浙江省杭州市富陽區(qū)新登中學(xué)(311404) 汪道智

追本溯源明本質(zhì) 引申探究點差法

浙江省杭州市富陽區(qū)新登中學(xué)(311404) 汪道智

點差法是解決圓錐曲線中點弦問題的一種基本方法,而學(xué)生對點差法的掌握往往只停留在問題表面的一種記憶性的結(jié)論,而沒有理解問題的本質(zhì).本文對點差法進行了一些探究與引申,以幫助學(xué)生理解圓錐曲線中點弦問題的本質(zhì),提高解題能力.

圓錐曲線 中點弦 點差法

1.原題呈現(xiàn)

題目 (人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1第49頁習題2.2 A組第8題)已知橢圓,一組平行直線的斜率是

(1)這組直線何時與橢圓相交?

(2)當它們與橢圓相交時,證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在一條直線上.

解 (1)略.(2)點差法 設(shè)直線被橢圓截得的線段兩端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x,y).則

所以

筆者將在下文中對點差法進行一些引申與探究,以期能對通過此文幫助學(xué)生加深對圓錐曲線中點弦問題的本質(zhì)的理解.

2.基本模型

首先以焦點在x軸上的橢圓為例:如圖1不過原點O的直線l與橢圓(a＞b＞0)交橢圓于A、B兩點,M為線段AB的中點,則(其中e為橢圓的離心率).

圖1

簡證 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x0,y0).則

變式 (1)焦點在y軸上的橢圓則

(2)焦點在x軸上的雙曲線則kAB·kOM=

(3)焦點在y軸上的雙曲線則

以上幾個圓錐曲線中點弦性質(zhì)均可以用點差法證明,這里不再贅述.下面繼續(xù)探究與上述性質(zhì)相關(guān)的一些問題.

3.性質(zhì)探究

下面對焦點在x軸上的圓錐曲線進行探究與引申:

引申1 若A、B是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點,M是橢圓上不同于A、B的任意一點,則

分析 文[1]中用代數(shù)法已給出證明,筆者在這里運用圖形闡述引申1的結(jié)論與上述中點弦性質(zhì)之間的聯(lián)系.如圖2,取MB的中點D,由橢圓中點弦性質(zhì)易得,在△MAB中,OD//MA,所以kOD=kMA,即

圖2

特別地,若A、B是橢圓上長軸的兩個端點,M是橢圓上不同于A、B的任意一點,則

反之若A、B是x軸上關(guān)于原點對稱兩個定點,M是不同于A、B的任意一點,若有則點M的軌跡是以A、B為長軸的橢圓.

人教A版數(shù)學(xué)選修2-1第41頁例3就是此概念的典例.

引申2 若A、B是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點,M是雙曲線上不同于A、B的任意一點,則反之若A、B是x軸上關(guān)于原點對稱兩個定點,M是不同于A、B的任意一點,若有則點M的軌跡是以A、B為實軸的雙曲線.

特別地,若A,B是雙曲線實軸軸的兩個端點,M是雙曲線上不同于A,B的任意一點,則反之若A、B是x軸上關(guān)于原點對稱兩個定點,M是不同于A,B的任意一點,若有則點M的軌跡是A,B為實軸的雙曲線.

引申3不過原點O的直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A、B兩點,M為線段AB的中點,則

簡證 設(shè)M(x0,y0),則橢圓在M點處的切線方程為(求解方法可參見[2]),即又,所以

另外我們也可以從極限思想來理解.如圖3,當圖1中的直線AB平行向右上方移動時,A、B兩點無限接近,極限狀態(tài)是直線AB與橢圓相切,此時中點M演變?yōu)榍悬cM,所以

圖3

簡證 由引申4,

易得,

4.解法賞析

圓錐曲線中點弦問題在近幾年高考中真題中頻繁出現(xiàn),應(yīng)用上述性質(zhì)解題事半功倍.請欣賞:

(1)求實數(shù)m的取值范圍;

(2)求△AOB面積的最大值(為坐標原點).

解 (1)如圖4,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點M(x0,y0).由點A、B關(guān)于直線對稱得由得到:

又AB中點M在直線上,

聯(lián)立1○,2○,得

由M(x0,y0)在橢圓內(nèi)部得到:可解得或

圖4

(2)略.

點評 此題也可以設(shè)AB方程為通過聯(lián)立直線與橢圓方程利用判別式和韋達定理來做,但計算量相對較大,容易出現(xiàn)計算錯誤.而利用中點弦性質(zhì),方法簡捷明快,很好地激發(fā)了學(xué)生的解題興趣.

例2(2014年浙江高考理科第16題)設(shè)直線x?3y+m=0(m/=0)與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A、B.若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是___.

解 設(shè)AB中點M(x0,y0),由題意可得方程組

點評 學(xué)生解決此題的直觀解法是將漸近線方程與已知直線聯(lián)立方程組,分別解出A、.B兩點的坐標,進而得到AB中點M的坐標,再利用kPM·kAB=?1得到關(guān)于a,b的一個等量關(guān)系求得離心率.顯然利用引申3的性質(zhì)解決此題要方便得多.

(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示);

(2)若任意以A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點,求橢圓離心率的取值范圍.

解 (1)略;(2)如圖5,從問題的反面考慮.假設(shè)圓與橢圓的公共點有4個,由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P、Q滿足|AP|=|AQ|,令PQ中點M(x0,y0).

圖5

設(shè)PQ∶y=kx+b,則由kOM·k=e2?1,得則

將②式代入①式可得,由存在性知,解得所以橢圓離心率的取值范圍是

點評 此題是浙江省高考考查解析幾何的一道難度較大的解答題,第二問得分率較低.究其原因還是學(xué)生對圓錐曲線中點弦問題的本質(zhì)理解不夠深刻.

5.追本溯源

點差法在教材中雖然沒有以例題的形式出現(xiàn),但它是源于教材習題的“變身”.在教學(xué)中教師如果僅僅告訴學(xué)生圓錐曲線中點弦問題使用點差法就匆匆而過,實在可惜!在數(shù)學(xué)上遇到一個真正觸及數(shù)學(xué)靈魂的題目時,我們要停下匆匆的腳步,認真感悟、欣賞,并且能夠?qū)?shù)學(xué)最本質(zhì)的東西教給學(xué)生.許多高考試題也是課本例題、習題的華麗轉(zhuǎn)型.作為教師要重視對教材的研究,能將課本的例題、習題加以拓展、深化,挖掘數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵.高考源于教材而高于教材,教學(xué)中需要教師正確理解教材例題設(shè)計的意圖,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,找到共性,這才是事半功倍的做法.

[1]蘇立標.探求以e2?1為定值的圓錐曲線問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2006(3):18-19.

[2]李紅春.橢圓切線方程的兩種巧妙求法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2014(10)(高中):11.