李道生+謝七生+魏均林+平功傳+黃偉新+王振華
摘 要:通過研究二次函數(shù)雙根式與頂點式的相互轉化,推出了一種用雙根表示拋物線頂點坐標的新的解析式——根頂式,從而實現(xiàn)了雙根式與頂點式的統(tǒng)一,為解決二次函數(shù)的有關問題提供了一種全新的思考方法。
關鍵詞:二次函數(shù);雙根式;頂點化;探索研究
“二次函數(shù)”是初中數(shù)學的重要內容,二次函數(shù)的解析式除了一般式外,另有雙根式和頂點式。
雙根式:y=a(x-x1)(x-x2)
頂點式:y=a(x+■)■+■
這兩種表達式在解題過程中各自發(fā)揮著重要的作用,那么它們之間有什么內在聯(lián)系?亦即雙根與頂點坐標之間有什么聯(lián)系?翻閱大量的課外書籍,我們發(fā)現(xiàn)還沒有任何人思考過這一問題。
我們試著研究二次函數(shù)雙根式與頂點式的相互轉化,推出了一種用雙根表示拋物線頂點坐標的新的解析式——根頂式,從而實現(xiàn)了雙根式與頂點式的統(tǒng)一,為解決二次函數(shù)的有關問題提供了一種全新的思考方法。
下面,將給出我們發(fā)現(xiàn)的“二次函數(shù)的根頂式”及其推導過程。
二次函數(shù)的根頂式:設拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A
(x1,0),B(x2,0)兩點,則y=a(x-■)■-■x1-x2■
證明:∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A(x1,0),B(x2,0)兩點
∴由二次函數(shù)的雙根式,有
y=a(x-x1)(x-x2)=ax2-(x1+x2)x+x1x2
=ax2-(x1+x2)x+(■)■-(■)■+x1x2
=a(x-■)■-■(x1-x2)■
=a(x-■)■-■x1-x2■
顯然,解析式y(tǒng)=a(x-■)■-■x1-x2■是用雙根x1,x2表示的,所以可以看作是二次函數(shù)的雙根式,又因為其外在形式是頂點式,所以又可以看作是二次函數(shù)的頂點式:
頂點坐標為(■,-■x1-x2■),
對稱軸方程為x=■
(注意:(x1-x2)■=x1-x2■,這樣變形是為了突出解析式的幾何意義,使解析式的內涵更豐富)
鑒于此,我們稱此解析式為二次函數(shù)的“根頂式”。
既然根頂式的雙重身份實現(xiàn)了雙根式與頂點式的和諧統(tǒng)一,我們猜想它一定可以同時發(fā)揮雙根式與頂點式的雙重功能,甚至會“1+1>2”。
帶著這一猜想,我們有意識地運用根頂式于二次函數(shù)的有關習題中,真切感受到它的強大威力,一大批問題由此獲得直接快速、簡捷巧妙的解法。
下面略舉數(shù)例,讓我們一起欣賞根頂式的無窮魅力吧!
例1:已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(-2,0)、B(3,0)兩點,且函數(shù)有最大值2,求此二次函數(shù)的解析式。
解:這里x1=-2,x2=3,將其代入二次函數(shù)的根頂式
y=a(x-■)■-■x1-x2■
得:y=a(x-■)■-■a
∵ymax=2
∴-■a=2■ 解得a=-■
故二次函數(shù)的解析式為y=-■(x-■)■+2
例2:拋物線的頂點坐標為(-2,3),與x軸相交于(x1,0),(x2,0)兩點,且x1-x2=6,求此二次函數(shù)的解析式。
解:設所求解析式為:y=a(x-■)■-■x1-x2■
依題意知:■=-2 -■x1-x2■=3
∵x1-x2=6
∴-■×62=3 解得a=-■
故所求解析式為:y=-■(x+2)■+3
例3:拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(-1,-1),對稱軸x=-2,在x軸上截得線段長為2■,求此拋物線的解析式。
解:設拋物線的解析式為y=a(x-■)■-■x1-x2■
∵x1-x2=2■
∴-■x1-x2■=-2a
又∵■=-2 ∴y=a(x+2)■-2a
∵拋物線經(jīng)過點(-1,-1)
∴-1=a(-1+2)■-2a 解得a=1
故所求拋物線的解析式為:y=(x+2)■-2
例4:拋物線y=-x2+4x-5向上或向下平移若干個單位后,得到的新拋物線與x軸兩交點間的距離為4,求平移后所得拋物線的解析式。
解:y=-x2+4x-5的對稱軸x=-■=2,因為拋物線上下平移對稱軸不變
故平移后的拋物線對稱軸方程仍為x=2
設平移后的拋物線與x軸的兩交點為(x1,0),(x2,0),
則■=2
∵a=-1 x1-x2=4
∴-■x1-x2■=4
故平移后的拋物線解析式為:y=-(x-2)2+4
例5:已知拋物線y=-x2+bx+c的最大值為5,求此拋物線在
x軸上截得的線段長。
解:這里,a=-1
∵ymax=5
∴■x1-x22=5,解得x1-x2=2■
例6:已知y=2x2+bx+c的圖象在x軸上截得的線段長為4,求此函數(shù)的最小值。
解:這里,a=2>0 x1-x2=4
故ymin=-■x1-x22=-■×42=-8
我們知道,若拋物線y=ax2+bx+c與x軸兩交點坐標為
A(x1,0),B(x2,0),頂點坐標為(h,k),則
y=a(x-x1)(x-x2)
=a(x-■)■-■x1-x2■
=a(x+■)■+■
從而知 h=-■=■ (1)
k=■=-■x1-x2■ (2)
其中,關系式(2)將拋物線y=ax2+bx+c頂點縱坐標k與系數(shù)a、b、c及拋物線與x軸兩交點間的距離x1-x2聯(lián)系在一起,從而為解決拋物線的某些問題提供了一個簡明統(tǒng)一的處理方法。
例7:已知拋物線y=x2-mx+4與x軸交于A、B兩點,且A、B兩點間的距離為2,求此二次函數(shù)的解析式。
解:依題意,x1-x2=2 根據(jù)k=■=-■x1-x2■
∴■=-■×22
解得m=±2■
故所求二次函數(shù)的解析式為y=x2±2■x+4
不經(jīng)意間獲得如此“重要”的發(fā)現(xiàn),對于教師也許不算什么,但教師親自體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程,將有利于設計符合數(shù)學發(fā)現(xiàn)思維規(guī)律的教學程序。科學上許多重要的發(fā)現(xiàn)常常是靈感的產(chǎn)物,可謂“靈光一閃,計上心來”,但靈感的產(chǎn)生只垂青于孜孜不倦、潛心研究的有心人,只要我們帶著探索發(fā)現(xiàn)的心有意識、有準備地思考問題、研究問題,不放過頭腦中閃現(xiàn)的蛛絲馬跡,牢牢抓住稍縱即逝的閃念,就一定會有所收獲、有所創(chuàng)造。
結果也許并不重要,重要的是發(fā)現(xiàn)過程中所反映出的思維方法有利于啟發(fā)思路、活躍思維、培養(yǎng)創(chuàng)新意識,并從中感受到智力的愉悅、發(fā)現(xiàn)的樂趣,從而更加自覺地探索發(fā)現(xiàn)有價值的結果,最終成為對社會有益的創(chuàng)新型人才。
作者簡介:李道生,湖北省赤壁市車站學校數(shù)學教師,主要從事快速記憶、創(chuàng)新教育、教材教法等方面研究。謝七生、魏均林、平功傳、黃偉新、王振華,赤壁市實驗中學教師。