廣東省廣州市第四中學(xué)(510170) 劉運(yùn)科

2017年高考全國(guó)I卷文理第22題試題分析與備考建議

廣東省廣州市第四中學(xué)(510170) 劉運(yùn)科

2017 年是廣東使用全國(guó)I卷的第二年,今年有超過(guò)90%的考生在第22題、第23題之間選擇了第22題.本文結(jié)合考生的答題情況,對(duì)第22題進(jìn)行了分析,給出了備考建議,希望對(duì)“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的高考備考教學(xué)有所啟發(fā).

一、原題及解法

1.原題 (2017年高考全國(guó)I卷文理第22題)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為

直線l的參數(shù)方程為

(1)若a=?1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);

(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為求a.

2.分析 本題主要考察的知識(shí)點(diǎn)有:曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化,直線與曲線的位置關(guān)系(相交、相離),解方程(組),點(diǎn)到直線(兩平行線)的距離公式,三角函數(shù)的輔助角公式(合一變形),三角函數(shù)的值域等.本題涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有:轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等.

3.解答

第一問(wèn)解法一a=?1時(shí),直線l的方程為x+4y?3=0.曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是聯(lián)立方程

解得C與l交點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)和

第一問(wèn)解法二 由a=?1得到

其中t,θ為參數(shù).故消去θ可得25t2?26t+1=0,解得t=1或.t=1時(shí),得交點(diǎn)(3,0);時(shí),得交點(diǎn).故C與l交點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)和

第一問(wèn)解法三 由a=?1得到

其中t,θ為參數(shù).故

消去t可得4sinθ+3sinθ=3.由

注 只有極個(gè)別考生用解法二、解法三的方法求交點(diǎn).第(1)問(wèn)的思維上不存在難點(diǎn),考生主要因?yàn)橛?jì)算能力薄弱而失分.

第二問(wèn)解法一 直線l一般式方程為:x+4y?4?a=0.設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為P(3cosθ,sinθ),則P到l距離

由?1≤sin(θ+φ)≤1,可得

故|5sin(θ+φ)?4?a|max=max{|?9?a|,|1?a|},

令|?9?a|=|1?a|,得a=?4.

①當(dāng)a≤?4時(shí),|?9?a|≤|1?a|,從而有

0≤|5sin(θ+φ)?4?a|≤|1?a|,

由|1?a|=17,得a=?16或a=18(舍去);2

②當(dāng)a＞?4時(shí),|?9?a|＞|1?a|,從而有

0≤|5sin(θ+φ)?4?a|≤|?9?a|,

由|?9?a|=17,得a=8或a=?26(舍去).

綜上,a=?16或a=8.

令判別式 ?=64b2?4×25×(b2?9)=0,

得b=±5,故橢圓與直線l平行的切線為x+4y±5=0.①當(dāng)a＞?4時(shí),直線l∶x+4y?4?a=0與l2∶x+4y+5=0的距離解得a=8或a=?26(舍去);

②當(dāng)a≤?4時(shí),直線l∶x+4y?4?a=0與l2∶x+4y?5=0的距離解得a=?16 或a=18(舍去).

綜上,a=?16或a=8.

注 多數(shù)考生采用解法一,少數(shù)考生用解法二.第(2)問(wèn)最大的難點(diǎn)在于分類(lèi)討論,或者是求得了四個(gè)a的值,不知道如何取舍.

二、考生典型錯(cuò)誤分析

第一問(wèn)考生的典型錯(cuò)誤如下

1.基本概念不清

(1)混淆參數(shù)方程與極坐標(biāo):由

推得

2.計(jì)算能力薄弱

第二問(wèn)考生的典型錯(cuò)誤如下

(2)審題失誤,且基本方法錯(cuò)誤:誤以為是直線截橢圓的弦長(zhǎng)等于將直線的非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入橢圓方程再得韋達(dá)定理,將其代入弦長(zhǎng)公式得a.

(3)基本公式記憶錯(cuò)誤:點(diǎn)P(x0,y0)到直線l的距離公式出現(xiàn)各種錯(cuò)誤,如等.

(4)基本方法錯(cuò)誤:對(duì)3cosθ+4sinθ進(jìn)行合一變形時(shí),出現(xiàn)各種錯(cuò)誤,如 3cosθ+4sinθ=25sin(θ+37°)、

(5)不會(huì)用函數(shù)方法、分類(lèi)討論來(lái)解方程:

一些考生直接由|1?a|=17或|?9?a|=17,得a=?16或a=18或a=8或a=?26,不知道如何取舍.

(6)用解法二時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤:聯(lián)立計(jì)算錯(cuò)誤、判別式計(jì)算錯(cuò)誤、切線錯(cuò)誤.

(7)用解法二時(shí)求得了四個(gè)a的值,不知道如何取舍,或講不清為什么舍去另外兩個(gè).

(8)解題不夠嚴(yán)謹(jǐn):如合一變形時(shí),未指出輔助角φ的含義;最后一步不能正確地分類(lèi)討論,求得了四個(gè)a的值,不知道如何取舍,或講不清為什么舍去另外兩個(gè).

(9)答題條理混亂,不夠規(guī)范,缺乏必要的解題步驟.

三、備考建議

針對(duì)考生出現(xiàn)的上述錯(cuò)誤,對(duì)“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的高考備考教學(xué),有如下建議:

1.要重視基本概念、基本方法的教學(xué)

(1)重視基本概念的教學(xué),區(qū)分易混淆的概念.

在教學(xué)中要抓住關(guān)鍵,引導(dǎo)學(xué)生理解基本概念.例如,參數(shù)方程教學(xué)中,要讓學(xué)生理解幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題:什么叫參數(shù)方程?參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別是什么?如何互化?幾種常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程中,參數(shù)的幾何意義是什么?參數(shù)方程有哪些簡(jiǎn)單的應(yīng)用?

(2)重視基本方法的教學(xué).

對(duì)于常見(jiàn)的知識(shí)點(diǎn),要總結(jié)方法,對(duì)比方法.例如,求圓的弦長(zhǎng),常見(jiàn)方法有:勾股定理、結(jié)合直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的弦長(zhǎng)公式(|AB|=|t1?t2|)、極坐標(biāo)系中過(guò)極點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式(|AB|=|ρ1?ρ2|)、一般的弦長(zhǎng)公式等.重視解題關(guān)鍵步驟,關(guān)注細(xì)節(jié),形成解題技能.例如,求圓(橢圓)上的點(diǎn)到直線的最短距離問(wèn)題,要讓學(xué)生搞懂解題關(guān)鍵步驟:畫(huà)圖—設(shè)點(diǎn)的參數(shù)方程—代入距離公式—三角函數(shù)合一變形—三角函數(shù)的值域.

2.要加強(qiáng)計(jì)算能力的培養(yǎng)

(1)重視審題指導(dǎo).

個(gè)別考生審題太快,看錯(cuò)題目,或思維固化,受記憶中的題目的干擾,錯(cuò)誤地理解題意,導(dǎo)致審題失誤,整體解題方向錯(cuò)誤.在平時(shí)的教學(xué)中,要重視審題指導(dǎo),提醒學(xué)生認(rèn)真讀題,認(rèn)真分析題目,不要先入為主,準(zhǔn)確理解題意,選擇正確的解題方向.

(2)重視公式和定理的推導(dǎo)過(guò)程.

為什么有考生忘記或用錯(cuò)“點(diǎn)到直線的距離公式”?有的考生是考試緊張所致,更多的考生是因?yàn)闆](méi)有理解公式,既不知道公式的由來(lái),也不知道公式中字母的含義.在平時(shí)的教學(xué)中,要重視公式和定理的推導(dǎo)過(guò)程,分析公式定理的意義,幫助學(xué)生準(zhǔn)確記憶、正確使用公式和定理.

(3)重視推理的嚴(yán)謹(jǐn)性,規(guī)范答題,做好解題示范.

考生一些計(jì)算錯(cuò)誤,簡(jiǎn)單地看,是粗心大意,實(shí)際上是解題習(xí)慣不好.在平時(shí)的教學(xué)中,要重視推理的嚴(yán)謹(jǐn)性,規(guī)范答題,做好解題示范,不省略,不跳步,幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.

(4)重視解題反思,重視方法的總結(jié)與對(duì)比.

3.要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法

本題第二問(wèn)較難,得分率低.主要有兩種解法:函數(shù)法、平移相切法,思路如下:橢圓上的點(diǎn)到直線距離最遠(yuǎn)?點(diǎn)的參數(shù)方程代入距離公式,得到θ的函數(shù)?函數(shù)的最大值為橢圓上的點(diǎn)到直線的距離最遠(yuǎn)?直線平移與橢圓相切平行線間的距離為

多數(shù)考生用解法一.解法一的難點(diǎn)在于解方程:|5sin(θ+φ)?4?a|max=17.解此方程,本質(zhì)上是用函數(shù)方法:令f(θ)=5sin(θ+φ)?4?a,由三角函數(shù)的有界性,易知f(θ)∈[?9?a,1?a];從而fmax(θ)=max{|?9?a|,|1?a|};令|?9?a|=|1?a|得a=?4,從而再按a≤?4,a＞?4進(jìn)行分類(lèi)討論,難點(diǎn)得以突破.

如果用平移相切法,數(shù)形結(jié)合,有一種更簡(jiǎn)潔的解法:先求得兩條切線x+4y±5=0,畫(huà)圖,再求出在橢圓上方且與直線l1∶x+4y+5=0距離為的直線方程x+4y?12=0,同理可求在橢圓下方且與直線l2∶x+4y?5=0距離為的直線方程x+4y+12=0,從而直線x+4y?4?a=0就是直線x+4y?12=0、x+4y+12=0,得a=?16或a=8.用這種方法,避免了分類(lèi)討論,思路直觀,過(guò)程簡(jiǎn)潔優(yōu)美.

圖1

波利亞說(shuō)過(guò),完善的思想方法猶如北極星,許多人通過(guò)它而找到正確的道路.數(shù)學(xué)思想方法是解題的指導(dǎo)思想和基本策略,在平時(shí)的教學(xué)中,要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法,這對(duì)于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,理解問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì),激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,促進(jìn)思維發(fā)展,提高認(rèn)知能力,發(fā)展創(chuàng)造能力,大有裨益.

[1]王印凡.2016年高考文、理科數(shù)學(xué)第23題廣東考生答卷分析與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2016(10).

[2]簡(jiǎn)洪權(quán).高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的組成及培養(yǎng)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2000(12).