四川師范大學數(shù)學與軟件科學學院(610068) 陳 柳

“截長補短”法應用中所蘊含的“旋轉”思想

四川師范大學數(shù)學與軟件科學學院(610068) 陳 柳

截長補短法是解決線段和差問題的主要方法,但在解題時如何去做輔助線仍然是學生的難點.這篇文章探究了旋轉思想在和差問題中的應用,將截長補短法用旋轉來刻畫,總結并提出了蘊含旋轉思想的截長補短法的解題模式.使讀者能夠更加深刻的理解截長補短法,并在運用時能夠快速的找準方向.

旋轉 截長補短 和差問題

幾何是中學數(shù)學的一個重要組成部分.不管是幾何證明題還是計算題,通常需要做輔助線來幫助解題,而輔助線的做法卻是一個難點.在涉及線段的和差問題中,截長補短法是一個通用的方法.本文通過例題來探究了旋轉思想在截長補短法做輔助線上的應用,以此幫助學生能夠快速而準確找準突破點,深刻地理解截長補短法.

1 “旋轉”輔助證明和差關系

例1 如圖1,圓O是△ABC的外接圓,并且△ABC是等邊三角形,點P是弧AB上的一個動點,求證:PA+PB=PC.

分析 該題要證明的是線段的和差關系,如果能夠將兩條較短的線段合并為一條線段,再證明該條線段與最長的那條線段相等,那么問題就迎刃而解了,如果該條線段就是最長的那條線段那就更簡單了.

圖1

思路一 如果將△ABC繞點A逆時針旋轉60°,那么由已知條件、旋轉以及圓的知識可以證明,旋轉后的三角形為圖2中的△ADC,且點P、D、C在同一條直線上,其中有AP=PD,PB=DC,這樣就將短的兩條線段轉移到了長的線段中去,相當于截長補短法中的截長法.

圖2

圖3

思路二 如果將△APC繞點A順時針時針旋轉60°,那么由已知條件、旋轉以及圓的知識可以證明,旋轉后的三角形為圖3中的△ADB,并且點P、D、B在同一條直線上,其中有AP=DP,DB=PC.相當于截長補短法中的補短法.

證明一 將△APB繞點A逆時針旋轉 60°.因為△ABC是等邊三角形,則AB旋轉后的對應線段為AC.設AP旋轉后的對應線段為AD,連接PD,有△APB～=△ADC.所以AP=AD,又因為 ∠PAD=60°,所以△APD是等邊三角形,則PA=PD.由于四邊形APBC是圓的內接四邊形,有∠APB+∠ACB=180°,所以∠ADC+∠ADP=180°,即點P、D、C在同一條直線上,所以PC=PD+DC=PA+PB.

證明二 將△APC繞點A順時針時針旋轉60°.因為△ABC是等邊三角形,則AC旋轉后的對應線段為AB.設AP旋轉后的對應線段為AD,連接PD,有△ADB～=△APC.所以AP=AD,又因為 ∠PAD=60°,所以APD是等邊三角形,則PA=PD.由于四邊形APBC是圓的內接四邊形,有∠APB+∠ACB=180°,所以∠APB+∠DPA=180°,即點P、D、B在同一條直線上,所以PC=DB=PD+PB=PA+PB.

解題模式 步驟1:通過觀察,將其中一條較短的線段旋轉到最長的線段中去(將最長的線段旋轉到其中一條較短的線段中去).步驟2:通過有關知識證明長線段中剩余的一部分與另一條短的線段相等(證明旋轉后多出的一部分與另一條短的線段相等).

2 以和差關系為已知條件解決相關問題

例2如圖4,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五邊形ABCDE的面積.

圖4

圖5

分析 該題是以線段和差問題為條件,求五邊形ABCDE的面積.由圖可以直觀的看到該五邊形是一不規(guī)則的五邊形,求這種圖形的面積,可以將該圖形分解成所熟知的圖形進而求解,也可以將該圖形的某一部分進行轉移使之形成規(guī)則圖形進而求解.

由題可知AB=AE,∠ABC= ∠AED=90°,如果將△ABC順時針旋轉∠EAB,AB剛好與AE重合,并且點D、E、F在同一直線上,這樣就將五邊形的面積轉移到△AFD和△ACD的面積之和.再由已知條件可以輕松的證明△ACD～=△AFD,并能求出△AFD的面積,進而求出五邊形的面積.

解 如圖5,將△ABC順時針旋轉 ∠EAB,因為AB=AE,所以旋轉后的圖形為△AEF,連AD.因為∠ABC=∠AED=90°,所以點D、E、F在同一直線上.在△ACD與△AFD中,因為AC=AF,

3 “旋轉”探究線段之間的數(shù)量關系

例3 在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N,D為△ABC外一點,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.

探究:當M、N分別在直線AB、AC上移動時,BM、NC、MN之間的數(shù)量關系.

圖6

圖7

(1)如圖6,當點M、N在AB、AC上,且DM=DN時,BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是?

(2)如圖7,點M、N在AB、AC上,且當DM/=DN時,猜想(1)問的兩個結論還成立嗎?寫出你的猜想并加以證明.

分析 (1)可大膽猜測MN=BM+CN,此時思路就是把BM、NC轉移到一條直線上.由題義可知BD=DC,由已知易得 ∠MBD= ∠NCD=90°,可將△MBD繞點D順時針旋轉120°得到△M1CD,如圖.易證△NDM～=△NDM1,則NM=NC+CM1=NC+BM.

圖8

(2)同第一題的分析.

解 (1)∠BDC=120°,BD=DC,所以 ∠DBC=∠DCB=30°,已知△ABC是等邊三角形,所以∠MBD=∠NCD=90°.又因

所以Rt△BDM～=Rt△CDN,已知 ∠MDN=60°,所以 ∠MDB= ∠NDC=30°.將△MBD繞點D順時針旋轉 120°得到△M1CD,△MBD～=△M1CD.由于∠NCD+∠MCD=180°,所以點N、C、M1在同一條直線上.因為

且

(2)猜想:結論仍然成立.

證明 同(1)證明.

說明:不管MD與ND是否相等,都有

這篇文章主要探究了截長補短法在解決線段的和差問題時所蘊含的旋轉思想,換句話說就是旋轉在解決線段和差問題的運用,并給出了有關問題的解題模式.在解決某些線段和差問題時,利用旋轉可以使解題過程更加簡明清晰,不必去繁瑣證明線段相等,圖形全等,如例1中DC=PB,PC=DB,可由旋轉性質直接得到.探究旋轉在線段和差問題中運用,是為了深化截長補短法.解決線段的和差問題整個的大思想還是截長補短,但是旋轉可以使截長補短的這個過程更加的簡單清晰.特別針對旋轉很熟悉的讀者,使之對線段和差問題的解決提升一個階梯.