☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 沈曉凱

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 胡典順

從幾何直觀到邏輯推理
——例談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 沈曉凱

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 胡典順

一、引言

“注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀”是進(jìn)入新世紀(jì)以來數(shù)學(xué)教育的熱點話題之一，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》［1］明確提出：培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求.數(shù)學(xué)是一門可以通過直覺學(xué)習(xí)和理解的學(xué)科，在數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和幾何直觀能力十分重要.數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)新知獲取的過程可以概括為八個字：大膽猜測，小心論證.大膽猜測即是從幾何直觀上猜測對象與對象之間的關(guān)系，小心論證則是對猜測的結(jié)果進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯推理，這是數(shù)學(xué)思維方式的特點.那么如何在平時的教學(xué)過程中落實和培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與邏輯推理能力，這是作為數(shù)學(xué)教師必須思考的一個問題.本文以2017年武漢市“高三數(shù)學(xué)四月調(diào)考”中的一個圓錐曲線題目為例，闡述教師在講解題目的過程中應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行探究，激發(fā)學(xué)生的探索興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.

二、問題展示

已知圓O：x2+y2=1和拋物線E：y=x2-2，O為坐標(biāo)原點.過拋物線E上一點P（x0，y0）作兩直線PQ、PR與圓O相切，且分別交拋物線E于Q、R兩點，若直線QR的斜率為求點P的坐標(biāo).

這是筆者在某重點高中講課時遇到的一個調(diào)研考試題目，下面簡要敘述師生共同對該問題探究的過程.

師：這個題目突破了圓錐曲線一直以來分為兩小問，第一問求軌跡方程，第二問求最值、定點、定值或線段長度等這一類型，而是將其分成兩個不相關(guān)的小題，這是其中的第二小題，下面我們一起來分析和探討一下這個題目.

師：首先，經(jīng)過我們的分析發(fā)現(xiàn)，這兩條直線的斜率都是存在的（如果其中一條直線的斜率不存在，則與拋物線不存在兩個交點）.所以可設(shè)直線方程為y=k（xx0）+y0，因為直線與圓O：x2+y2=1相切，則O點到直線的距離等于半徑1，即.整理可得，即②（其中，k1，k2為PQ、PR的斜率），如圖1所示：

圖1

三、問題探究

師：對于這個問題的具體分析我們就說到這里.下面我們再回到圖1，來研究一下這個圖隱藏著什么信息.同學(xué)們，請你們仔細(xì)觀察圖1，告訴老師你們發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生們認(rèn)真觀察圖1，仔細(xì)探究問題，并踴躍作答.

（1）對問題提出猜想

生1：老師，我覺得圖1中的直線QR可能也與圓O相切，也就是說圓O可能是三角形PQR的內(nèi)切圓.

（2）用特殊點驗證猜想

生2：我同意生1的想法，并找了一個特殊點進(jìn)行驗證.取特殊點P（0，-2），根據(jù)PQ、PR與圓相切求得斜率k1，

k2，并求得，可知QR與圓O相切.

師：嗯.很好！那同學(xué)們再想一想，是否只存在個別特殊點滿足該性質(zhì)，還是說對拋物線上所有的點（除x0=±1外）都滿足這個性質(zhì)呢？

（3）幾何直觀探索問題

生3：老師，我借助幾何畫板進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)，拋物線上所有的點（除x0=±1外）都滿足這個性質(zhì).

師：好，那請你上來給同學(xué)們演示一下.

下圖是生3的幾何畫板演示圖，如圖2所示：

圖2

生3：首先在幾何畫板中畫拋物線y=x2-2的圖象，并在拋物線上任取一點P，過P點作圓O的切線交拋物線于Q、R兩點，連接Q、R，過O點作QR的垂線交QR于點A，測得OA的長度為1cm.當(dāng)P點跑遍拋物線上（除x0=±1外）的每一點時，始終能保持OA的長度為1cm等于半徑的大小，所以可以得出直線QR與圓O始終相切.因此，我們可以得出結(jié)論：過拋物線y=x2-2上（除x0=±1外）的任意一點作圓O：x2+y2=1的切線，切線交拋物線于Q、R兩點，連接這兩點的直線始終與圓O相切.

（4）邏輯推理證明問題

生4：生3的方法很直觀，利用幾何畫板從動態(tài)的、直觀的角度給我們生動形象地展示了直線QR始終與圓O相切這一性質(zhì).但是從數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性角度看，這一幾何直觀呈現(xiàn)過程不能算是嚴(yán)格證明，所以我從代數(shù)的角度對此猜想進(jìn)行了證明，證明得到的結(jié)果與生3的結(jié)論一樣，下面給出我的證明思路和過程.

證明思路：要想證明過拋物線上（除x0=±1外）的任意一點作圓O的切線，切線交拋物線于Q、R兩點，連接這兩點的直線始終與圓O相切.只要證明圓心O到直線QR的距離等于半徑即可.

證明過程：由上述解答過程可知，kQR=k1+k2-2x0，Q（k1-x0，（k1-x0）2-2），可將直線設(shè)為y=（k1+k2-2x0）（x-k1+x0）+（k1-x0）2-2，經(jīng)過化簡得直線的一般方程為（k1+k2-由點到直線的距離公式知：

所以，過拋物線y=x2-2上（除x0=±1外）的任意一點作圓O：x2+y2=1的切線，切線交拋物線于Q、R兩點，連接這兩點的直線始終與圓O相切.

同學(xué)們還在為拋物線的這一性質(zhì)感到神奇，這時，下課鈴聲響了，教師對這節(jié)課的探討進(jìn)行了總結(jié).

師：嗯，幾位同學(xué)回答的都很好，也掌握了我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本規(guī)律：大膽猜想，小心論證.既從幾何直觀上找到了對象與對象間的關(guān)系，又從代數(shù)的角度嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明了這一猜想，經(jīng)過我們的探索，證明了當(dāng)a=2，r=1時，直線QR始終與圓O相切.但這個問題還有探究下去的價值，課后請同學(xué)們再接著探索這樣一個問題，對于任意給定的y=x2-a（只考慮a大于0的情形），是否存在圓x2+y2=r2，當(dāng)a和r滿足一定的關(guān)系時，也能使直線QR始終與圓O相切呢？

四、問題推廣

伴隨著上課鈴聲，到了第二天的數(shù)學(xué)課，經(jīng)過課下的認(rèn)真研究后，同學(xué)們心里都有了答案.

（1）幾何直觀探究解的存在性

生5：老師，對于您昨天提的問題，我一開始不敢直接去推理證明，所以我先借助了幾何畫板去探索除了a=2，r=1這種情況外，是否還存在這樣的a和r？雖然不能得到a和r之間的確切關(guān)系，但可以從幾何直觀上判斷這樣的a和r是否存在，如果存在，那我就有動力去探索它們之間確切的關(guān)系.

于是生5上講臺借助幾何畫板進(jìn)行演示.

生5：我先固定a=4，在幾何畫板中畫出y=x2-4的圖象，再用線段FG控制圓O的半徑r的大小.（其余步驟與生3類似，在此不再贅述.）要證明除了a=2，r=1這種情況外，是否還存在其他的a和r，只要證明當(dāng)a=4固定時，圓心O到直線QR的距離OA是否能等于半徑r即可.

這是在探索過程中截的兩副圖，圖3、圖4兩圖能說明當(dāng)a=4時，存在這樣的r使得直線QR與圓O相切.當(dāng)我再進(jìn)一步移動G點的位置時，可以出現(xiàn)這樣的情況，如圖5所示.

圖3

圖4

圖5 很直觀的顯示出當(dāng)a=4，r≈1.56時，過拋物線上（除x0=±r外）的任意一點作圓O的切線，切線交拋物線于Q、R兩點，連接這兩點的直線始終與圓O相切.圖5進(jìn)一步說明了這樣的a和r是存在的.

圖5

（2）邏輯推理探索a和r的關(guān)系式

師：生5的想法很棒，也很好地說明了a和r的存在性.那其他同學(xué)有沒有確切地探索出來了a和r所滿足的關(guān)系式.

生6：老師，我探索出了a和r的所滿足的關(guān)系式，即a=r2+r時，滿足直線QR與圓O相切.具體過程如下所示：

設(shè)P點坐標(biāo)為（x0，y0），過點P的直線方程為y=k（x-x0）+y0，因為直線與圓O：x2+y2=r2相切，則O點到直線的距離等于半徑r，即整理可得r2=0（x0≠±r），即（其中，k1，k2為PQ、PR的斜率）.將直線方程與拋物線方程聯(lián)立求Q、R的坐標(biāo)整理得：x2-kx+kx0-y0-a=0，則x1+x2=k，可求得Q點坐標(biāo)（k1-x0，（k1-x0）2-a），R點坐標(biāo)x2=k1+k2-2x0，所以得到過Q、R兩點的直線方程為：y=（k1+k2-2x0）（x-k1+x0）+（k1-x0）2-a，即

由點到直線的距離公式知：

因P點的任意性可知與x0無關(guān)，所以可得：

由上式中的①可得（r2-a）2=r2，即a=r2+r或a=r2-r.在我們研究的問題中，要求圓在拋物線里面，即，得到a＞r2，所以a=r2-r舍去.將a=r2+r代入②、③均滿足，即推得a和r的所滿足的關(guān)系式為a=r2+r.

五、問題一般化

師：生6的推導(dǎo)過程相當(dāng)縝密，邏輯思維能力和計算能力都很強(qiáng)，表現(xiàn)得很好.其實，這個問題如果從平移和伸縮的角度去考慮的話，我們可以探索得到對于任意拋物線，都存在圓（或橢圓）滿足上述的性質(zhì).

首先我們考慮最基本的拋物線y=x2，它是由y=x2-2向上平移2個單位得到的，所以對于拋物線y=x2，存在圓：x2+（y-2）2=1滿足上述性質(zhì). 所以對于形如y=x2+bx+c（b，c∈R）拋物線，滿足這一性質(zhì)的圓均可以由圓x2+（y-2）2=1經(jīng)過上下平移和左右平移得到.

再考慮拋物線y=3（x2-2），從伸縮變換的角度考慮，即x不變，y變成原來的，同樣對圓x2+y2=1作此變換，得到.經(jīng)驗證，過拋物線y=3（x2-2）（除x0=±1外）的任意一點P作橢圓的切線，交橢圓于Q、R兩點，連接這兩點的直線始終與橢圓相切，如圖6所示（由于篇幅原因，具體證明過程省略）.

圖6

所以通過平移和伸縮變換可以得到與任意拋物線y=ax2+bx+c存在該性質(zhì)的圓或橢圓.

六、結(jié)語

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，很多數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)和解決往往依賴于幾何直觀.數(shù)學(xué)家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借助于圖形直觀加以分析和解決的問題，使直觀變成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的向?qū)?因而，借助幾何直觀進(jìn)行思考，已經(jīng)成為一種很重要的研究策略，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中起著不可替代的作用［2］.

由此可見，幾何直觀能力是學(xué)生必備的能力.教師在教學(xué)過程中因盡量使所研究的問題直觀化，借助恰當(dāng)?shù)闹庇^模型，能更有利于揭示研究對象的本質(zhì)屬性.教師在引導(dǎo)學(xué)生對一道常規(guī)題目進(jìn)行探索和研究的過程中，既發(fā)現(xiàn)了具有推廣價值的性質(zhì)，又使學(xué)生的思維得到發(fā)展，更激發(fā)了學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的興趣，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平.但幾何直觀本身不是目的，而是一種解決問題的手段.在幾何直觀化后得到的結(jié)論必須用邏輯推理加以證明，學(xué)生在進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)邏輯推理證明的同時，提高和發(fā)展了自身的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力.這一探究過程很好地踐行了華羅庚先生提出的“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”觀點，同時也大大地提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題和解決問題的能力.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）［S］，北京：人民教育出版社，2003.

2.孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）年版》的一點認(rèn)識［J］.課程·教材·教法，2012，32（7）.

*全國教育科學(xué)規(guī)劃教育部重點課題——TPACK視角下卓越教師培養(yǎng)的理論研究與實踐探索（課題編號DHA150287）.