甘肅省康樂縣康樂中學(xué) 齊斌德

例談解析幾何中的多動點(diǎn)最值問題的求解

甘肅省康樂縣康樂中學(xué) 齊斌德

解析幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要知識點(diǎn),是“數(shù)形結(jié)合”這一數(shù)學(xué)思想方法的集中體現(xiàn),圓錐曲線中的一些最值問題是近幾年高考中的熱點(diǎn),而其中的多動點(diǎn)問題,由于動點(diǎn)多,導(dǎo)致涉及面加大,如果不掌握一些方法,往往在紛繁復(fù)雜的情況下理不出頭緒來.所謂“多動點(diǎn)”問題,就是題目中的動點(diǎn)不止一個,而是有多個,某一動點(diǎn)運(yùn)動時會帶動或制約其他一些點(diǎn)的運(yùn)動,在這種錯綜復(fù)雜的情況下,會有一種“山重水復(fù)疑無路”的感覺,但是我們?nèi)绻軌虮M可能地使動點(diǎn)的數(shù)目減少,往往就會出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的局面.現(xiàn)就這種情況下求最值問題談一些方法.

一、動點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)

例1已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動點(diǎn),點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d,且點(diǎn)P在y軸上的射影是M,點(diǎn)則

|PA|+|PM|的最小值是()

分析 本問題的實(shí)質(zhì)是求折線段APM的最小值,而在這個問題中有P、M兩個點(diǎn)在同時運(yùn)動,給解決問題帶來了一定的困難,如果能夠?qū)⑵渲械囊粋€動點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn),則會使問題變得簡單.考慮到拋物線的焦點(diǎn)F為一個定點(diǎn)以及拋物線的定義,可以嘗試著將動點(diǎn)M朝著定點(diǎn)F轉(zhuǎn)化,這樣就可以將原來問題中的兩個動點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個動點(diǎn),從而使問題得以解決.

圖1

(當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時取等號),因此|PA|+|PM|的最小值為因此選擇B.

例2 若點(diǎn)P在拋物線y2=x上,點(diǎn)Q在圓C∶(x?3)2+y2=1上,則|PQ|的最小值為____.

分析 該問題所求的是P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值,但是由于P、Q兩點(diǎn)都是動點(diǎn),給解決問題帶來了困難,但是考慮到拋物線的焦點(diǎn)和圓C的圓心是定點(diǎn),圓C的半徑為定值,如果能夠?qū)蓚€動點(diǎn)中的一個和上述的定點(diǎn)和定值建立聯(lián)系,就會使問題變得簡單.

解 如圖2,

圖2

欲求|PQ|的最小值,只需要求|PQ|+|QC|的最小值即可,而|PQ|+|QC|≥|PC|(當(dāng)且僅當(dāng)P、Q、C三點(diǎn)共線時取等號),的|PC|最小值即為|PQ|+|QC|的最小值.設(shè)P(x0,y0),則

(x0≥0),易知此時|PQ|取得最小值

例3(2015年湖南卷)已知點(diǎn)A、B、C在圓x2+y2=1上運(yùn)動,且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則的最大值為()

A.6 B.7 C.8 D.9

圖3

解 如圖3,

當(dāng)cosθ=1即θ=0時,上式取得最大值7.

二、固定部分動點(diǎn)

例4設(shè)P是圓(x?3)2+(y+1)2=4上的動點(diǎn),Q是直線x=?3上的動點(diǎn),如圖4,則|PQ|的最小值為_______.

圖4

分析 該問題所求的是P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值,但是由于P、Q兩點(diǎn)都是動點(diǎn),給解決問題帶來了困難,這時可以考慮將其中的一個動點(diǎn)固定.

解 不妨將點(diǎn)Q固定,則問題轉(zhuǎn)化為求圓C外一定點(diǎn)Q到圓C上的點(diǎn)P的距離最小的問題.顯然,當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線時,

所以當(dāng)|CQ|最小時,|PQ|也最小.問題轉(zhuǎn)化為求圓心C到直線上的動點(diǎn)Q的最小值問題,易知當(dāng)CQ與直線x=?3垂直時,|CQ|min=6,所以|PQ|min=6?2=4.

再來看例2,如圖5,同樣是求P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值,但是由于P、Q兩點(diǎn)都是動點(diǎn),可以考慮將其中的一個動點(diǎn)固定.不妨將點(diǎn)P固定,則問題轉(zhuǎn)化為求圓C外一定點(diǎn)P到圓C上的點(diǎn)Q的距離最小的問題.顯然,當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)共線時,

所以當(dāng)|CP|最小時,|PQ|也最小.問題轉(zhuǎn)化為求圓心C到拋物線y2=x上的動點(diǎn)P的最小值問題,設(shè)P(x0,y0),由(1)式易得,此時|PQ|取得最小值

圖5

三、構(gòu)造新定點(diǎn)

例5已知P是圓(x?2)2+y2=1上的動點(diǎn),Q是y軸上的動點(diǎn),A(1,2)為定點(diǎn),求|AQ|+|QP|的最小值.

分析 本題實(shí)質(zhì)上是求折線段AQP的最小值,因此解決本題的關(guān)鍵是化折為直,而目前的條件下很難實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo).實(shí)質(zhì)上,我們只要對A作對稱變換,找到一個新的定點(diǎn),就可以將折線段化為直線段.

解 如圖6,作點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)A′,則|A′Q|=|AQ|,從而

圖6

問題轉(zhuǎn)化為求折線段A′QP的最小值,顯然,當(dāng)A′QP是直線段時長度最小,問題轉(zhuǎn)化為求圓C上的一個動點(diǎn)P到圓外一定點(diǎn)A′的最短距離,由圓的性質(zhì)可知當(dāng)P、C、A′三點(diǎn)共線時,|A′P|最小,最小值為 =|A′C|?|CP|,所以

解析幾何不但強(qiáng)調(diào)用代數(shù)的方法研究幾何問題,還強(qiáng)調(diào)用“幾何要素”來引導(dǎo)代數(shù)形式的運(yùn)算和證明.解析幾何中類似以上的多動點(diǎn)問題是學(xué)生在學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),在實(shí)際的問題解決中,可以結(jié)合題目中的信息畫出對應(yīng)的圖像,結(jié)合圖形的一些特征,尋找題目中動的量與靜的量之間的聯(lián)系,化動為靜,變多動點(diǎn)問題為單動點(diǎn)問題,從而解決相應(yīng)的問題.