李修前

關(guān)鍵詞：整體化；思維方法；數(shù)學(xué)；解題應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】G633.6

1. 引言

整體思想是系統(tǒng)論的基本原理之一。一道數(shù)學(xué)題目就能構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，就是一個(gè)整體，對(duì)于一個(gè)整體的處理，就需要一個(gè)整體化的思想方法。事實(shí)上，任何一個(gè)個(gè)題目的每個(gè)條件都構(gòu)成有機(jī)的整體，各個(gè)條件之間的互相利用是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的必要前提。

在以往的解數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，我們過(guò)分地講究步步為營(yíng)，各個(gè)擊破的邏輯思維，將數(shù)學(xué)題分解成為了一個(gè)個(gè)我們能解決的問(wèn)題，分解成為以往能夠解決的題目類型，從而忽略了整體化的思維方法。

2.整體化思維

整體化思維是指抓住整體的信息，全面地考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題，把數(shù)學(xué)題整體對(duì)待，從整體的角度來(lái)思考、分析問(wèn)題的一種思維模式。對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)該仔細(xì)分析這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)，而不是只看到了一些局部的條件，通過(guò)全面地思考、觀察，從宏觀的角度去認(rèn)識(shí)、分析、理解并解決問(wèn)題。認(rèn)真挖掘已知的信息在這個(gè)整體中的作用和地位，從而找到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路和方法。

3. 培養(yǎng)整體化思維的意義

3.1 有利于數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的發(fā)展

一般的情況下，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，講究的是精確，一絲不茍，步步為營(yíng)，并且，反對(duì)猜測(cè)。這種情況下，很大程度地會(huì)把學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)能力、創(chuàng)新能力給扼殺，從而變成簡(jiǎn)單機(jī)械的去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

實(shí)際上，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不僅要去猜想，還要大膽猜想，小心求證。這種猜想，需要的就是數(shù)學(xué)直覺(jué)，而整體化思維作為一種獨(dú)特的思維方法，它就有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)能力。

數(shù)學(xué)直覺(jué)能力的兩個(gè)重要特點(diǎn)是：一、把握數(shù)學(xué)題目的整體性；二、洞察數(shù)學(xué)題目的深刻性。數(shù)學(xué)直覺(jué)能力的產(chǎn)生在于對(duì)該數(shù)學(xué)題目相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和結(jié)構(gòu)的深刻了解，具體表現(xiàn)為在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的突然頓悟，因此，會(huì)出現(xiàn)忽視某些細(xì)節(jié)和跳過(guò)一些中間步驟過(guò)程，并且能夠從整體的角度來(lái)直接把握問(wèn)題的關(guān)鍵的現(xiàn)象。

3.2 有利于辯證思維能力的形成

數(shù)學(xué)中的各種思維方法體現(xiàn)了哲學(xué)中的各種思想，如果將哲學(xué)中的思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)當(dāng)中來(lái)，這將對(duì)我們?nèi)チ私鈹?shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)有著巨大的幫助，尤其是對(duì)理解掌握數(shù)學(xué)中的思維方法有著深刻的影響，從而提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

數(shù)學(xué)問(wèn)題中普遍存在著哲學(xué)中的辯證唯物主義的觀點(diǎn)，最常見(jiàn)的包括問(wèn)題的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律，問(wèn)題的相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化的規(guī)律，矛盾的轉(zhuǎn)化，部分與整體的辯證思想。而整體化的思維方法強(qiáng)調(diào)的就是“始終把所研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題作為一個(gè)整體來(lái)對(duì)待”，這正是對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律的體現(xiàn)，把數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)做一個(gè)矛盾體，從問(wèn)題中的普遍發(fā)展聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)變化的角度來(lái)思考、觀察并分析問(wèn)題，從而找到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，這之間，無(wú)形中培養(yǎng)了辯證思維的能力。

4. 整體化思維在解題中的應(yīng)用

4.1 整體代入

在遇到一些特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，每個(gè)個(gè)體的求解比較繁瑣，甚至?xí)霈F(xiàn)個(gè)體無(wú)法求解出來(lái)的現(xiàn)象，這個(gè)時(shí)候通?？梢园涯承┙M合式子看做一個(gè)整體，并把這個(gè)整體直接代入另一個(gè)式子，這樣就可以避免繁瑣的計(jì)算，避免無(wú)解的現(xiàn)象，這種解題方法就是整體化的思維方法中的整體代入法。

例1 假設(shè)方程 的根為 。試求出 的值。

分析 這道題可以求解出方程的根 的具體值，但是這樣求解會(huì)得出兩個(gè)帶根號(hào)的數(shù)值。再將 的值帶入后面的式子將會(huì)出現(xiàn)含有根式的高次式，對(duì)于初高中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，解題將會(huì)變得非常繁瑣。而換個(gè)角度，用整體代入的方法將使得問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。

4.2 整體把握

在數(shù)學(xué)中的數(shù)字不僅跟這個(gè)數(shù)字本身的大小有關(guān)，也和數(shù)字所在的位置有很大的關(guān)系，正是因?yàn)檫@個(gè)原因，使得數(shù)學(xué)中會(huì)出現(xiàn)這樣一類涉及數(shù)字所在的位置相關(guān)的題目，而這類問(wèn)題用普通的計(jì)算難以求出結(jié)果，這個(gè)時(shí)候就可以把問(wèn)題中需要求式的值或者一些式子的組合當(dāng)做為一個(gè)“字母”，這樣就把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)這個(gè)“字母”的計(jì)算，而這樣往往會(huì)得到意想不到的效果，這就是整體化的思維方法中的整體把握。

例2 有一個(gè)六位數(shù)，如果將它的末位上的數(shù)字移動(dòng)到首位，這樣得到的新數(shù)字是原來(lái)數(shù)字的5倍，試求出這個(gè)六位數(shù)字是說(shuō)多少。

分析 按常規(guī)的計(jì)算方法，這道題難以下手，但是從整體把握，將末位上的數(shù)字單列出來(lái)，而其它的數(shù)字當(dāng)做整體，這樣問(wèn)題就可以獲得一定的簡(jiǎn)化效果。

解 設(shè)這個(gè)六位數(shù)中的前面五位數(shù)為 ，末位上數(shù)字為 ，由題意可得：

因?yàn)?4285剛好不能被7整除，所以 必定為7的倍數(shù)，又因?yàn)?是數(shù)字，所以由題意可得： ，因此這個(gè)六位數(shù)解得 。

4.3 整體轉(zhuǎn)換

解決數(shù)學(xué)題的一個(gè)常規(guī)思路就是將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成另一個(gè)簡(jiǎn)單熟悉的題目，而整體化的思維方法中也會(huì)用到類似的方法，不過(guò)整體化額思維方法是把要求解問(wèn)題當(dāng)做是一個(gè)整體，并且通過(guò)變形簡(jiǎn)化等方法使得整個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成為另一個(gè)較為簡(jiǎn)單、熟悉的問(wèn)題，這樣就可以達(dá)到化難為易的目的，這就是整體化的思維方法中的整體轉(zhuǎn)換。

例3 已知兩異面直線 與 所成的角度為 ， 是空間的一個(gè)定點(diǎn)，問(wèn)：經(jīng)過(guò)點(diǎn) 且與 ， 兩直線所構(gòu)成的角都是 的直線共有且僅有幾條？

分析 這道題對(duì)于空間的想象能力有一定的要求，并且條件非常分散，不容易求出答案。如果將這道題轉(zhuǎn)換為另外一個(gè)同解題：如果兩直線 ， 相交于 點(diǎn)，并且所成角度為 ，那么經(jīng)過(guò) 點(diǎn)且與 ， 所成角都是 的直線有且僅有多少條？這樣一來(lái)，問(wèn)題一下變得簡(jiǎn)單了許多，且顯然知道答案就是兩條。

答 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 且與 ， 兩直線所構(gòu)成的角都是 的直線共有且僅有兩條。

5. 結(jié)束語(yǔ)

整體化的思維方法是體現(xiàn)哲學(xué)辯證法思維特性的一種思維方法。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)應(yīng)用整體化的思想，一般情況下是需要將題目中的問(wèn)題或者是問(wèn)題的某些條件看做成一個(gè)整體，并且通過(guò)對(duì)這個(gè)整體的結(jié)構(gòu)、形式以及特征來(lái)進(jìn)行分析、討論、研究，一些特殊的問(wèn)題需要通過(guò)對(duì)問(wèn)題的條件和所要求的問(wèn)題在這個(gè)整體中所占的地位及作用來(lái)分析研究，從而使問(wèn)題得以解決。

運(yùn)用這種處理數(shù)問(wèn)題的思維方法，往往可以站得高，看得遠(yuǎn)，及時(shí)地發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的有效途徑。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，注重整體化的思維方法的學(xué)習(xí)，對(duì)于培養(yǎng)解決數(shù)學(xué)難題的能力有著顯著而積極的意義。

參考文獻(xiàn)

[1]魯潔.高等數(shù)學(xué)中整體思想的具體運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，2011，（38）：72-73.

[2]李如峰.例談?wù)w思想與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].湖北財(cái)經(jīng)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2008，（4）：60-61endprint