梁擁成+劉小妹

摘 要：通過(guò)對(duì)理論力學(xué)中剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和材料力學(xué)中截面對(duì)軸的慣性矩的比較，把理論力學(xué)和材料力學(xué)中相關(guān)的內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，不僅鞏固已學(xué)知識(shí)，也讓新的知識(shí)變得簡(jiǎn)單易懂。在教學(xué)過(guò)程中，啟發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，尋找規(guī)律，總結(jié)相似點(diǎn)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和積極性，取得了良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：理論力學(xué)；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；材料力學(xué)；慣性矩

中圖分類(lèi)號(hào)：th113 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2017）13-0215-01

力學(xué)是工科專業(yè)一門(mén)難度較大的學(xué)科，在我校的教學(xué)培養(yǎng)計(jì)劃中，一般是上半學(xué)期的理論力學(xué)和下半學(xué)期的材料力學(xué)，這兩門(mén)課之間存在內(nèi)在聯(lián)系，不僅僅停留在理論力學(xué)中的靜力學(xué)部分是材料力學(xué)的基礎(chǔ)，在教學(xué)過(guò)程中，作者還發(fā)現(xiàn)了一些參數(shù)之間的關(guān)系，如果不加以比較說(shuō)明，會(huì)讓同學(xué)覺(jué)得知識(shí)凌亂。本文通過(guò)比較對(duì)理論力學(xué)中剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和材料力學(xué)中截面對(duì)軸的慣性矩，讓學(xué)生做到知識(shí)的融會(huì)貫通，不僅能更加牢固掌握這些基本參數(shù)，而且使新知識(shí)變得簡(jiǎn)單易懂。

1 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1.1 定義

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是工程力學(xué)中一個(gè)重要知識(shí)，是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量，表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。計(jì)算剛體及系統(tǒng)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩或是計(jì)算動(dòng)能時(shí)，都必須要求對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義為

（1）

若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則： （2）

1.2 平行移軸定理

同一個(gè)剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的，當(dāng)轉(zhuǎn)軸與通過(guò)剛體質(zhì)心的軸相互平行時(shí)，對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。

（3）

1.3 組合法

當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部分（物體）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，然后再加起來(lái)就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若物體有空心部分，要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來(lái)處理。

例如：如圖1所示。鐘擺：均質(zhì)直桿m1，l；均質(zhì)圓盤(pán)：m2，R。求整個(gè)鐘擺對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

解：

1.4 回轉(zhuǎn)半徑

定義，則剛體對(duì)z軸的回轉(zhuǎn)半徑為： （4）

2 截面的慣性矩

2.1 定義

在推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力公式時(shí)定義了： （5）

式中，即為截面對(duì)中性軸z軸的慣性矩，從定義可以看出慣性矩是反映梁的截面尺寸和形狀抵抗彎曲變形能力的一個(gè)物理量。

2.2 平行移軸定理

當(dāng)坐標(biāo)軸不過(guò)截面的形心，但和形心軸平行時(shí)，截面圖形對(duì)該軸的慣性矩與對(duì)形心軸的慣性矩有比較簡(jiǎn)單的關(guān)系，即慣性矩平行移軸定理： （6）

2.3 組合法

組合截面對(duì)于坐標(biāo)軸的慣性矩等于各部分對(duì)于該軸慣性矩之和。例如：空心圓對(duì)過(guò)圓心的軸的慣性矩可以看作大圓的的慣性矩減去小圓的慣性矩。

2.4 慣性半徑

定義，則慣性半徑為： （7）

通過(guò)以上四個(gè)方面對(duì)較剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和截面對(duì)軸的慣性矩進(jìn)行了比較和類(lèi)比，不難發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性矩有很多類(lèi)似的地方，首先這兩個(gè)參數(shù)都是是對(duì)軸而言，都可以用平行移軸定理和組合法，都有一個(gè)相對(duì)應(yīng)的定義半徑。不同的是定義，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)用的是剛體的質(zhì)量乘以到軸的距離的平方，而截面的慣性矩是應(yīng)用的截面的面積乘以到軸的距離的平方，所以只需要把質(zhì)量換成面積就可以輕松地學(xué)習(xí)材料力學(xué)的慣性矩。

3 結(jié)語(yǔ)

在力學(xué)教學(xué)過(guò)程中，把理論力學(xué)和材料力學(xué)中相關(guān)的內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，從四個(gè)方面對(duì)理論力學(xué)中剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和材料力學(xué)中截面對(duì)軸的慣性矩進(jìn)行了比較，尋找了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和相似點(diǎn)，給學(xué)生提供了許多獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，達(dá)到了事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn)

[1]劉鴻文.材料力學(xué)[M].（第4版）.北京：高等教育出版社，2004.

[2]李培超，范志毅，劉小妹.簡(jiǎn)明工程力學(xué)[M].（第2版）.北京：清華大學(xué)出版社，2016.