,函數(shù)y=f(x)恰有兩個零點;

②?d∈R,f(1)+f(3)=2f(2);

③?b∈R,線l1與曲線C有且僅有一個公共點;

④?∈R,直線l2與曲線C恰有兩個不同的公共點.

其中真命題的個數(shù)為(C)

A.1 B.2 C.3 D.4

練習

1.(2012四川)設函數(shù)f(x)=(x?3)2+x?1,{an}是公差不為0的等差數(shù)列,f(a1)+f(a2)+···+f(a7)=14,則a1+a2+···+a7等于()

A.0 B.7 C.14 D.21

2.(2013新課標卷II)已知函數(shù),下列結(jié)論中錯誤的是( )

A.?x0∈R,f(x0)=0

B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形

C. 若x0是f(x)的極小值點,則在區(qū)間(?∞,x0)上單調(diào)遞減

D. 若x0是f(x)的極值點,則f′(x0)=0

4.(2017佛山二模)設函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a/=0)滿足f(1)+f(3)=2f(2),現(xiàn)給出如下結(jié)論:

①若f(x)是(0,1)上的增函數(shù),則f(x)是(3,4)的增函數(shù);

②若a·f(1)≥a·f(3),則f(x)有極值;

③對任意實數(shù)x0,直線y=(c?12a)(x?x0)+f(x0)與曲線y=f(x)有唯一公共點.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )

A.0 B.1 C.2 D.3

5.(2009北京)設f(x)是偶函數(shù),若曲線y=f(x)在點處的切線斜率為1,則該曲線在點(1,f(1))處的切線的斜率為____.

6.設函數(shù)f(x)=x(x?2)(x?a)(a＞1)

(1)求導數(shù)f′(x),并證明f(x)有兩個不同的極值點x1,x2;

(2)若不等式f(x1)+f(x2)≤0成立,求a的取值范圍.

[1]楊連鋒.三次函數(shù)切線問題的再研究[J].中學數(shù)學研究.2014(10).

[2]于先金.關(guān)于原函數(shù)與其導函數(shù)對稱性的聯(lián)系的探究[J].中學數(shù)學研究.2008(4).