廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510050) 韓智明

和學(xué)生一起玩轉(zhuǎn)“差比型數(shù)列”

廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510050) 韓智明

筆者從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)近二十年,每當(dāng)給學(xué)生講授利用錯位相減法進(jìn)行“差比型數(shù)列”求和時,總是伴隨著一種困惑：感覺學(xué)生對這種數(shù)列求和方法很容易聽懂和理解,其原因是錯位相減法求“差比型數(shù)列”的和有固定的求解模式,在大量的此類方法訓(xùn)練題中,學(xué)生套用這種機械的固有解題模式,解題方向和目標(biāo)一致,容易掌握其法則和步驟.而效果呢?結(jié)果是錯位相減法求和計算量大,經(jīng)常容易出錯.運用錯位相減法求“差比型數(shù)列”的和要求學(xué)生用很強的計算能力,加上我們一再強調(diào)該類型數(shù)列求和只能用錯位相減法來解決,所以學(xué)生在學(xué)習(xí)時遇到此類問題時,就抱定自古華山一條路的決心,戰(zhàn)戰(zhàn)兢兢地走下去.

目前大部分省市參加全國新課標(biāo)卷考試,數(shù)列知識和三角知識在第一個大題基本交替出現(xiàn),數(shù)列知識特別是對錯位相減求和的考查成為不可或缺的部分,其地位顯得尤為重要.本學(xué)期在給高三學(xué)生復(fù)習(xí)“差比型數(shù)列”求和的時候,我決定不走以往復(fù)習(xí)教學(xué)老師滿堂灌的老路,改變一下方式和策略,讓學(xué)生通過對相關(guān)習(xí)題的練習(xí)后,來盡可能暴露出在此類數(shù)列求和的問題,然后讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、自己改錯、自己總結(jié),然后自己提升和優(yōu)化該類型數(shù)列的求和方法.

先給出例題：

師：(讓學(xué)生觀察、分析,然后老師提問)

生：(學(xué)生幾乎異口同聲說出用錯位相減法求和,課堂氛圍活躍,很快安靜下來,學(xué)生們都投入到解題的活動中去了),大約過了5、6分鐘,陸續(xù)有同學(xué)舉手示意表示已經(jīng)完成,10分鐘后,全部同學(xué)停筆,表示全部完成.

學(xué)生1、學(xué)生2和學(xué)生3出示了他們的解題過程：學(xué)生1：解：

此時課堂已經(jīng)很熱鬧了,都在看著投影上展示的三種不同的結(jié)果,有的同學(xué)在懊惱地?fù)u頭,對照三位同學(xué)的做法還在若有所思地改動自己原來的解答,有的同學(xué)則是一臉的自信和喜悅.

學(xué)生4：老師,很顯然從結(jié)果來看,學(xué)生1和學(xué)生2的答案錯誤,從例題中的第一項算出結(jié)果是而學(xué)生1和學(xué)生2計算的結(jié)果分別是和2,顯然不符合首項.比較起來的話,學(xué)生3的做法是正確的.

師：很好,學(xué)生4說得相當(dāng)好,今后在做數(shù)列計算的時候,可以用首項驗證法這個必要條件去驗證一下.通過三位學(xué)生的計算過程,計算錯誤的同學(xué)究竟在那個環(huán)節(jié)出現(xiàn)了問題呢?

學(xué)生5：學(xué)生1的計算錯誤是做-的時候,最后一項的符號沒有變?yōu)樨?fù)號所致,這個錯誤我原來也經(jīng)常犯,所以一看就知道錯誤的地方.

師：真是失之毫厘,謬以千里啊!一個小小的負(fù)號白白丟了幾乎整個題的分?jǐn)?shù).

學(xué)生6：學(xué)生2的錯誤在于做⑥計算的時候,把作差以后的等比數(shù)列求和,把項數(shù)為n-1計算成n項所致(這時候同學(xué)議論紛紛,看來判斷數(shù)列的項數(shù)不是小問題).

學(xué)生7：老師,比較學(xué)生1和學(xué)生2的做法,如果他們沒有犯錯誤的話,我發(fā)現(xiàn)他們的解法有不同,他們在數(shù)列兩邊同乘的數(shù)是不一樣的,究竟在計算的時候乘哪個好呢?

師：非常好!學(xué)生7這個問題問得好!觀察這兩位同學(xué)的解法,一般來說數(shù)列兩邊同乘“差比型數(shù)列”中的等比數(shù)列的公比,以方便計算為原則.當(dāng)然,我相信同學(xué)們以上錯誤在今后的訓(xùn)練中應(yīng)該能克服,還有的易錯地方是第、⑥、⑨步以后的計算、變形和多項式冪指數(shù)運算化簡不到位.

學(xué)生8：老師,此類型數(shù)列的求和對我們的要求挺高的,還有沒有其它方法解決此類數(shù)列的求和呢?

學(xué)生9：我們現(xiàn)在學(xué)的數(shù)列求和方法,以錯位相減法和裂項相消法為主要的方法,我倒覺得裂項相消法的計算要求顯得稍微低一點,能不能用裂項相消法去解決“差比型數(shù)列”的求和呢?

師：可以嘗試一下哦!(在經(jīng)過剛才復(fù)雜的計算之后,學(xué)生幾乎渴望尋找一種似乎簡單的求和方法,斗志高昂,比我原來預(yù)定的教學(xué)計劃感覺好多了)給出較為簡單的例題：

例2用裂項相消法求數(shù)列an=n·2n的前n和Sn.

這時候,課堂顯得很安靜,很多同學(xué)在冥思苦想(我很擔(dān)心沒有學(xué)生能做的出來),突然一個聲音打破了課堂的安靜.

學(xué)生10：老師,我搞定了,這種方法有點類似在做求遞推數(shù)列求通項的時候的待定系數(shù)法,學(xué)生10的解法：令再展開后,再兩邊比較系數(shù)得出A=1,B=-2,所以得到

師：學(xué)生10做的非常好!通過類比求通項的待定系數(shù)法得出解法,想法很特別,我們可以把這種方法推廣到所有的“差比型數(shù)列”的求和中去.那我們現(xiàn)在馬上要做什么呢?

同學(xué)們馬上對例1進(jìn)行重新解答：(此時學(xué)生解題的興趣根本就不用我怎么號召了,他們是真正地渴望解題方法和驗證自己發(fā)現(xiàn)的成果了).

學(xué)生9：老師,我解題結(jié)束,和學(xué)生3的結(jié)果一樣學(xué)生9的解題過程：設(shè)

師：同學(xué)9的解法正確,我們對比例1的兩種解法,第一種解法稍微繁瑣,容易出錯的地方較多,而第二種解法雖然在求待定系數(shù)時稍顯復(fù)雜,但操作起來顯得簡便、明朗,易化簡,只要正確求出A,B的值,把握裂項相消法的原則,就可以得出結(jié)果.

下面給出用裂項相消法求“差比型數(shù)列”的通式：

已知數(shù)列cn=an·bn,其中{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,設(shè)cn=anbn=(kn+b)b1qn-1=(kb1n+bb1)(其中k0,q是等比數(shù)列的公比),因為kb1n+bb1是關(guān)于n的一次式,于是設(shè)

例題強化：

例3(2013年高考山東理科第20題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,且(λ 為常數(shù)).令求數(shù)列{cn}的前n項和

解析：(過程略).(2)由題意知：

點評：此法利用等差數(shù)列{an}為關(guān)于n的一次多項式,可以運用待定系數(shù)法對通項式進(jìn)行變形和構(gòu)造,方法簡單,容易操作,很好的進(jìn)行了裂項相消法和錯位相減法之間的溝通,簡潔明了,只要在求系數(shù)A,B時仔細(xì)認(rèn)真一點,就可以熟練掌握此種方法求解.

學(xué)生11：原來用裂項相消法也能解決用錯位相減法求和的問題,真是太妙了,今后我就可以避免那些復(fù)雜繁瑣的計算了(此時響起熱烈的掌聲!)

運用和構(gòu)造裂項相消法解決“差比型數(shù)列”的求和問題,為學(xué)生開辟了一條新的求和途徑,拓寬了學(xué)生的解題思路.所以對于任意的“差比型數(shù)列”,都可以通過構(gòu)造和待定系數(shù)法把它轉(zhuǎn)化為裂項相消的方式解決,充分利用函數(shù)的思想方法來處理數(shù)列問題,此解法過程簡便,思路清晰,大大減少了運算步驟和出錯率,同時也給教師在教學(xué)中提供了新的教學(xué)思路,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題和方法的形式多樣化和邏輯嚴(yán)密性,對培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)很有幫助.

本堂課本來是抱著和學(xué)生一起用討論的方式進(jìn)行,從學(xué)生的反應(yīng)沒有想到收到如此良好的效果.從平時用錯位相減法求“差比型數(shù)列”前n項和升華到用裂項相消法來處理.整堂課師生各自有自己的任務(wù),而又不失默契的配合,與學(xué)生一起玩轉(zhuǎn)求“差比型數(shù)列”的方法.回味起來,感悟到其實教學(xué)活動不應(yīng)完全根據(jù)老師的預(yù)設(shè)按部就班地進(jìn)行,而應(yīng)充分發(fā)揮師生雙方的積極性,圍繞教學(xué)內(nèi)容開展教與學(xué)的活動.在新課程的理念下,課堂教學(xué)中學(xué)生有巨大的潛能,他們有自己的思考、見解,有時會脫離教師的預(yù)定軌道,與預(yù)設(shè)產(chǎn)生偏差,只要合理地加以開發(fā)和利用,往往能對問題的探索起到推波助瀾的作用,創(chuàng)造無法預(yù)設(shè)的精彩.