福建省福安市第二中學 羅開華

均值不等式應用例析

福建省福安市第二中學 羅開華

利用均值不等式及推廣求解最值問題、不等式證明、實際問題。均值不等式教學對優(yōu)化學生知識結構、提升應用能力具有重要意義。

均值不等式；應用與推廣

均值不等式作為高中課程的重要知識，要掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數并會簡單的應用。應用均值不等式求最值問題、不等式證明、解決實際問題具有重要作用。同時，均值不等式的教學有助于培養(yǎng)學生的數學創(chuàng)新意識，對探索創(chuàng)造、發(fā)揮潛能、開發(fā)智力具有重要意義。

一、均值不等式及其推廣

二、均值不等式的應用

1.均值不等式在最值問題中的應用

2.均值不等式在證明不等式中的應用

運用均值不等式進行不等式的證明，可使很多問題更為簡便轉化和解決,使不等式的證明更具有活力和靈活性。

（還可以用三角代換、常值代換、消元法等方法處理）

3.均值不等式在實際問題中的應用

例5 某工廠購買某種設備時費用為10萬元，每年的設備運營費為9千元，設備的維修費為第一年2千元，第二年4千元，…依每年2千元遞增,問該設備使用多少年報廢最合算（使用年平均費用最少）？

解：設該設備使用n年報廢，則每年平均費用為f(n)萬元，依題知：每年設備的使用費與維修費之和構成首項為1.1，公差為0.2的等差數列，前n項和為0.1n2+n萬元，依題有：答：該設備使用10年報廢最合算。

三、反思與感悟

均值不等式作為一個重要的不等式，在求函數最值、不等式證明及實際問題求解中發(fā)揮重要作用，其應用十分廣泛。但要注意應用條件：“一正二定三等”，不滿足條件時要創(chuàng)造條件，利用配湊法、函數單調性、拆項添項等方法處理。教師要重視均值不等式的教學，鍛煉學生的推理能力、想象力和創(chuàng)造力，促進學生思維能力的發(fā)展。