浙江省杭州市富陽區(qū)新登中學(311404) 汪道智

追本溯源明本質(zhì) 引申探究點差法

浙江省杭州市富陽區(qū)新登中學(311404) 汪道智

點差法是解決圓錐曲線中點弦問題的一種基本方法,而學生對點差法的掌握往往只停留在問題表面的一種記憶性的結(jié)論,而沒有理解問題的本質(zhì).本文對點差法進行了一些探究與引申,以幫助學生理解圓錐曲線中點弦問題的本質(zhì),提高解題能力.

圓錐曲線 中點弦 點差法

1.原題呈現(xiàn)

題目 (人教A版高中數(shù)學選修2-1第49頁習題2.2 A組第8題)已知橢圓,一組平行直線的斜率是

(1)這組直線何時與橢圓相交?

(2)當它們與橢圓相交時,證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在一條直線上.

解 (1)略.(2)點差法 設直線被橢圓截得的線段兩端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x,y).則

所以

筆者將在下文中對點差法進行一些引申與探究,以期能對通過此文幫助學生加深對圓錐曲線中點弦問題的本質(zhì)的理解.

2.基本模型

首先以焦點在x軸上的橢圓為例:如圖1不過原點O的直線l與橢圓(a＞b＞0)交橢圓于A、B兩點,M為線段AB的中點,則(其中e為橢圓的離心率).

圖1

簡證 設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x0,y0).則

變式 (1)焦點在y軸上的橢圓則

(2)焦點在x軸上的雙曲線則kAB·kOM=

(3)焦點在y軸上的雙曲線則

以上幾個圓錐曲線中點弦性質(zhì)均可以用點差法證明,這里不再贅述.下面繼續(xù)探究與上述性質(zhì)相關(guān)的一些問題.

3.性質(zhì)探究

下面對焦點在x軸上的圓錐曲線進行探究與引申:

引申1 若A、B是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點,M是橢圓上不同于A、B的任意一點,則

分析 文[1]中用代數(shù)法已給出證明,筆者在這里運用圖形闡述引申1的結(jié)論與上述中點弦性質(zhì)之間的聯(lián)系.如圖2,取MB的中點D,由橢圓中點弦性質(zhì)易得,在△MAB中,OD//MA,所以kOD=kMA,即

圖2

特別地,若A、B是橢圓上長軸的兩個端點,M是橢圓上不同于A、B的任意一點,則

反之若A、B是x軸上關(guān)于原點對稱兩個定點,M是不同于A、B的任意一點,若有則點M的軌跡是以A、B為長軸的橢圓.

人教A版數(shù)學選修2-1第41頁例3就是此概念的典例.

引申2 若A、B是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點,M是雙曲線上不同于A、B的任意一點,則反之若A、B是x軸上關(guān)于原點對稱兩個定點,M是不同于A、B的任意一點,若有則點M的軌跡是以A、B為實軸的雙曲線.

特別地,若A,B是雙曲線實軸軸的兩個端點,M是雙曲線上不同于A,B的任意一點,則反之若A、B是x軸上關(guān)于原點對稱兩個定點,M是不同于A,B的任意一點,若有則點M的軌跡是A,B為實軸的雙曲線.

引申3不過原點O的直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A、B兩點,M為線段AB的中點,則

簡證 設M(x0,y0),則橢圓在M點處的切線方程為(求解方法可參見[2]),即又,所以

另外我們也可以從極限思想來理解.如圖3,當圖1中的直線AB平行向右上方移動時,A、B兩點無限接近,極限狀態(tài)是直線AB與橢圓相切,此時中點M演變?yōu)榍悬cM,所以

圖3

簡證 由引申4,

易得,

4.解法賞析

圓錐曲線中點弦問題在近幾年高考中真題中頻繁出現(xiàn),應用上述性質(zhì)解題事半功倍.請欣賞:

(1)求實數(shù)m的取值范圍;

(2)求△AOB面積的最大值(為坐標原點).

解 (1)如圖4,設A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點M(x0,y0).由點A、B關(guān)于直線對稱得由得到:

又AB中點M在直線上,

聯(lián)立1○,2○,得

由M(x0,y0)在橢圓內(nèi)部得到:可解得或

圖4

(2)略.

點評 此題也可以設AB方程為通過聯(lián)立直線與橢圓方程利用判別式和韋達定理來做,但計算量相對較大,容易出現(xiàn)計算錯誤.而利用中點弦性質(zhì),方法簡捷明快,很好地激發(fā)了學生的解題興趣.

例2(2014年浙江高考理科第16題)設直線x?3y+m=0(m/=0)與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A、B.若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是___.

解 設AB中點M(x0,y0),由題意可得方程組

點評 學生解決此題的直觀解法是將漸近線方程與已知直線聯(lián)立方程組,分別解出A、.B兩點的坐標,進而得到AB中點M的坐標,再利用kPM·kAB=?1得到關(guān)于a,b的一個等量關(guān)系求得離心率.顯然利用引申3的性質(zhì)解決此題要方便得多.

(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示);

(2)若任意以A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點,求橢圓離心率的取值范圍.

解 (1)略;(2)如圖5,從問題的反面考慮.假設圓與橢圓的公共點有4個,由對稱性可設y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P、Q滿足|AP|=|AQ|,令PQ中點M(x0,y0).

圖5

設PQ∶y=kx+b,則由kOM·k=e2?1,得則

將②式代入①式可得,由存在性知,解得所以橢圓離心率的取值范圍是

點評 此題是浙江省高考考查解析幾何的一道難度較大的解答題,第二問得分率較低.究其原因還是學生對圓錐曲線中點弦問題的本質(zhì)理解不夠深刻.

5.追本溯源

點差法在教材中雖然沒有以例題的形式出現(xiàn),但它是源于教材習題的“變身”.在教學中教師如果僅僅告訴學生圓錐曲線中點弦問題使用點差法就匆匆而過,實在可惜!在數(shù)學上遇到一個真正觸及數(shù)學靈魂的題目時,我們要停下匆匆的腳步,認真感悟、欣賞,并且能夠?qū)?shù)學最本質(zhì)的東西教給學生.許多高考試題也是課本例題、習題的華麗轉(zhuǎn)型.作為教師要重視對教材的研究,能將課本的例題、習題加以拓展、深化,挖掘數(shù)學問題的內(nèi)涵.高考源于教材而高于教材,教學中需要教師正確理解教材例題設計的意圖,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,找到共性,這才是事半功倍的做法.

[1]蘇立標.探求以e2?1為定值的圓錐曲線問題[J].中學數(shù)學教學,2006(3):18-19.

[2]李紅春.橢圓切線方程的兩種巧妙求法[J].中學生數(shù)學,2014(10)(高中):11.