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        二次函數(shù)雙根式頂點化的探索與研究

        2017-08-14 09:27:24李道生謝七生魏均林平功傳黃偉新
        新課程·下旬 2017年7期
        關鍵詞:探索研究二次函數(shù)

        李道生+謝七生+魏均林+平功傳+黃偉新+王振華

        摘 要:通過研究二次函數(shù)雙根式與頂點式的相互轉化,推出了一種用雙根表示拋物線頂點坐標的新的解析式——根頂式,從而實現(xiàn)了雙根式與頂點式的統(tǒng)一,為解決二次函數(shù)的有關問題提供了一種全新的思考方法。

        關鍵詞:二次函數(shù);雙根式;頂點化;探索研究

        “二次函數(shù)”是初中數(shù)學的重要內容,二次函數(shù)的解析式除了一般式外,另有雙根式和頂點式。

        雙根式:y=a(x-x1)(x-x2)

        頂點式:y=a(x+■)■+■

        這兩種表達式在解題過程中各自發(fā)揮著重要的作用,那么它們之間有什么內在聯(lián)系?亦即雙根與頂點坐標之間有什么聯(lián)系?翻閱大量的課外書籍,我們發(fā)現(xiàn)還沒有任何人思考過這一問題。

        我們試著研究二次函數(shù)雙根式與頂點式的相互轉化,推出了一種用雙根表示拋物線頂點坐標的新的解析式——根頂式,從而實現(xiàn)了雙根式與頂點式的統(tǒng)一,為解決二次函數(shù)的有關問題提供了一種全新的思考方法。

        下面,將給出我們發(fā)現(xiàn)的“二次函數(shù)的根頂式”及其推導過程。

        二次函數(shù)的根頂式:設拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A

        (x1,0),B(x2,0)兩點,則y=a(x-■)■-■x1-x2■

        證明:∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A(x1,0),B(x2,0)兩點

        ∴由二次函數(shù)的雙根式,有

        y=a(x-x1)(x-x2)=ax2-(x1+x2)x+x1x2

        =ax2-(x1+x2)x+(■)■-(■)■+x1x2

        =a(x-■)■-■(x1-x2)■

        =a(x-■)■-■x1-x2■

        顯然,解析式y(tǒng)=a(x-■)■-■x1-x2■是用雙根x1,x2表示的,所以可以看作是二次函數(shù)的雙根式,又因為其外在形式是頂點式,所以又可以看作是二次函數(shù)的頂點式:

        頂點坐標為(■,-■x1-x2■),

        對稱軸方程為x=■

        (注意:(x1-x2)■=x1-x2■,這樣變形是為了突出解析式的幾何意義,使解析式的內涵更豐富)

        鑒于此,我們稱此解析式為二次函數(shù)的“根頂式”。

        既然根頂式的雙重身份實現(xiàn)了雙根式與頂點式的和諧統(tǒng)一,我們猜想它一定可以同時發(fā)揮雙根式與頂點式的雙重功能,甚至會“1+1>2”。

        帶著這一猜想,我們有意識地運用根頂式于二次函數(shù)的有關習題中,真切感受到它的強大威力,一大批問題由此獲得直接快速、簡捷巧妙的解法。

        下面略舉數(shù)例,讓我們一起欣賞根頂式的無窮魅力吧!

        例1:已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(-2,0)、B(3,0)兩點,且函數(shù)有最大值2,求此二次函數(shù)的解析式。

        解:這里x1=-2,x2=3,將其代入二次函數(shù)的根頂式

        y=a(x-■)■-■x1-x2■

        得:y=a(x-■)■-■a

        ∵ymax=2

        ∴-■a=2■ 解得a=-■

        故二次函數(shù)的解析式為y=-■(x-■)■+2

        例2:拋物線的頂點坐標為(-2,3),與x軸相交于(x1,0),(x2,0)兩點,且x1-x2=6,求此二次函數(shù)的解析式。

        解:設所求解析式為:y=a(x-■)■-■x1-x2■

        依題意知:■=-2 -■x1-x2■=3

        ∵x1-x2=6

        ∴-■×62=3 解得a=-■

        故所求解析式為:y=-■(x+2)■+3

        例3:拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(-1,-1),對稱軸x=-2,在x軸上截得線段長為2■,求此拋物線的解析式。

        解:設拋物線的解析式為y=a(x-■)■-■x1-x2■

        ∵x1-x2=2■

        ∴-■x1-x2■=-2a

        又∵■=-2 ∴y=a(x+2)■-2a

        ∵拋物線經(jīng)過點(-1,-1)

        ∴-1=a(-1+2)■-2a 解得a=1

        故所求拋物線的解析式為:y=(x+2)■-2

        例4:拋物線y=-x2+4x-5向上或向下平移若干個單位后,得到的新拋物線與x軸兩交點間的距離為4,求平移后所得拋物線的解析式。

        解:y=-x2+4x-5的對稱軸x=-■=2,因為拋物線上下平移對稱軸不變

        故平移后的拋物線對稱軸方程仍為x=2

        設平移后的拋物線與x軸的兩交點為(x1,0),(x2,0),

        則■=2

        ∵a=-1 x1-x2=4

        ∴-■x1-x2■=4

        故平移后的拋物線解析式為:y=-(x-2)2+4

        例5:已知拋物線y=-x2+bx+c的最大值為5,求此拋物線在

        x軸上截得的線段長。

        解:這里,a=-1

        ∵ymax=5

        ∴■x1-x22=5,解得x1-x2=2■

        例6:已知y=2x2+bx+c的圖象在x軸上截得的線段長為4,求此函數(shù)的最小值。

        解:這里,a=2>0 x1-x2=4

        故ymin=-■x1-x22=-■×42=-8

        我們知道,若拋物線y=ax2+bx+c與x軸兩交點坐標為

        A(x1,0),B(x2,0),頂點坐標為(h,k),則

        y=a(x-x1)(x-x2)

        =a(x-■)■-■x1-x2■

        =a(x+■)■+■

        從而知 h=-■=■ (1)

        k=■=-■x1-x2■ (2)

        其中,關系式(2)將拋物線y=ax2+bx+c頂點縱坐標k與系數(shù)a、b、c及拋物線與x軸兩交點間的距離x1-x2聯(lián)系在一起,從而為解決拋物線的某些問題提供了一個簡明統(tǒng)一的處理方法。

        例7:已知拋物線y=x2-mx+4與x軸交于A、B兩點,且A、B兩點間的距離為2,求此二次函數(shù)的解析式。

        解:依題意,x1-x2=2 根據(jù)k=■=-■x1-x2■

        ∴■=-■×22

        解得m=±2■

        故所求二次函數(shù)的解析式為y=x2±2■x+4

        不經(jīng)意間獲得如此“重要”的發(fā)現(xiàn),對于教師也許不算什么,但教師親自體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程,將有利于設計符合數(shù)學發(fā)現(xiàn)思維規(guī)律的教學程序。科學上許多重要的發(fā)現(xiàn)常常是靈感的產(chǎn)物,可謂“靈光一閃,計上心來”,但靈感的產(chǎn)生只垂青于孜孜不倦、潛心研究的有心人,只要我們帶著探索發(fā)現(xiàn)的心有意識、有準備地思考問題、研究問題,不放過頭腦中閃現(xiàn)的蛛絲馬跡,牢牢抓住稍縱即逝的閃念,就一定會有所收獲、有所創(chuàng)造。

        結果也許并不重要,重要的是發(fā)現(xiàn)過程中所反映出的思維方法有利于啟發(fā)思路、活躍思維、培養(yǎng)創(chuàng)新意識,并從中感受到智力的愉悅、發(fā)現(xiàn)的樂趣,從而更加自覺地探索發(fā)現(xiàn)有價值的結果,最終成為對社會有益的創(chuàng)新型人才。

        作者簡介:李道生,湖北省赤壁市車站學校數(shù)學教師,主要從事快速記憶、創(chuàng)新教育、教材教法等方面研究。謝七生、魏均林、平功傳、黃偉新、王振華,赤壁市實驗中學教師。

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