張麗

【摘 要】作為高中數(shù)學(xué)學(xué)科的重要內(nèi)容，向量不僅具有“數(shù)”的量化特性，也具有“形”的方向特性，其在高中生解決高中數(shù)學(xué)綜合題目中常常可以起到化繁為簡的作用，尤其適用于三角函數(shù)、解析幾何和立體幾何等部分?jǐn)?shù)學(xué)問題的求解。本文基于高中生視角，就向量在解決高中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用進(jìn)行了深入探究。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；向量；應(yīng)用方法

向量是數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)非常重要的一個(gè)概念和工具，其幾乎涵蓋于高中數(shù)學(xué)學(xué)科的全部內(nèi)容，可以為高中生解決某些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供新的思路和方法，尤其是有助于簡化解題過程，避免大量重復(fù)性計(jì)算，同時(shí)也可以提高解題的準(zhǔn)確率和效率。因此，如何才能有效地深化我們高中生對(duì)于向量的理解和認(rèn)識(shí)，提高我們運(yùn)用向量來解決高中實(shí)際問題的能力值得深入探討。

1.在平面幾何題求解中的應(yīng)用

向量不僅是擁有大小的“量化”指標(biāo)，也是具有方向的“抽象化”指標(biāo)，這決定了其不僅可以反映點(diǎn)或線段之間的長度大小，也可以對(duì)其位置關(guān)系進(jìn)行直觀反映。根據(jù)性質(zhì)的不同，可以將向量分成零向量、共線向量和平行向量。通過分析向量的性質(zhì)，我們很容易發(fā)現(xiàn)其和平面幾何中點(diǎn)和線段之間的大小和位置關(guān)系具有很強(qiáng)的相似性，所以如果可以在平面幾何問題求解過程中可以引入向量觀念，那么往往可以使我們高中生更快地找到解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的突破口，有助于提高我們解題的準(zhǔn)確度與效率。

例1：已知某三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，-2）、B（2，0）、C（-3，1），線段AB、AC、BC的重點(diǎn)分比為M、N和Q，試求直線MN、MQ和QN的方程。

解析：如果采用傳統(tǒng)的求解方法，那么求解過程比較復(fù)雜，此時(shí)如果我們可以巧妙的引入向量知識(shí)，那么可以快速明確解題思路和方法。

解：通過題目所給已知條件，可求出M、N和Q三點(diǎn)的坐標(biāo)為（-0.5，0.5）、（-1.5，-0.5）和（-3，1）。之后可求出MN直線方程，具體就是假設(shè)MN上某點(diǎn)O的坐標(biāo)為（x，y），那么通過列出向量MN和NO平行且共線的關(guān)系來進(jìn)行求解，同理可以按照這種求解思路來依次求解出直線MQ和NQ的直線方程。

由此可見，通過將題目中的線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量，借助向量的性質(zhì)，可以快速達(dá)到求解有關(guān)數(shù)學(xué)題目的問題。但是在將向量知識(shí)應(yīng)用于平面幾何數(shù)學(xué)問題求解過程中時(shí)，我們高中生必須要搞清楚點(diǎn)和線之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，否則容易因線段與向量的轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤而導(dǎo)致最終解題出錯(cuò)。

2.在不等式證明題求解中的應(yīng)用

不等式證明題也是我們高中生解題過程中常見的一類數(shù)學(xué)問題，其主要是考察我們能否采用科學(xué)、合理的解題方法來證明不等式或條件不等式，具體需要我們采用一些恰當(dāng)?shù)慕忸}技巧來對(duì)題目所給出的不等式等已知條件進(jìn)行變形處理，否則實(shí)際的處理難度相對(duì)較大。而如果此時(shí)在解題期間可以合理引入向量知識(shí)，那么往往可以快速簡化問題，提高不等式證明的準(zhǔn)確度與效率。

解析：該道題目是一道典型的證明題。通過對(duì)題干所給信息進(jìn)行仔細(xì)閱讀即可發(fā)現(xiàn)，已知道等式括號(hào)內(nèi)部的部分基本上和向量中數(shù)量積保持一致，所以可以假定向量M=（a，b），向量N=（m，n），這時(shí)候通過題干信息可以知道M與N之間關(guān)系為平行關(guān)系，所以結(jié)合平行向量的特征與性質(zhì)可以得出：an-bm=0，之后通過對(duì)該式子進(jìn)行適當(dāng)變形即可得出a/m=b/n。

由此可見，在證明不等式等相關(guān)數(shù)學(xué)類型題的過程中，可以嘗試將抽象的數(shù)字關(guān)系轉(zhuǎn)換為向量關(guān)系，通過向量關(guān)系來更好地明確有關(guān)的不等式關(guān)系，這樣可以顯著簡化有關(guān)不等式證明的思路，提高我們高中生解題的準(zhǔn)確度與效率。但是需要注意的是，要在將向量應(yīng)用于證明不等式成立類型題目的時(shí)候，必須要對(duì)所證明不等式的特征進(jìn)行仔細(xì)觀察，密切聯(lián)系向量的性質(zhì)與特征，確保轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)確性，否則同樣可能會(huì)因轉(zhuǎn)化問題而導(dǎo)致解題出錯(cuò)。

3.在方程題求解中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)學(xué)科常見的類型題中，方程解析題是比較普遍的一種類型題，尤其是其中有部分方程題目很難通過直接變形來進(jìn)行求解，否則可能會(huì)陷入解題的重復(fù)計(jì)算中。而如果可以嘗試在方程解析過程中引入和應(yīng)用向量方面的知識(shí)，那么可以在快速解決有關(guān)問題的同時(shí)，提高其實(shí)際解題的準(zhǔn)確度和效率。

綜上所述，向量在平面幾何題、解析方程題以及不等式證明題等高中數(shù)學(xué)類型題求解中的合理應(yīng)用，可以顯著優(yōu)化我們高中生求解相關(guān)數(shù)學(xué)問題的思路，有助于我們快速找到解題突破口，但是需要注意的是要注意結(jié)合實(shí)際的數(shù)學(xué)題目，綜合向量的特征和性質(zhì)來對(duì)有關(guān)題目已知條件進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，從而借此來不斷提升我們高中生的數(shù)學(xué)解題能力。endprint