田煒歌

對(duì)立體幾何找直線與平面交點(diǎn)問(wèn)題的探究

田煒歌

立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)體系的建構(gòu)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，學(xué)生對(duì)其基本定理和公理的理解程度決定了解題和判斷能力。很多學(xué)生到了高三階段在立體幾何問(wèn)題中舉步維艱，其實(shí)是源于基礎(chǔ)知識(shí)的缺失。本文以2016年高三質(zhì)量檢測(cè)考試中的一道立體幾何試題為例，探究直線與平面交點(diǎn)的方法，希望對(duì)鞏固學(xué)生的立體幾何知識(shí)、提升空間想象和推理論證的能力，為教師進(jìn)行立體幾何教學(xué)和高三復(fù)習(xí)提供幫助。

立體幾何；交點(diǎn)；公理；定理

一、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

在2016年9月的長(zhǎng)春市高三質(zhì)量檢測(cè)（一模）考試中，文科數(shù)學(xué)16題是一道考查學(xué)生空間想象能力的立體幾何試題：已知三棱錐S-ABC，滿足SA,SB,SC兩兩垂直，且SA=SB=SC=2，Q是三棱錐S-ABC外接球上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)Q到平面ABC的距離的最大值為多少？

圖(1)

圖(2)

此題的得分率不高，是因?yàn)閷W(xué)生習(xí)慣性地先畫如圖(1)所示的三棱錐，這就很難求出外接球的特征。當(dāng)提示要觀察三垂足S，并把三棱錐S-ABC還原成立方體之后，學(xué)生們很快就能發(fā)現(xiàn)三棱錐的外接球就是立方體的外接球，外接球的球心即立方體的中心，到平面ABC距離最大時(shí)點(diǎn)Q的位置如圖(2)所示，在頂點(diǎn)S所在的體對(duì)角線的另一端。

但是5分鐘后，學(xué)生仍然沒(méi)能得出結(jié)論，其原因不是SQ為什么垂直于平面ABC，而是提出了另外一個(gè)問(wèn)題：SQ與平面ABC的交點(diǎn)在哪里？

這個(gè)問(wèn)題很好回答，也有多種方法去解決，其應(yīng)用的是立體幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)，但卻成為了學(xué)生解題的絆腳石。這說(shuō)明學(xué)生的空間想象能力較弱，對(duì)直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用能力弱，對(duì)最基本公理的理解也不到位。

二、探究問(wèn)題

以此題為例，介紹三個(gè)方法來(lái)解決這個(gè)“找交點(diǎn)”問(wèn)題。

方法一：從外接球的角度講，直徑SQ垂直于球的截面ABC，這個(gè)垂足K就是△ABC外接圓的圓心。去掉干擾線，應(yīng)如圖3所示。

圖(3)

圖(4)

方法二：人教A版教材中，習(xí)題B組中有原題，求證立方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AC1與平面A1BD的交點(diǎn)是△A1BD的重心。利用射影定理，因?yàn)?AB=AD=AA1，所以 KD=KB=KA1，所以得點(diǎn)K是△A1BD的外心，即為正△A1BD的重心。如圖4所示。

方法三：利用公理進(jìn)行作圖求得交點(diǎn)K。如圖5所示，連接SD交AC于點(diǎn)M，連接BM。因?yàn)?K∈SQ且 SQС 平面 SBQD，所以 K∈面SBQD，所以K是平面ABC與平面SBQD的公共點(diǎn)，所以位于平面ABC與平面SBQD上的交線上；又因?yàn)辄c(diǎn)B,M都在平面ABC與平面SBQD上，所以線BM即為平面ABC與平面SBQD的交線，所以點(diǎn)K在交線BM上；綜上，直線SQ與直線BM的交點(diǎn)即為直線SQ與平面ABC的交點(diǎn)K。

圖(5)

三、比較三個(gè)方法得出找交點(diǎn)的通法

方法一要求學(xué)生有很好的空間想象能力，這個(gè)思路以球?yàn)檩d體，在復(fù)習(xí)必修2第一章旋轉(zhuǎn)體的部分時(shí)，借助正方體的外接球模型來(lái)認(rèn)識(shí)球是一個(gè)空間的幾何體，讓學(xué)生熟知球的截面是圓，過(guò)球面上任意三個(gè)點(diǎn)A、B、C做的截面都是圓，即△ABC的外接圓。

方法二是考查射影定理模型，新教材中，不提倡射影定理及其逆定理，而是直接用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理來(lái)理解這個(gè)模型。在復(fù)習(xí)必修2第二章直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理時(shí)，讓學(xué)生對(duì)這個(gè)模型深入理解。通過(guò)這道題或正三棱錐為載體來(lái)了解掌握射影定理模型，并通過(guò)這個(gè)模型來(lái)進(jìn)一步理解直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。

方法三是最基礎(chǔ)的方法，只使用公理1與公理3即可。公理1的作用是判定直線在平面內(nèi)，公理3的作用最常用來(lái)證明三點(diǎn)共線或三線共點(diǎn)，教材中能夠作為理解這兩個(gè)定理的題很少，本題恰恰提供了一個(gè)很好的思路，并且適用于所有類似的找交點(diǎn)問(wèn)題。

為了能提高學(xué)生在立體幾何上的綜合能力，加強(qiáng)對(duì)公理的理解與使用，教學(xué)時(shí)，筆者先要求學(xué)生背誦一遍三個(gè)公理的內(nèi)容，并給出以下三個(gè)“找交點(diǎn)”問(wèn)題。

題1：已知長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1，如圖 6，底面ABCD邊長(zhǎng)1，高 AA1長(zhǎng)2，求BD1與面B1AC的交點(diǎn)。

題 2：已知正方體 ABCD-A1B1C1D1，如圖 7，F(xiàn)點(diǎn)為體對(duì)角線BD1的四分之一分點(diǎn)，靠近B，求過(guò)點(diǎn)A,C,F的平面與棱BB1的交點(diǎn)。

題 3：已知正方體 ABCD-A1B1C1D1，如圖 8，F(xiàn)點(diǎn)為體對(duì)角線BD1的四分之一分點(diǎn)，靠近B，求過(guò)點(diǎn)D,C,F的平面與棱BB1的交點(diǎn)。

圖(6)

圖(7)

圖(8)

顯然，對(duì)于這三個(gè)例子，方法一與方法二不適合，應(yīng)當(dāng)用方法三。題1的解答與方法三完全一樣，不再贅述。題2作法：連接BD交AC于點(diǎn)M，連接MF并延長(zhǎng)交BB1于點(diǎn)H,H為所求交點(diǎn)。

題3作法：連接DF并延長(zhǎng)交BB1于點(diǎn)N，點(diǎn)N為所求交點(diǎn)。

圖（9）

還可以拓展一些直線與平面交點(diǎn)在幾何體外的類型題。

題4：已知正方體 ABCD-A1B1C1D1，如圖 9，點(diǎn)M為A1B的中點(diǎn)，求C1M與平面ADD1A1的交點(diǎn).

完成練習(xí)之后，再次讓學(xué)生總結(jié)，三個(gè)公理的作用是什么，交點(diǎn)可以通過(guò)什么來(lái)求。

必修2教材的習(xí)題B組中，有對(duì)公理應(yīng)用的配備練習(xí)，即三點(diǎn)共線和三線共點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)有效地利用起來(lái)。在教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)公理的作用能培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和應(yīng)用公理定理解決問(wèn)題的能力。

四、強(qiáng)化幾何作圖教學(xué)，提升空間想象能力

在初等教育中，幾何是一門很形象的學(xué)科，是研究圖形的大小和位置關(guān)系。學(xué)生一開(kāi)始很容易就喜歡上幾何，因?yàn)閳D形來(lái)源于直觀的生活，卻在最后很容易就放棄幾何，因?yàn)闊o(wú)法把圖形還原于直觀的生活。所以，在立體幾何教學(xué)中，我們對(duì)任何抽象小題研究的目的都思考：如何培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

通過(guò)這個(gè)簡(jiǎn)單試題，發(fā)現(xiàn)在多個(gè)解題方法中，最簡(jiǎn)單的也最容易被忽視的方法是應(yīng)用公理的方法三，即幾何作圖能力。簡(jiǎn)單的平面幾何作圖，對(duì)高中生來(lái)說(shuō)已經(jīng)很簡(jiǎn)單，但是立體幾何圖形的作圖就有難度了。

教學(xué)的第一步，如教材中用斜二側(cè)畫法來(lái)畫一個(gè)整體的立體圖形，如長(zhǎng)方體、直六棱柱。先畫底面，再畫側(cè)棱，最后將上底面各個(gè)頂點(diǎn)順次鏈接起來(lái)。這種畫法讓學(xué)生可以很快感受到一個(gè)幾何體的直觀圖。但是對(duì)于幾何體內(nèi)部點(diǎn)、線、面的關(guān)系就需要進(jìn)一步的引導(dǎo)。需要引導(dǎo)學(xué)生先找到點(diǎn)的位置，進(jìn)而找到線的位置，有了線的位置，就能找到面的位置。

公理是立體幾何的基石，是所有定理和重要結(jié)論存在的依據(jù)，是將對(duì)點(diǎn)、線、面的直觀感知轉(zhuǎn)化成準(zhǔn)確位置關(guān)系的重要依據(jù)。課標(biāo)中指出：公理對(duì)學(xué)生建立空間感，實(shí)現(xiàn)從認(rèn)識(shí)平面幾何到認(rèn)識(shí)空間幾何具有十分重要的促進(jìn)作用?？季V中要求“能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題”，所以要重視培養(yǎng)學(xué)生使用公理看待問(wèn)題的意識(shí)和能力。

過(guò)去的考試中，對(duì)立體幾何公理的考察基本只出現(xiàn)在文字判斷辨析中，而作圖既能考察學(xué)生的空間推理證明能力，又能考查學(xué)生將知識(shí)應(yīng)用于生活的實(shí)踐能力。近幾年高考題，立體幾何作圖找點(diǎn)等問(wèn)題回到了人們的視線中，這提示我們不能忽略公理使用的教學(xué)，要培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與應(yīng)用意識(shí)。

G632

A

1671-6531（2017）09-0074-03

田煒歌/長(zhǎng)春市第七中學(xué)二級(jí)教師（吉林長(zhǎng)春130051）。

責(zé)任編輯：蘇 航