丁軍猛

摘要：定積分是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它的應(yīng)用非常廣泛，在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、幾何學(xué)中都有應(yīng)用，本文重點(diǎn)研究了定積分在幾何計(jì)算中的應(yīng)用，通過利用定積分在解決一些利用初等幾何知識無法解決的幾何問題，為我們解決一些初等數(shù)學(xué)問題提供了一些新的思想，新觀點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：定積分；幾何；計(jì)算

在數(shù)學(xué)中，應(yīng)用可以分為不同的層次：一是數(shù)學(xué)知識的直接應(yīng)用，如由基本積分公式，利用直接積分法求不定積分，這是最低層次的一種應(yīng)用；二是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決由具體問題抽象出來的數(shù)學(xué)模型，如利用定積分解決平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積問題，這是高一級層次的應(yīng)用；三是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識直接解決現(xiàn)實(shí)問題，這時(shí)，需要對具體的問題進(jìn)行抽象概括，抽象出具體的數(shù)學(xué)模型，而后進(jìn)行解決，這是最高層次的一種應(yīng)用。本文涉及的應(yīng)用問題主要是二種應(yīng)用，即運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)模型。

一、定積分的概念和性質(zhì)

（一）定義

設(shè) 為定義在區(qū)間 上的有界函數(shù)，在 中任意插入 個(gè)分點(diǎn)：將區(qū)間 分割成 個(gè)小區(qū)間 ，小區(qū)間的長度分別記為 ，在小區(qū)間 上任取一點(diǎn) ，作和式： ，

若當(dāng) 時(shí)，上述和式極限存在，且與區(qū)間 的分法無關(guān)，與 的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分，記為 ，即 .

其中， 稱為積分變量， 稱為被積函數(shù)， 稱為被積表達(dá)式， 稱為積分區(qū)間， 為積分下限， 為積分上限.

（二）定積分的幾何意義

若在 上 ，則 的值表示由曲線 ，直線 ， ， 所圍成曲邊梯形的面積若在 上 ，則 為負(fù)值，絕對值是以 為曲邊，與直線 ， ， 所圍曲邊梯形的面積（圖）.

若在 上 有正有負(fù)，則 的值表示由 ， ， 和 所圍圖形在 軸上方的面積減去在 軸下方的面積所得之差（圖1、2）.

定積分的應(yīng)用很廣，僅介紹它在幾何方面和物理方面的一些應(yīng)用.首先說明一種運(yùn)用定積分解決實(shí)際問題時(shí)常用的方法——將所求量表達(dá)成為定積分的分析方法——微元法（或元素法）.

由定積分的定義和幾何意義可以看出。在將具體問題中所求的量S表達(dá)成定積分：

時(shí)，總是把所求量S看作是與變量 的變化區(qū)間[a，b]相聯(lián)系的整體量.當(dāng)把區(qū)間[a，b]劃分為若干小區(qū)間時(shí)，整體量S就相應(yīng)地分為若干部分量 ，而整體量等于各部分量之和，這一性質(zhì)稱為所求量對于區(qū)間[a，b]具有可加性.

劃分區(qū)間后，在各部分區(qū)間上，求出部分量的近似表達(dá)式 ，由可加性，總量的近似值可以表達(dá)成和式 （由于點(diǎn) 任意選取時(shí)，和式極限有確定的值，常取 為區(qū)間的左端點(diǎn) ），從而這個(gè)和式的極限就是所求量的精確值，于是由定積分的定義，總量S可用定積分來表達(dá)

一般地，如果某一實(shí)際問題中所求量S滿足以下條件：

S是與變量 的變化區(qū)間[a，b]有關(guān)的量，且S對于該區(qū)間具有可加性，所求量S就可用定積分來計(jì)算.具體步驟如下：

（1）確定積分變量，并求出相應(yīng)的積分區(qū)間[a，b]

（2）在區(qū)間[a，b]上任取一小區(qū)間 ，并在該小區(qū)間上找出所求量s的微元

（3）寫出所求量 的積分表達(dá)式 ，然后計(jì)算它的值.

這里 通常稱為所求量S的微分（或元素），這種直接在小區(qū)間上找積分表達(dá)式從而得出定積分表達(dá)式的方法，通常稱為微元法（或元素法）.

二、根據(jù)定積分的定義，定積分與幾何圖形的面積有直接聯(lián)系，由其定義推導(dǎo)過程，我們總結(jié)出以下兩種情況

（一）在直角坐標(biāo)系下計(jì)算平面圖形的面積

方法一：

面積元素 = ，面積 =

第一步：在 邊界方程中解出 的兩個(gè)表達(dá)式 ， .

第二步：在剩下的邊界方程中找出 的兩個(gè)常數(shù)值 ， ；不夠時(shí)由 解出，

， ，面積 =

方法二：

面積元素 = ，面積 =

第一步：在 邊界方程中解出 的兩個(gè)表達(dá)式 ， .

第二步：在剩下的邊界方程中找出 的兩個(gè)常數(shù)值 ， ；不夠時(shí)由 解出，

， ，面積 =

例1 求 ， 圍成的面積

解 ， ， ， 。當(dāng) 時(shí) ，于是

面積

例2 計(jì)算 圍成的面積

解 由 ， 得， ，當(dāng) 時(shí)

面積= =18。

三、曲邊圖形的函數(shù)表達(dá)式是其他形式的情況

（一）在曲邊梯形 、 、 、 （ ）中，如果曲邊 的方程為參數(shù)方程為 ，

則其面積 = ，其中

例3 求 軸與擺線 ， 圍成的面積

解 面積

例4 星形線 （ ）圍成的面積.

解 面積

=

（二）極坐標(biāo)系下計(jì)算平面圖形的面積

某些平面圖形，用極坐標(biāo)計(jì)算它們的面積比較方便.用微元法計(jì)算：由極坐標(biāo)方程 所表示的曲線與射線 所圍成的曲邊扇形面積.

以極角 為積分變量，積分區(qū)間為 ，在 上任取一小區(qū)間 ，與它相應(yīng)的小曲邊扇形面積近似于以 為圓心角. 為半徑的圓扇形面積，從而得到面積元素

四、定積分在計(jì)算體積中的應(yīng)用

（一）平行截面面積為已知的空間物體的體積

過 軸一點(diǎn) 作垂直于 軸的平面，該平面截空間物體的

截面面積為 ， ，則該物體的體積

例1 一空間物體的底面是長半軸 ，短半軸 的橢

圓，垂直于長半軸的截面都是等邊三角形，求此空間體的體積。

解 截面面積

（二）旋轉(zhuǎn)體體積

設(shè)一旋轉(zhuǎn)體是由曲線 與直線 、及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成（右圖）.現(xiàn)用微元法求它的體積.

在區(qū)間 上任取 ，對應(yīng)于該小區(qū)間的小薄片體積近似于以 為半徑，以 為高的薄片圓柱體體積，從而得到體積元素為

從a到b積分，得旋轉(zhuǎn)體體積為 。

類似地，若旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線 與直線 及y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成，則其體積為

例2擺線 與x軸圍成的圖形

1）繞 軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積

=

2）繞 軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積

=

3）繞 旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的截面面積 。

繞 旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積

例3 求心形線 與射線 、 圍成的繞極軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積

解 心形線的參數(shù)方程為 ， ，旋轉(zhuǎn)體體積

= =

注：從計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的過程中可以看出：如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面的面積，那么，這個(gè)立體的體積也可以用定積分計(jì)。

如右圖所示，取上述定軸為x軸，并設(shè)該立體在過點(diǎn)x=a、x=b且垂直于x軸的兩個(gè)平面之間，以A（x）表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積.A（x）為x的已知的連續(xù)函數(shù).取x為積分變量，它的變化區(qū)間為 .立體中相應(yīng)于 上任一小區(qū)間 的薄片的體積，近似于底面積為A（x）、高為dx的扁柱體的體積，即體積元素

于是所求立體的體積為 。

五、定積分在計(jì)算平面弧長中的應(yīng)用長

設(shè) 為 面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù) 在 上有界，在 內(nèi)任意地插入 點(diǎn)，

它把L分成n個(gè)小弧段，設(shè)第i個(gè)小段 的長度為 ， 為 上任取的一點(diǎn)，記 作和式

如果極限 存在，

這個(gè)極限值就叫做函數(shù) 在曲線弧 上對弧長的曲線積分，記作 。

亦即

其中： 叫做被積函數(shù)， 叫做積分弧段。

參數(shù)方程

極坐標(biāo)

表中當(dāng) 時(shí)， ， ， ， ，

弧微分 。

例1求擺線 的長

解 ， ， 。

弧長

例2擺線 上求分?jǐn)[線第一拱成1：3的點(diǎn)的坐標(biāo)

解 設(shè)A點(diǎn)滿足要求，此時(shí) 。根據(jù)例2擺線第一拱成弧長 ， 。由條件弧OA的長為 ，即 ， ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

例3 求星形線 的全長

解 星形線的參數(shù)方程為 ， ，

， ，

.

弧長 。

例4 求對數(shù)螺線 上 到 的一段弧長

解 ，弧長 = =

結(jié)論：利用高等數(shù)學(xué)的一些思想、觀點(diǎn)、原理和方法，可以改變我們對一些問題的思維方式，拓展我們的解題思路，從本文可以看出，以前比較難解決的曲邊圖形的面積、不規(guī)則弧長，物體的體積等問題結(jié)合定積分的思想去解決時(shí)，常常能達(dá)到事半功倍的效果。

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