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        非線性常微分方程邊值問題的求解

        2017-08-20 09:10:34張孟
        課程教育研究 2017年29期
        關(guān)鍵詞:求解邊值

        張孟

        【摘要】本文研究了一類非線性常微分方程邊值問題的求解,由于常微分方程與實(shí)際應(yīng)用問題聯(lián)系密切,文中結(jié)合了一種特定的物理現(xiàn)象,以此為背景建立運(yùn)動(dòng)微分方程,然后給出了三類邊界條件,最后對(duì)有限變形問題進(jìn)行求解,得到了其非平凡解。

        【關(guān)鍵詞】非線性常微分方程 邊值 求解

        【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089(2017)29-0133-02

        一、運(yùn)動(dòng)微分方程的導(dǎo)出

        首先引入Lagrange空間和Euler空間,前者代表物體變形前占有的空間,后者表示物體變形后占有的空間。物體在Lagrange空間中所占的區(qū)域被稱為初始構(gòu)型,記為Ω0,物體在Euler空間中所占的區(qū)域被稱為現(xiàn)時(shí)構(gòu)形,記為Ω。對(duì)于連續(xù)介質(zhì)中任意給定的物質(zhì)點(diǎn),它在初始構(gòu)型中的物質(zhì)坐標(biāo)(X1,X2,X3)是確定不變的,它在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中的位置坐標(biāo)(x1,x2,x3)隨著變形的不同而不同。

        x=x(X,t)

        X=X(x,t)

        由運(yùn)動(dòng)方程(1)和(2),可得

        dx=FdX,dX=F■dx

        方程(3)也可表示為:

        dxk=xk,KdXK

        方程(3)中F是式(1)的雅克比矩陣,被稱為變形梯度張量,是一個(gè)二階張量,并且有:

        F=■或者F■=■=xk,K

        對(duì)F進(jìn)行分解,可以得到F的如下所示極分解表達(dá)式:

        F=RU=VR

        其中,R是一個(gè)正交張量;U和V表示的是伸長(zhǎng)部分,它們是對(duì)稱正定張量,有相同的特征值。由(6)式可以推出

        C=U■=F■F,B=V■=FF■

        其中,C稱為右柯西-格林變形張量或者Green變形張量,B被稱為左柯西-格林變形張量或Finger變形張量。

        兩個(gè)變形張量具有三個(gè)相同的主不變量:

        I■=trC=trB=λ■■+λ■■+λ■■,

        I■=λ■■λ■■+λ■■λ■■+λ■■λ■■,

        I■=λ■■λ■■λ■■

        變形后的線元dx、面元da和體元dv分別為

        dx=FdX,dxk=Xk,KdXK,

        da=JF■dA,da■=JX■dA■,

        dv=JdV.

        其中,J=det|F|。由此可以得到物體變形的不可壓縮條件為:

        J=det|F|=1.

        根據(jù)質(zhì)量守恒定律可以導(dǎo)出物體初始構(gòu)形的體密度ρ0和現(xiàn)時(shí)構(gòu)形的體密度ρ之間應(yīng)該滿足的局部的連續(xù)性方程為:

        ρJ=ρ0

        在物體的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中,作用于物體面元上并且以n為外法線的應(yīng)力矢量為

        t(X,t,n)=σn,

        其中,σ=(σij)稱為Cauchy應(yīng)力張量,它只依賴于位置X及時(shí)間t,而不依賴于外法線矢量n。

        根據(jù)Cauchy第一運(yùn)動(dòng)定律,可導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)微分方程:

        divσ+ρf=ρX

        進(jìn)一步地,可以根據(jù)Cauchy第二定律計(jì)算得到應(yīng)力張量的對(duì)稱性,即

        σ■=σ,σ■=σ■

        二、邊界條件及方程求解

        3.1 邊界條件

        假設(shè)物體在初始構(gòu)形中占有的區(qū)域?yàn)棣?,邊界為?墜Ω0。在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中,物體占有的區(qū)域?yàn)棣?,邊界為?墜Ω。則有以下三種可能的邊界條件:

        (a)位移邊界條件

        設(shè)在邊界?墜Ω0上,位移場(chǎng)u=x-X是已知的,則在?墜Ω0上有

        u=■(X) (19)

        其中,■(X)是關(guān)于X的已知函數(shù)。

        (b)面力邊界條件

        在現(xiàn)時(shí)構(gòu)形單位面積上的應(yīng)力矢量t,可以用作用在初始構(gòu)形單位面積上的應(yīng)力矢量P來表示,即有

        tda=PdA (20)

        其中,da,dA分別是現(xiàn)時(shí)構(gòu)形和初始構(gòu)形中物質(zhì)面元的面積,則應(yīng)力矢量P與第一類Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量S有如下的關(guān)系

        P=Sn, (21)

        在拉格朗日框架內(nèi),給定面力的邊界條件可表示為

        Sn=■(X) (22)

        (c)混合邊界條件

        設(shè)邊界?墜Ω0=?墜Ω■■∪?墜Ω■■,在邊界?墜Ω■■上給定面力矢量■(X),在邊界?墜Ω■■上給定位移矢量,■(X),則混合邊界條件為

        u=■(X),X∈?墜Ω■■ (23)

        Sn=■(X),X∈?墜Ω■■ (24)

        3.2 方程的求解

        設(shè)球形結(jié)構(gòu)的內(nèi)外半徑分別為R1和R2.在球坐標(biāo)中,設(shè)變形前球體占有的區(qū)域?yàn)镈0,在球?qū)ΨQ變形的假設(shè)下,變形后的構(gòu)形為D。變形的主伸長(zhǎng)λi及變形梯度張量F分別為

        λr=r(R),λθ=λ?準(zhǔn)=r(R)/R, (25)

        F=diag(λr,λθ,λ?準(zhǔn)) (26)

        其中,字母上面的“點(diǎn)”都表示關(guān)于變量R的導(dǎo)數(shù)。

        變形梯度張量F的雅克比行列式J=detF=1,從而有

        r(R)=R■/r■(R). (27)

        柯西應(yīng)力張量的各個(gè)非零分量為

        ■ σ■(R)=λi■-p(R), (28)

        其中,p是對(duì)應(yīng)于不可壓縮條件λr,λθ,λ?準(zhǔn)=1的靜水壓力,是一個(gè)待定函數(shù)。另外,此處重復(fù)的下標(biāo)i不表示求和。

        由(28)式,可得

        σ■(R)=λr■-p(R), (29)

        σ■(R)=σ?準(zhǔn)?準(zhǔn)(R)=λθ■-p(R), (30)

        對(duì)(27)式積分,得到

        r(R,c)=(R■+c■)■,R■≤R≤R■ (31)

        由式(25)和式(31)可以得到

        λr=(1+■)■,λθ=λ?準(zhǔn)=(1+■)■ (32)

        為了方便后面的應(yīng)用,引入統(tǒng)一的無量綱記號(hào):

        η=η(R,c)=■=(1+■)■,x=■,δ=■ (33)

        把式(32)重新記為

        λr=η■,λθ=λ?準(zhǔn)=η (34)

        而且應(yīng)變能函數(shù)(3.6)可記為

        ■(η)=W(η■,η,η■) (35)

        將上面(33)(34)(35)帶入球形結(jié)構(gòu)的任意平衡構(gòu)形的總能量方程得到

        ■(x)=■=3x■■■dη-3p■[(1+x■)■-1] (36)

        根據(jù)最小勢(shì)能原理,對(duì)應(yīng)于球形結(jié)構(gòu)的任意構(gòu)形的平衡街可以由以下方程求得:

        ■=0 (37)

        把式(36)帶入式(37)中,得到

        x■[(1+x■)■■■dη-p■]=0 (38)

        顯然,對(duì)任意給定的p0>0,x=0即c=0,恒滿足方程(38),次時(shí)球形結(jié)構(gòu)內(nèi)半徑仍為R1,因此,稱x=0為有限變形問題的平凡解。若存在x>0,即c>0,則有

        p■=(1+x■■)■■■dη (39)

        稱式(39)為有限變形問題的非平凡解。不難看出,對(duì)于給定的結(jié)構(gòu)參數(shù)δ和不可壓縮超彈性材料,球形結(jié)構(gòu)內(nèi)部的徑向有限變形由方程(39)唯一確定。

        參考文獻(xiàn):

        [1]賀愛娟. 一類非線性常微分方程邊值問題的求解方法及其解的定性分析[D].煙臺(tái)大學(xué),2008.

        [2]李興昌.非線性算子不動(dòng)點(diǎn)理論與常微分方程正解的討論[D].曲阜師范大學(xué),2012.

        [3]胡銀萍.具有積分邊界條件的二階微分方程解的存在與唯一性[D].天津財(cái)經(jīng)大學(xué),2012.

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