李漢平

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2015）35-0281-01

“建模思想”就是根據實際題意，建立適當的模型，解決實際問題。在二次函數的學習中，“建模思想”被得到廣泛的運用。下面，以一道填空題為例，談談“建模思想”在二次函數中的靈活運用。

問題：已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）自變量x和函數值y的部分對應值如下表：

則該二次函數的解析式為y=______________________。

分析1：表格中，總共告訴了拋物線上的七個已知點，因此，可以建立“一般式”的函數模型，且只需選取其中三個點的坐標代入即可。由于這些點的坐標中，有分數，有整數，為了便于計算，盡量選擇數值小，且為整數的點，所以選擇（-1，-2）、（0，-2）、和（1， 0）這三個點比較適合。

解法一：設該二次函數的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），把（-1，-2）、（0，-2）和（1， 0）分別代入得：

a-b+c=-2c=-2a+b+c=0 解之得：a=1b=1c=-2

所以，該二次函數的解析式為： y=x2+x-2。

分析2：通過觀察表格，發(fā)現點就是拋物線的頂點，因此，可建立“頂點式”的函數模型來解決問題。

解法二 ：設該二次函數的解析式為y=a（x+）2- （a≠0）

把（1， 0）代入得：a（1+）2-=0

解之得：a=1

所以，該二次函數的解析式為：y=（x+）2-9/4

化成一般式為：y=x2+x-2。

分析3：再仔細觀察表格，發(fā)現其中已有兩對點是關于拋物線的對稱軸直線x=-對稱的對稱點。根據表格，我們還可以寫出點（1， 0）關于對稱軸對稱的點為（-2， 0），并把這個點補進表格中去。更重要的是，這對點是拋物線與x軸的兩個交點，因此，可以建立“交點式”的函數模型來解決問題。

解法三：設該二次函數的解析式為：y=a（x+2）（x-1） （a≠0），

把（0，-2）代入得：a（0+2）（0-1）=-2

解之得 a=1

所以，該二次函數的解析式為：y=（x+2）（x-1）

化成一般式為：y=x2+x-2

綜上所述，這道填空題，用三種解法，分別建立了“一般式”、“頂點式”、和“交點式”的函數模型來解決問題。這三種函數模型，各有千秋。“一般式”，直接從表格中選取三個點代入，從而得到關于a、b、c的三元一次方程組，解出方程組就可以直接得到結果；但是，計算量比較大，且選點時，要盡量選取便于計算的點?！绊旤c式”，只須選取一點代入即可，計算量比較?。坏?，使用這種方法的前提是必須知道拋物線的頂點，另外選取的那一點，最好是便于計算?！敖稽c式”，在知道拋物線與x軸的兩個交點時，可以建立這種函數模型，這時，只需要再找一點代入即可；有時題目中只告訴與x軸的一個交點，需要我們根據題意找出另一個交點；其最后結果往往要化成一般式。

因此，在求二次函數的解析式時，或者在用二次函數解決實際問題時，我們要根據題意，建立適當的函數模型，從而能更快更簡潔更輕松的解決問題。這樣，我們的智慧不僅能發(fā)揮得淋漓盡致，而且能夠獲得事半功倍的效果。