☉江蘇省通州高級(jí)中學(xué) 徐婧婧

基于多元表征理論下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究

☉江蘇省通州高級(jí)中學(xué) 徐婧婧

“多元表征理論”強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)問(wèn)題心理表征的多元性及其各方面的相互滲透與必要互補(bǔ).其中尤為值得關(guān)注的是“多元表征理論”對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題心理表征的不同方面或成分做出了尤為突出的強(qiáng)調(diào)，這些都是數(shù)學(xué)問(wèn)題需要正確理解時(shí)各具不同作用的成分，而且，理論對(duì)各成分之間的聯(lián)結(jié)和相互轉(zhuǎn)化也進(jìn)行了多元表征以促成學(xué)生思路的擴(kuò)散以及認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善，這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)來(lái)說(shuō)是極有意義的.

一、加強(qiáng)表征轉(zhuǎn)換訓(xùn)練

能夠說(shuō)明問(wèn)題如何在腦中呈現(xiàn)及正確表達(dá)的“表征”是問(wèn)題解決的中心環(huán)節(jié)之一，這是著名心理學(xué)家西蒙早就在表征理論中闡述過(guò)的觀點(diǎn).所以說(shuō)，重視數(shù)學(xué)概念、公式等表征取向的把握及各問(wèn)題表征之間的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練是教學(xué)中的重要內(nèi)容，因此，教師應(yīng)注重問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)并使問(wèn)題表征與數(shù)學(xué)概念、公式等能夠匹配，從而促成學(xué)生對(duì)概念、公式等的深刻認(rèn)識(shí)與理解.

基本不等式與方程、函數(shù)不同的是對(duì)兩個(gè)變量、兩個(gè)代數(shù)式及一個(gè)恒成立的不等關(guān)系式所進(jìn)行的研究.學(xué)生接觸這樣新型的數(shù)學(xué)模式既感到新奇又感到陌生，很多學(xué)生的思維或許還沉湎于原有的思維模式中不能自拔，因此，教師此時(shí)有目的的關(guān)于問(wèn)題表征之間的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練就尤為有必要了，不同的表征形式一旦展示出來(lái)，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題表征的特征及主要形式便會(huì)建立初步的了解，問(wèn)題表征的基本要領(lǐng)也會(huì)在此過(guò)程中得到逐步掌握，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)公式的多元表征及基本不等式的深層次理解也會(huì)隨之逐步建立.

（1）語(yǔ)言表征：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于（大于等于）它們的等比中項(xiàng).轉(zhuǎn)換成兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（大于等于）它們的幾何平均數(shù)也是一樣的（兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)出現(xiàn)唯一的兩種平均數(shù)相等的現(xiàn)象），學(xué)生在學(xué)會(huì)使用簡(jiǎn)潔而又準(zhǔn)確的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行公式的表達(dá)時(shí)，對(duì)于基本不等式的理解、數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)交流能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)都在這個(gè)過(guò)程中得到了有意義的鍛煉.

（3）操作表征：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行兩個(gè)正數(shù)的取值及其等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的計(jì)算并將結(jié)果一一記錄在Excel表格中，繼而引導(dǎo)他們對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比并最終借助兩個(gè)代數(shù)式之間所存在的關(guān)系而猜想出基本不等式.這樣的操作表征對(duì)于學(xué)生的歸納、概括及猜想等活動(dòng)能夠提供較為具體且更易理解的直接經(jīng)驗(yàn).

（4）情境表征：商場(chǎng)換季促銷(xiāo)設(shè)計(jì)了兩種降價(jià)的方案：第一種，商品a折的基礎(chǔ)之上再b折銷(xiāo)售；第二種，商品折的基礎(chǔ)上再折進(jìn)行促銷(xiāo).哪一種方案更省錢(qián)呢？

“商品打折”這一現(xiàn)實(shí)生活中的生動(dòng)題材使得“基本不等式”的教學(xué)顯得更富有生命力，學(xué)生從自身生活、知識(shí)等經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)應(yīng)用進(jìn)行了親身體驗(yàn)性的抽象提煉，數(shù)學(xué)素養(yǎng)不知不覺(jué)得到了很好的鍛煉.

圖1

（5）圖像表征：如圖1，半圓的直徑為AB，圓周上有一點(diǎn)C，CH⊥AB，垂足為H.若AH=a，HB=b，則為算術(shù)平均值，為幾何平均值.

你能指出a、b的算術(shù)平均值與幾何平均值分別是圖中哪條線段嗎？它們之間的大小關(guān)系怎樣？

引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的幾何圖形中進(jìn)行基本不等式的抽象，使得數(shù)形結(jié)合思想在抽象中得到體現(xiàn)和應(yīng)用，學(xué)生同時(shí)也領(lǐng)悟到了數(shù)學(xué)獨(dú)有的韻味，以及形與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化.

學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題表征的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練中逐步建立起各種表征方式之間的聯(lián)系，學(xué)生在各種數(shù)學(xué)問(wèn)題表征系統(tǒng)內(nèi)部及系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)譯能力也在這樣的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練中不斷提高，多元表征能力、直覺(jué)的經(jīng)驗(yàn)積累、對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題及數(shù)學(xué)表征的深入體驗(yàn)、對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的領(lǐng)悟以及數(shù)學(xué)表達(dá)能力都在表征轉(zhuǎn)換訓(xùn)練中得到了最好的鍛煉與提高.

二、創(chuàng)設(shè)多維表征交流平臺(tái)

數(shù)學(xué)概念、命題、算法及策略經(jīng)驗(yàn)等基本模式所產(chǎn)生的心理圖式我們稱(chēng)之為數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征模式.表征方式也正因?yàn)閿?shù)學(xué)概念、命題及算法等基本模式對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)譯方式的多樣而呈現(xiàn)出多樣性，解題策略與方法包含在每一種表征中的聯(lián)結(jié)詞中.問(wèn)題多維表征能夠促成學(xué)生解題思維的有效拓展與聯(lián)想，因此，啟發(fā)性提示語(yǔ)是教師在教學(xué)中應(yīng)該經(jīng)常運(yùn)用的.比如，如果請(qǐng)你依據(jù)自身的聯(lián)想和經(jīng)驗(yàn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行重新表征，你會(huì)怎么做呢？再比如，思維無(wú)法繼續(xù)的時(shí)候你能否變換問(wèn)題的表征方式呢？這些帶著引導(dǎo)、啟發(fā)性的語(yǔ)言往往能使學(xué)生產(chǎn)生豐富的聯(lián)想并激活自身原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)使得多維表征得以進(jìn)行.

問(wèn)題2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一直線mx-y-2m-1=0（m∈R），試求以點(diǎn)（1，0）為圓心并與該直線相切的所有圓中最大半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

表征分析1：根據(jù)題意可得圓的半徑最大即要求相切時(shí)半徑的最大值且r≠0，因此m≠-1.求出r的最大值本題即可解出.教師引導(dǎo)學(xué)生如此思考之后還應(yīng)適時(shí)啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)聯(lián)想，使得問(wèn)題的表征變得更加靈活，在學(xué)生建立一定的問(wèn)題表征以后再促使學(xué)生進(jìn)行多維表征的交流，表征變得更加容易變通，轉(zhuǎn)化和化歸能力也就得到鍛煉和凸顯了.

表征1：（二次方程模式）兩邊平方并整理可得（r2-1）m2-2m+r2-1=0，關(guān)于m的此一元二次方程有實(shí)根即可解決本題，再運(yùn)用判別式法即可求出r的最大值為因此，題中所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+y2=2.

表征分析2：從數(shù)學(xué)問(wèn)題圖式入手進(jìn)行圖形表征可以發(fā)現(xiàn)直線mx-y-2-1=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（2，-1），依據(jù)平面幾何知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，r的最大值為點(diǎn)P與圓心的距離即， 因此，本題所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+y2=2.處于不同層次的學(xué)生經(jīng)過(guò)不同表征方式的交流對(duì)問(wèn)題表征的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了不同程度的積累.

三、建構(gòu)、分析問(wèn)題表征系統(tǒng)

建構(gòu)表征系統(tǒng)能夠理順題中各信息之間的邏輯關(guān)系、因果關(guān)聯(lián)，并使學(xué)生能夠順利形成清晰的思維走向.

問(wèn)題3：在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，試求tanAtanBtanC的最小值.

建構(gòu)表征系統(tǒng)可得：（1） 銳角三角形；（2）sinA=2sinBsinC；（3）求tanAtanBtanC的最小值.因此，對(duì)學(xué)生進(jìn)行核心信息“sinA=2sinBsinC”的引導(dǎo)分析，使得問(wèn)題的本質(zhì)得以暴露并最終形成順利的解題思維.

思維走向1：（基于生成關(guān)系考慮）核心信息（2）經(jīng)過(guò)三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式可以轉(zhuǎn)化為tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=-利用代入法將其轉(zhuǎn)化.令tanBtanC=t（由（1）得t＞1），再利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，tanAtanBtanC=-≥8，所以tanAtanBtanC的最小值為8.

思維走向2：（基于地位關(guān)系考慮）將核心信息（2）進(jìn)行化解可得tanB+tanC=2tanBtanC，由三角形中tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC聯(lián)想，運(yùn)用基本不等式整體進(jìn)行思考，根據(jù)信息（1） 可知tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥，化簡(jiǎn)得tanAtanBtanC≥8.

建構(gòu)表征系統(tǒng)能將核心信息以及信息之間的關(guān)系一一理順，并從不同的出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行問(wèn)題的思考.

四、選擇合理的表征方法

對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行合理的表征是解決問(wèn)題最為重要的第一步.問(wèn)題的類(lèi)型、結(jié)構(gòu)特征、模式識(shí)別等都是問(wèn)題表征之前需要首先進(jìn)行辨別的，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的難易、快慢都因?yàn)閱?wèn)題表征是否合理而受影響.

解決此題的常規(guī)思想是換元，即求（a-c）2+（a2-2lna-3c+4）2的最小值.學(xué)生的思維至此往往陷入困境.但可對(duì)進(jìn)行重新表征，利用函數(shù)模式進(jìn)行聯(lián)想，點(diǎn)（a，b）在曲線y=x2-2lnx上，點(diǎn)（c，d）在直線y=3x-4上，利用兩點(diǎn)之間距離公式對(duì)（a-c）2+（b-d）2進(jìn)行模式表征，理解成上述兩點(diǎn)之間距離的平方并構(gòu)造出幾何模型，本題所求即可轉(zhuǎn)化為曲線y=x2-2lnx至直線y=3x-4上點(diǎn)的距離平方的最小值.作平行于直線y=3x-4且與曲線y=x2-2lnx（x＞0）相切的切線，本題所求最小值即為該切線至直線y=3x-4的距離的平方.

合理的模式表征使得學(xué)生對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)特征的思考變得更加簡(jiǎn)潔，思維的長(zhǎng)度也因此縮短，解題更快.

總之，教師在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題表征的時(shí)機(jī)并積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行表征系統(tǒng)的意義建構(gòu)，促成學(xué)生表征方式與經(jīng)驗(yàn)的有效積累并使問(wèn)題表征能力穩(wěn)步發(fā)展與提高.F