孟慶甲

摘 要：智慧數學是一種數學教育理念，一種教學主張。主要倡導“數學是智慧的，課堂是智慧的，教師的教是智慧的，學生的學是智慧的”。本文著重從內涵詮釋與建構基礎、本質探求與基本原則、整體架構與教學探索三個方面來闡述智慧數學的課堂教學主張與實踐建構。

關鍵詞：智慧數學；教學主張；課堂教學；建構

數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學課程內容不僅包括數學的結論，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法。然而，數學教學如何讓學生在潤物細無聲中一改過去“數學是抽象的、枯燥的、不好玩的，甚至是頭痛的”印象，轉變?yōu)椤皵祵W是有趣的、好玩的、讓人迷戀的，能激發(fā)潛能、啟迪智慧”的形象，這就急需我們倡導和擁有“智慧數學”課堂教學主張，進而積極探索與構建智慧數學課堂教學范式。因為教育的真諦在于將知識轉化為智慧，使文明積淀成人格。

一、智慧數學的內涵詮釋與建構基礎

（一）智慧數學的內涵詮釋

什么是智慧？《辭?！飞辖忉尀椤皩κ挛锬苷J識、辨析、判斷處理和發(fā)明創(chuàng)造的能力”?！缎氯A字典》解釋是“對事物能迅速、靈活、正確地理解和解決的能力”。其他的辭書大多解釋為“聰明才智”或“智謀”。著名教育家馬克斯·范梅南是這樣理解“智慧”的：“展現智慧的人似乎都具有在復雜而微妙的情境中迅速地、十分有把握地和恰當地行動的能力?！痹诒疚闹校腔凼侵笌熒跀祵W教與學的過程中應具有的“深刻的洞察力、敏銳的觀察力、準確的判斷力及靈活應對、合理選擇策略、正確解決問題的能力”。

什么是智慧數學？智慧數學是一種數學教育理念，一種教學主張，主要倡導“數學是智慧的，課堂是智慧的，教師的教是智慧的，學生的學是智慧的”。主張教師運用“教育智慧”（智慧的思想與策略），深度解讀教材、創(chuàng)新設計預案、精妙創(chuàng)設情境、生動呈現內容、精心組織活動、智慧引領探究、啟迪多維思考、精準歸納升華，從而打造智慧數學課堂，開展智慧教學，引領學生進行數學智慧學習，促進學生數學思維乃至數學素養(yǎng)的智慧生長與發(fā)展。因此，智慧數學是一種幫助學生激發(fā)與建立完整智慧體系的教育方式，其教育宗旨在于，引導學生智慧開展數學學習活動，培養(yǎng)數學核心素養(yǎng)及智慧思維能力，點燃智慧、發(fā)展智慧、應用智慧和創(chuàng)造智慧。

（二）智慧數學的教學建構基礎

“智慧數學”課堂教學的建構理論基礎主要有三個方面：一是腦科學研究的厚重基礎；二是兒童學習心理的本性需求；三是教育智慧創(chuàng)新發(fā)展的時代召喚。

1. 從腦科學研究角度審視，智慧數學可以最大限度地“開發(fā)人的無限潛能”

人腦是人的思維器官，沒有人腦就沒有人的智慧?？茖W研究發(fā)現，人類大腦無比的神奇與非凡，而且充滿了無限的潛能。就其貯存量而言，人的大腦能以每秒1000個信息單位的速度進行不發(fā)生重疊的信息存貯，且貯存量大約為5億冊圖書的信息量，然而現實中人腦潛能只利用了百分之五左右。從腦科學角度看，教育所起的主要作用就是創(chuàng)設豐富多彩、動態(tài)發(fā)展、對兒童構成智力挑戰(zhàn)的環(huán)境，開發(fā)兒童的潛能，促進兒童的成長發(fā)展。而數學教育，特別是智慧數學課堂教學能夠真正地啟迪和開發(fā)兒童數學方面的巨大潛能，讓兒童得以智慧生長和發(fā)展。

2. 從兒童學習心理角度深思，智慧數學是實現學生探索心欲的課程與佳徑

著名教育家蘇霍姆林斯基認為：求知欲，好奇心——這是人的永恒的，不可改變的特性。人的內心里有一種根深蒂固的需要，總想感到自己是發(fā)現者、研究者、探尋者。在兒童的精神世界中，這種需求特別強烈。同時他還指出：如果教師的聰明才智深化到培養(yǎng)每個學生創(chuàng)造性的能力上來，如果教師所講的話善于激勵學生投入創(chuàng)造性能力的競賽，那么，學校里將不會有一個平庸的學生，理所當然地，生活中也將不會有一個不幸的人。而培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性能力正是啟迪其智慧，開發(fā)其潛能的具體體現。智慧數學的課堂教學主張恰恰是從數學學習心理這一角度不斷地點燃求知欲，實現學生探索心欲的佳徑。

縱觀人類數學的發(fā)展歷程，數學發(fā)展本身就是充滿著觀察與猜想的活動，學生的數學學習過程與人類數學發(fā)展的歷程具有很強的相似性。而智慧數學課堂能夠引領學生通過觀察、描述、畫圖、操作、猜想、思考、交流與應用等，讓學生的身心、手腦、思維靈活起來，同時親眼見證數學過程生動而形象的性質，親身體驗如何實現數學的“再創(chuàng)造”，并從中感受到數學的無窮魅力和誘惑力，從而引發(fā)和促進學生的智慧學習。

3.從教學智慧理論的發(fā)展歷程展望，智慧數學真正是為了學生的智慧生長

打造智慧課堂，為發(fā)展學生智慧而教，國外這一研究領域以北美“現象學教育學”的領袖人物之一范梅南為代表。他的代表作是《教學機智——教育智慧的意蘊》，其中“教學機智在教學行為中的重要性”“教學機智的表現形式”“探尋在具體情境中如何機智和充滿智慧地采取行動”等理論極具前瞻性和借鑒意義。近年來，國外心理學界的學者（如斯滕伯格）也介入到了對教學智慧的研究之中，他們參與到了美國“為智慧而教”這一全國性的項目之中。斯滕伯格提出智慧平衡理論，并闡述了“為智慧而教”的16條教學原則。

2006年，國家督學成尚榮先生提出“為智慧的生長而教”及“智慧課堂”的概念，他認為，課程改革、教育改革正使課堂發(fā)生根本性的變革：從知識課堂走向智慧課堂，為學生智慧的生長而教。

著名特級教師黃愛華亦認為，孩子的心應該是智慧的海洋，不應是真理的倉庫；學生擁有的應該是“活”的智慧，而不是“死”的知識。智慧課堂以知識為載體教給學生智慧：教師智慧地教，學生智慧地學，體現智慧的生成，發(fā)展生命的靈性，是學生蘸得智慧的課堂，是教師智慧成長的課堂。

以上的這些智慧教學理論的研究，為智慧數學課堂教學主張的實踐與探索提供了理論上的堅強支撐，同時亦指明了研究的方向，即智慧數學的價值目標是“為了學生的智慧生長而教”，從而真正實現教學相長，智慧共生、共贏。

二、智慧數學的本質探求與基本原則

（一）智慧數學的本質探求

1.靈動性 智慧數學是靈動的、生動的、輕盈的，充滿靈性，無論是數學知識的生動呈現、教師的智慧引領、學生的多維思考，還是師生的交往互動都是靈活的，機智的，隨機應變，順勢而為，不拘泥于預設、形式和框架的束縛。

2. 思辨性 智慧數學追求學生內在思想的解放，智慧與潛能的充分激發(fā)和釋放，讓學生走進每一堂數學課都充滿著一種無可壓抑的渴望。去求證、爭鳴他們的關注點，教師要做的就是創(chuàng)設一個引領學生期盼走進的思想的空間——一個充滿濃厚的思辨色彩的數學課堂，不斷地喚醒、激發(fā)、呵護，能使學生在不受未經審察的常規(guī)和習慣的羈絆下進行獨立的思考，讓思想自由萌動，讓數學學習更加深層、深入與深刻，同時亦讓數學學習更加具有批判性和思辨性。

3. 生長性 每個學生在成長的過程中，不僅僅是身心的成長，更是知識、技能、情感與智慧的生長。因此智慧數學關注學生知識的自主建構、思維的自由連接、智慧的自然生長、情感的自信舒展。這種生長既有竹子般節(jié)節(jié)拔高式生長，亦有球形樹冠式生長，更有四通八達的網絡式生長。

4. 簡約性 數學教材所展現的是濃縮、精練的知識內容，教師如何將這些具有抽象性的數學知識呈現給孩子們，并且讓孩子們樂于接受、喜于探索是最有價值、最亟待解決的問題。而智慧數學積極倡導教學目標簡明、教學素材簡化、教學情境簡單、教學手段簡樸、教學環(huán)節(jié)簡練以及教學語言簡潔，從而實現課堂教學的簡單、簡潔、清晰、流暢和自然，學生的學習簡約而不簡單。

5. 全維性 智慧數學關注思維的多元、多向和全維。不能僅僅局限于點、線、面，不能只偏好單向思維、順向思維、“二手思維”，而是應全方位、多角度、深層次地加以深入剖析，要站在不同的思維點位、更高的思維峰度、更遠的思維視野及更寬的思維視角，這樣思考問題才更加全面，思考方式更加全維。

（二）智慧數學的教學基本原則

1. 形象直觀原則 研究發(fā)現，小學生的數學思維正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展過渡的階段，他們的認知與理解大多數是建立在直觀感知、感性理解的基礎之上。法國數學家龐加萊亦言：“雖然我們是通過邏輯去證明，但我們是通過直觀去創(chuàng)造的?！边\用直觀演示、再現，可以令數學教學化平淡為生動、化深奧為淺顯、化抽象為具體、化冗長為簡潔、化枯燥為趣味，使學生對數學學習倍感生動有趣、形象鮮明、極具誘惑，極易形成清晰的表象，啟發(fā)學生的思路，有利于開放性、創(chuàng)新性思維的培養(yǎng)。

2.靈活多變原則 在教學過程中，學生作為一個有生命、有思想的個體，帶著自己的經驗、情感、思想參與到師生雙邊活動中來，必然會生成許多意外的情況。因此課堂教學時，教師要靈活多變，不能被課堂教學的預設所限制，更不能面對學生的預設外生成（尤其是那些精彩、精妙的生成）無動于衷，而應該機智應對，順勢而為，順著學生的思路、生成進行有針對性的引導，讓生成之花由起初的含苞待放變?yōu)轶@艷怒放，讓“猶抱琵琶半遮面”變?yōu)椤肮獠收杖恕薄?/p>

3. 問題驅動原則 課堂是點燃學生智慧的火把，而好的問題正是點燃智慧火把的火種。恰到好處的提問，可以揭露學生認識中的矛盾，引起學生探究的欲望，激發(fā)學生積極思維，使學生情緒處于最佳狀態(tài)。而且問題的恰當與否直接影響兒童的思維進展和潛能激發(fā)，因此課堂教學時，教師應適時、適切地創(chuàng)設富有趣味性、挑戰(zhàn)性的問題情境，圍繞教學內容設計幾個逐層遞進的核心問題，潛移默化引領學生圍繞這些問題開展學習、探究、研討、爭辯、驗證和應用。讓學生歷經豐富的內心波瀾和挑戰(zhàn)過程的刺激，體驗和享受問題解決的快樂。

4. 批判反思原則 亞里士多德曾說過：“我愛我?guī)?，但我更愛真理。”因此課堂教學時，教師要且行且思，不斷審視自己的教學方式、教學語言是否能激發(fā)學生的學習欲望，點燃學生的智慧潛能，如果不能的話，教師要及時反思，改變策略，調整預案。在學生學習時，更要鼓勵和培養(yǎng)學生的批判精神和反思能力，因為創(chuàng)新時代需要具有批判精神和反思能力的人。

5. 內化升華原則 課堂教學不僅具有傳達知識的屬性，更兼具啟迪智慧的責任與使命。因此智慧數學課堂，無論是學習、探究“數與代數”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”還是“綜合與實踐”，無論是新授課、練習課還是復習課，無論是概念課、計算課還是解決問題課與空間圖形課，教師都要引領學生在充分感知、理解的基礎上進行內化鞏固，自主建構知識網、能力鏈，最終升華為兒童自己的數學思維乃至數學思想。

三、智慧數學的課堂教學整體架構與實踐探索

（一）智慧數學的課堂教學整體架構

智慧數學課堂教學主要蘊含兩根主線，一根是兒童智慧學習主線，另一根是教師智慧教學主線，這兩根主線相輔相成、教學相長、智慧共生，共同構建了智慧數學整體架構（如圖1）。

（二）智慧數學的課堂實踐探索

1. 教師精妙創(chuàng)設情境，提問引疑、點燃動機；學生正視疑難、謀劃解決

在教學中，教師要依據教材教學內容，精心構思、精妙創(chuàng)設問題情境，點燃學生的學習動機，讓學生在富有挑戰(zhàn)性、趣味性、懸念性、刺激性的情境中認識、感知、理解和掌握新知，同時能正視疑難、謀劃解決，并在類似真實的生活情境中加以應用，以達到活學活用的目的。

（1）情境創(chuàng)設要體現一個“精”。創(chuàng)設情境目的是為了更好地開展智慧學習，因此，情境應該緊緊圍繞學習內容而設置，并且體現一個“精”字。不能為情境而情境，更不能太爛、太泛、太過注重包裝，以致添加許多非數學信息，而使其失去數學學習的原汁原味，甚至從促進學習變成了新的干擾元素。

（2）情境創(chuàng)設要突出一個“妙”。通過巧妙的情境設計，讓學生真正感受到學習的內在需要，才能真正激發(fā)、喚醒探究新知的內驅力。

例如：“數的改寫”一課，一位教師圍繞“人體中的數據”創(chuàng)設情境：“人的心臟如果一分鐘跳70次，一晝夜就超過100000次，人活到60歲時，心臟已經跳動了2000000000次。它的工作量是驚人的，一年能使血液流動2500000000米，60年心臟可壓出血液130000噸?！毕茸寣W生自由朗讀，期間有的學生邊讀邊用手按住心臟，有的則數起0的個數。教師啟迪：“讀后有什么想法？”有的學生說：“我們的心臟真可憐，同時也真了不起，我們要好好地保護心臟。”有的學生說：“這些數字末尾的0太多了，看得我眼都花了，我建議把這些超級大的數改寫成語文數字，這樣便于認讀?！痹S多學生紛紛贊同。教師順勢點題：“大家的建議非常好！在生活和學習中，我們有必要對一些大的數稍作改寫，使其讓人們讀起來、寫起來比較簡便?！?

以上教學，教師沒有采取雖能達標但缺乏學習主體參與的“告訴——強記——訓練”方法，而是“曲徑通幽”，別具匠心地創(chuàng)設了探究情境，引出問題，引發(fā)有效思考，從而自然地實現了對新知的生成重建與對數學思想方法的意義建構。

2. 教師生動呈現內容，明朗方向、清晰目標；學生聚焦問題、把握本質

同一學習內容的不同呈現方式直接影響學生的理解、探究。生動呈現內容，即讓原本靜態(tài)的知識動起來，原本枯燥的內容趣味起來，原本平面的材料立體起來，原本抽象的思維形象起來。這樣有利于問題聚焦、把握本質，有利于學生的再創(chuàng)造，有利于調動和鏈接學生的已有知識和經驗，激活智慧潛能，激發(fā)學生主動和富有個性化地探索問題、解決問題，進而形成適宜的智慧學習方式。

例如，特級教師戴厚祥執(zhí)教“圓錐的體積”時，是這樣生動呈現內容的：首先電腦呈現動畫情境（伴圖配音）：“夏天，森林里悶熱極了，小動物們都熱得喘不過氣來。一只小白兔去‘動物超市購物，在冷飲專柜熊伯伯那兒買了一個圓柱形的雪糕。這一切都被躲在一旁的狐貍看見了，它就去熊伯伯的專柜里買了一個圓錐形的雪糕。小白兔剛張開嘴，滿頭大汗的狐貍拿著一個圓錐形的雪糕一溜煙跑了過來。（動畫中圓柱形和圓錐形的雪糕是等底等高的）”接著教師引導學生圍繞問題展開討論，問題一：狐貍貪婪地問：“小白兔，用我手中的雪糕跟你換，怎么樣？”如果這時小白兔和狐貍換了雪糕，你覺得小白兔有沒有上當？問題二：（動畫演示）這時狐貍手上又多了一個同樣大小的圓錐形雪糕。小白兔這時和狐貍換雪糕，你覺得公平嗎？問題三：如果你是森林中的小白兔，狐貍手中的圓錐形雪糕有幾個時，你才肯與它交換？隨后，教師進一步引發(fā)探究的方向：“小白兔究竟跟狐貍怎樣交換才公平合理呢？學習了圓錐的體積后，我們就能弄明白這個問題?！?/p>

上例教學的亮點在于，戴教師通過創(chuàng)設一個趣味橫生的童話情境，生動呈現內容，讓學生在判斷公平與不公平中，展開了對等底等高圓柱和圓錐體積關系的猜想，在猜想中找到了“固著點”（學生數學認知結構中與教學難點最為接近的知識經驗），并把它作為學生學習上的支撐，從而深深觸及了學生的心理需求，有效地實現了新知的智慧“同化”和“順應”。

3. 教師指示探究范圍，提出要點、智慧引領；學生追本溯源、多重感知

在新知的探索研究過程中，教師應運用自身的教學實踐智慧（智慧的思想和策略），設計層層遞進、不斷深入的觸及知識本質的核心問題，精心組織活動，提出要點、智慧引領，引發(fā)學生深層次的思考、探討、體驗和感悟，以期追本溯源，多重感知。

例如，教學“可能性及可能性的大小”一課，在教學例1“從口袋里（袋中有一個紅球和一個黃球，這兩個球除了顏色不同，其他都完全一樣）任意摸出1個球，可能摸出哪種顏色的球？”時，筆者引領學生緊緊圍繞這樣幾個核心問題來思考：（1）如果給你實驗材料來驗證，你打算摸多少次，為什么？（問題設計目的在于讓學生明白實驗的次數要適當，次數太少，不能真實反映“可能性”這一隨機現象，太多又容易浪費時間）（2）在實驗過程中要注意什么才能保證摸出的結果真實公正呢？（問題設計目的在于讓學生懂得實驗過程一定要科學有序、規(guī)范合理）隨后讓學生分組實驗操作10次，緊接著引領學生：（1）觀察、比較各小組的摸球結果，你發(fā)現了什么？（2）每次摸之前你能確定摸出球的顏色嗎？如果摸了99次，第100次能確定嗎？這樣步步深入，層次引領，讓學生體會和感悟到：第一，無論是同一個組，還是不同的組，無論是第一次，還是第10次，在這樣的袋子里摸球，都出現了兩種不同的可能，可能摸到紅球，也可能摸到黃球。第二，不管摸多少次，每次摸之前都無法確定摸球的結果。

4. 教師設題討論探索，啟迪善思、多維推理；學生智慧推求、思辨解疑

啟迪善思、多維推理，即引領學生多角度、多層次、多維度、全方位地思考問題、感悟新知，以此智慧推求、思辨解疑，培養(yǎng)學生數學思維的批判性、靈活性、嚴謹性、敏捷性。這樣的教學就如同生活中的刨春筍，一層層地把外殼刨去，最后留下最為精華的部分。

例如，教學“三角形的三邊關系”一課，教師可以在充分解讀教材，把握重難點的基礎上，緊扣數學本質，大膽重組教材，巧妙設計，啟迪、引領學生在問題中多維思考，自主發(fā)現數學本質，在互動中智慧生成數學模型。第一，拋出問題，大膽猜想。（1）大家會用小棒圍三角形嗎？（目的是讓學生形象地感知“圍”三角形就是“頭連頭，尾連尾”，這樣才是一個封閉的平面圖形）（2）任意三根小棒一定能圍成三角形嗎？（目的是引導學生通過大膽猜想，小心求證，為后續(xù)學習總結歸納、探尋解決問題的科學方法做好鋪墊）第二，驗證猜想，初建模型。圍繞“圍成三角形的三條邊必須符合哪些條件才可以”啟迪、引導學生抓住問題的本質，讓學生經歷3個條件的探索過程，明確了三條線段必須同時滿足3個條件（第一條線段長+第二條線段長>第三條線段長、第一條線段長+第三條線段長>第二條線段長、第二條線段長+第三條線段長>第一條線段長）才能圍成三角形，發(fā)展了學生嚴謹的邏輯思維和推理能力。整個多維思考過程彌補了不完全歸納法的缺陷，從正反兩方面來尋找突破口，從而水到渠成地建立了“任意兩邊之和大于第三邊”這一數學模型。第三，優(yōu)化提升，完善模型。圍繞問題“為什么有些學生在判斷三根小棒能否圍成三角形時，判斷的速度非?？欤[門在哪？”從而引導學生打破剛才建構的數學模型，抓住本質屬性，形成一個最為優(yōu)化的數學模型結構——“兩條短邊之和大于第三邊”。第四，應用模型，解決問題。精心設計拓展性問題：“三根小棒，一根3厘米，另一根9厘米，還有一條邊可以多長才能夠圍成三角形？”這樣一方面幫助學生鞏固三角形三邊的關系，另一方面，又極大地拓展了學生的數學思維，使其思維更加全維、嚴謹。

5. 教師指導應用求證，智慧引證、歸納升華；學生驗證推想、拓展應用

精準歸納升華，即通過多層次實踐探究，推理歸納，促進學生驗證推想、歸納應用，同時在知識結構、思維結構、數學思想方面不斷地加以內化與升華。

例如，教學“可能性及可能性的大小”一課時，寓數學知識于游戲中，融數學思想于對話中，在師生、生生對話中，教師巧妙地拋出一個個極具價值的問題，引領學生去論、去辯、去爭，進而總結歸納，不斷升華。

第一次歸納：判斷可能的結果。課件出示例2的4張撲克牌（紅桃A、紅桃2、紅桃3、紅桃4），動畫演示反扣過程，提問：任意摸出1張，可能摸出哪一張？有幾種可能？引導學生思考得出：可能摸出紅桃A，或紅桃2，或紅桃3，或紅桃4，一共有4種可能。

第二次歸納：認識可能性大小。先是引導學生思考：如果把黑板上4張牌中“紅桃4”換成“黑桃4”（在課件上換牌），你想說些什么？進而提問：如果有個摸牌比賽，摸到多的算贏。讓你選花色的話，你會選擇什么顏色？為什么？大部分學生選擇紅桃，但也有少數學生選擇黑桃。隨后組織學生開展游戲——摸牌比賽。通過摸牌的最終結果比較和討論反思，逐步歸納認識到：雖然紅桃和黑桃這兩種花色都可能摸到，但是可能性是有大小的，放得多，可能性就大，放得少可能性就小。

第三次歸納：體驗可能性相等。教師追問：怎樣調整使得紅桃和黑桃摸到的可能性一樣大？學生在研討中歸納出：當兩種牌張數相同時，摸牌的可能性是相等的，可見事件發(fā)生的可能性不僅有大小，還可能相等。

第四次歸納。提問：回顧上面摸牌活動，能說說在摸牌活動中，你又有了什么收獲嗎？學生結合剛才的游戲操作，小組討論，從而清晰歸納出：摸牌時，可能摸出其中的任何一張，但摸之前不能確定會摸到哪一張。如果不同花色的牌張數不同，摸到不同花色的可能性就有大小，但如果不同花色的牌張數相同，摸到不同花色的可能性就相等。

綜上所述，智慧數學是真正為了實現學生智慧生長的一種教育理念和教學主張，如果教師能擁有和積極踐行“智慧數學”這一理念，如果教師心中總是裝著每一個學生，總是為了學生的生長而教，總是能夠恰到好處地進行智慧引領，學生就會一直處于開智的興奮狀態(tài)，閃爍著智慧的雙眼，擁有獨特的智慧思維，從而創(chuàng)造出一個充滿智慧的數學課堂。