陸天虹

摘 要：“最重要的知識是關(guān)于方法的知識”。在大學數(shù)學教學實踐中，我們提出通過觀察分析，對問題給以定性或粗略估計的一種大學數(shù)學教學方法----合情估計法。本文通過一些案例，初步探索作為啟發(fā)式教學方法之一，合情估計法在大學數(shù)學教學中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：合情估計法（PEM）；啟發(fā)式教學法；洛必達法則；倒向洛必達法則；基準級數(shù)

合情估計法（PEM）就是通過觀察分析，對問題給以定性或粗略估計的一種方法（口語相當于毛估估法），教學實踐中屬于啟發(fā)式教學法，在大學數(shù)學教學中具有廣泛的應(yīng)用。一般通過觀察分析（審題），根據(jù)經(jīng)驗（已學的基礎(chǔ)知識等）或特例或抽象性質(zhì)具體化等，對問題給出合情（毛估估）解決的方法。合情估計法也借助觀察法，觀察分為直接觀察和間接觀察，題前觀察（審題）、題中觀察以及題后觀察（類似驗證）或相互結(jié)合綜合分析應(yīng)用。從推理角度分析，合情估計法屬于合情推理方法，不能取代嚴密的推導，只是給出解決問題的啟示，問題的解決必須采用演繹等嚴謹?shù)臄?shù)學推理方法（即論證推理）；但是合情估計法抓住了事物的本質(zhì)、問題的核心，有其解決問題的內(nèi)在邏輯（合情）。本文主要通過一些案例，初步探索合情估計法在大學數(shù)學教學中的應(yīng)用。

印象比較深的是，大學高等數(shù)學期中測驗的一道題，需要利用微分的近似計算給出 的近似值。有同學給出近似值為0.98，接近1，相差較大。如果事先根據(jù)合情估計法，大致確定 接近 ，其真值在0.5左右，甚至進一步根據(jù)單調(diào)性應(yīng)該小于0.5，那么就知道演算過程肯定出錯了。再如，如果計算得出一個人的步行速度為100公里/小時，那就不符合常理了（除非是超人），可能計算方法或過程有誤。因此，在我們的大學數(shù)學教學中，有必要系統(tǒng)引入合情估計法，一方面可以提高學生的認知能力，降低有些知識點的學習難度（特別是數(shù)學分析等學習曲線較陡的課程）；同時也能啟發(fā)學生的學習思維，激發(fā)學生的學習興趣，加強與學生的互動，達到活躍課堂氣氛，提升課堂教學效果。

一、客觀題直接采用合情估計法

（一）設(shè) ，則 .

答案為 ，該題的要點是要利用導數(shù)的定義求極限（合理）。如果考慮到兩點間函數(shù)的變化率問題，終點減起點，很容易（合情）得出答案。在學過洛必達法則求極限后，根據(jù)合情估計法，假設(shè)該函數(shù)滿足洛必達法則的條件，于是利用該法則立刻得出答案。

該解法不嚴謹（洛必達法則只是充分條件），如果如上采用倒向洛必達法則，那也只能屬于合情估計法范疇。

（二）設(shè) 二階連續(xù)可導，且 ，則 .

（A） 是極小值 （B） 是極大值

（C） 是拐點 （D） 不是極值， 也不是拐點

該題應(yīng)選擇（C）。分析：最簡單的合情估計法見前述，這里我們再考慮采用倒向洛必達法則（屬合情估計法）。事實上，由題意立刻得到： 為函數(shù)的一個駐點，且由保號性定理得到在 的鄰域內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增無極值；再由倒向洛必達法則得到 ，因此 是函數(shù)的一個拐點。該題正確解法（合理）如下：由洛必達法則得到 ，于是

2 、設(shè) 二階連續(xù)可導，且 ，則 .

（A） 是極小值 （B） 是極大值

（C） 是拐點 （D） 不是極值， 也不是拐點

三、正項級數(shù)的比較審斂法

我們先給出正項級數(shù)比較審斂法的比較基準（Benchmark）級數(shù)（或稱參照物）之一， -級數(shù)的斂散性。

（一）判別級數(shù) 的斂散性.

分析：考慮到 ，因此采用合情估計法，該級數(shù)應(yīng)與 在1到2之間的 -級數(shù)同態(tài)（同斂散），因此簡單起見，取參照基準級數(shù)為 =3/2的 -級數(shù)比較，結(jié)果原級數(shù)收斂。

（二）設(shè)非負函數(shù) 的某一鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導，且 ，試證明：級數(shù) 收斂.

（至此，采用合情估計法分析： ，于是我們通過合情估計法找到了參照基準級數(shù)為 ）

因為 ，

所以兩級數(shù)同態(tài)，或者（相對基準級數(shù)）原級數(shù)低態(tài)，因此級數(shù) 收斂.

四、廣義積分的比較判別法

（一）瑕積分 與基準積分的 -積分 同態(tài)，嚴格的推導采用比較判別法。

（二）計算I= .

解：I= + = -

（分析：如果上述瑕積分收斂，則I=0.一般地，判別瑕積分 的斂散性時，如果 不能利用合情估計直接法直接得到 ，那么可通過合情估計間接法來定 。但是該法往往比較復(fù)雜，因為基準積分 -積分的定 法，需采用比較判別法通過洛必達法則，事后來定 以及考慮三態(tài)等。特別地，如果假設(shè)需判別的積分收斂，最簡單的方法可事先選取 =1/2；如果假定發(fā)散，最簡單的方法可選取 為1或3/2或2。本題依據(jù)合情估計法直接得到，應(yīng)選取 為1/2。）

考慮 ，得到 （更）收斂（低態(tài)），

因此，I=0.

合情估計法，作為啟發(fā)式教學法，學生比較容易理解容易接受。我們知道，數(shù)學名詞分為專業(yè)術(shù)語（formal）和口語（informal），如收斂、發(fā)散以及可導等就是專業(yè)術(shù)語，而有無極限、極限存在與否甚至廣義存在與否以及有無導數(shù)等都是口語化的數(shù)學術(shù)語。作為專業(yè)術(shù)語的“合情估計法”，在教學實踐中，可采用口語化的數(shù)學術(shù)語“毛估估法”（“姓毛名估估”）代替；對學習大學數(shù)學的學生，特別是作為通識基礎(chǔ)課的高等數(shù)學學習的大一學生而言，相對容易理解和接受。近幾年，我們也把合情估計法（毛估估法）具體運用到了教學實踐中，效果相當不錯。

“最重要的知識是關(guān)于方法的知識”。通過前述一些案例，我們初步探索了合情估計法在大學數(shù)學教學中的應(yīng)用，還有許多類似的教學案例，需要我們不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)以及豐富提煉。同時建議在我們的大學數(shù)學教學中，系統(tǒng)引入合情估計法（毛估估法），一方面可以提高學生的認知能力，降低有些知識點的學習難度（特別是數(shù)學分析等學習曲線較陡的課程）；另一方面，也能進一步啟發(fā)學生的學習思維，激發(fā)學生的學習興趣，加強與學生的互動，活躍課堂氛圍，提升課堂教學效果，而且豐富我們的教學內(nèi)容，拓展我們的教學方法論，從而能夠不斷提高我們的大學數(shù)學教學質(zhì)量。

參考文獻：

[1] 徐利治 朱梧槚 鄭毓信編著.數(shù)學方法論教程[M].江蘇教育出版社，1992年7月.

[2] 華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析（第三版）[M].高等教育出版社，2001年6月.endprint