山東省濱州市濱城區(qū)第六中學(xué)(256600) 王桂濱

基本學(xué)情 積極引導(dǎo)—例談“多邊形內(nèi)角和”的教學(xué)

山東省濱州市濱城區(qū)第六中學(xué)(256600) 王桂濱

1 引言

目前,我國(guó)有關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的理論研究與教學(xué)實(shí)踐都比較薄弱,數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵一直難以界定,至今尚未對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的含義達(dá)成共識(shí).多年來(lái),一些專(zhuān)家學(xué)者撰文發(fā)表自己的看法,探究數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的確切含義,主要的觀點(diǎn)有以下幾種：

1.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)知識(shí)的一部分.“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)屬于學(xué)生的主觀性數(shù)學(xué)知識(shí)的范疇”[1],數(shù)學(xué)知識(shí)不僅包括數(shù)學(xué)事實(shí),也包括數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是一種認(rèn)識(shí),特別是感性認(rèn)識(shí).個(gè)體的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是對(duì)自己以往經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)在認(rèn)知方面的自覺(jué)或不自覺(jué)的感性概括,是一種感性認(rèn)識(shí)[2].也有的認(rèn)為,數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在數(shù)學(xué)目標(biāo)指引下,通過(guò)對(duì)具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考,從感性向理性飛躍時(shí)所形成的認(rèn)識(shí)[3].

3.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是體驗(yàn),是經(jīng)歷.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)之后所留下的直接感受、體驗(yàn)和感悟.這些具有個(gè)體特色的內(nèi)容,既可以是感覺(jué)知覺(jué)的,也可以是經(jīng)過(guò)反省之后形成的經(jīng)驗(yàn)[4].

4.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)既是知識(shí),也是過(guò)程.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)分為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)層面.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)介于緘默知識(shí)和顯性知識(shí)之間,從靜態(tài)上看是知識(shí),是學(xué)生對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程產(chǎn)生的認(rèn)識(shí),包括體驗(yàn)和感悟等;從動(dòng)態(tài)上看是過(guò)程,是經(jīng)歷[5].

5.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是組合體的整體概念.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)習(xí)者在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中所形成的感性知識(shí)、情緒體驗(yàn)和應(yīng)用意識(shí).感性知識(shí)是指具有學(xué)生個(gè)人意義的過(guò)程性知識(shí);情緒體驗(yàn)是指對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲、在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得的成功體驗(yàn)、對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性與數(shù)學(xué)結(jié)果確定性的感受以及對(duì)數(shù)學(xué)美的感受與欣賞等;應(yīng)用意識(shí)包括“數(shù)學(xué)有用”的信念、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的信心、從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題與思考問(wèn)題的意識(shí)以及拓展數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用領(lǐng)域的創(chuàng)新意識(shí).[6]也有的認(rèn)為,數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生從經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中獲得的感受、體驗(yàn)、領(lǐng)悟以及由此獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、情感與觀念等內(nèi)容組成的有機(jī)組合性經(jīng)驗(yàn)[7].

2 問(wèn)題的提出

我國(guó)于2011年修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程目標(biāo)中明確提出“四基”,即使學(xué)生“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)”.在傳統(tǒng)的“雙基”基礎(chǔ)上增加了數(shù)學(xué)的基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).現(xiàn)以人教版《義務(wù)教育教科書(shū)—數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)11章第三節(jié)“多邊形的內(nèi)角和”教學(xué)為例,談一談具體的做法和實(shí)踐心得.

3 “多邊形內(nèi)角和”內(nèi)容解析

3.1 地位及作用

2011年修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)多邊形內(nèi)角和的教學(xué)要求“探索并掌握多邊形內(nèi)角與外角和公式”,從課標(biāo)可以看出,對(duì)于多邊形的內(nèi)角和和外角和強(qiáng)調(diào)了知識(shí)的發(fā)展過(guò)程,這就要求教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)創(chuàng)造有利于學(xué)生探索的教學(xué)情境.

3.2 多邊形內(nèi)角和與外角和的教學(xué)分析

本節(jié)課是人教版義務(wù)教育教材數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第11章11.3.2第一課時(shí),是在探究了三角形的內(nèi)角和與外角和,并學(xué)習(xí)了多邊形的有關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,已初步具備對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行論證的邏輯推理能力,這節(jié)課需要學(xué)生在已有的知識(shí)、生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上來(lái)學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識(shí).

4 學(xué)習(xí)過(guò)程

4.1 問(wèn)題情景

(1)三角形的內(nèi)角和是多少?

設(shè)計(jì)說(shuō)明：本節(jié)課對(duì)于多邊形的內(nèi)角和,主要是借助三角形的內(nèi)角和求解.

(2)三角形的內(nèi)角和定理是如何證明的?

設(shè)計(jì)說(shuō)明：多邊形的內(nèi)角和定理與三角形內(nèi)角和定理的證明思想方法是一致的.

生1：過(guò)頂點(diǎn)A作EF//BC

圖1

因?yàn)镋F//BC,所以∠FAC= ∠C,∠EAB= ∠B;因?yàn)椤螰AC+∠EAB+∠BAC=180°,所以∠B+∠C+∠BAC=180°.

生2：在邊BC上任取一點(diǎn)D(異于B,C)作DE//AB,DF//AC

圖2

因?yàn)?DE//AB,所以 ∠B= ∠EDC,∠C= ∠FDB;因?yàn)镈E//AB所以∠A= ∠DEC;因?yàn)镈F//AC,所以∠FDE= ∠DEC;又因?yàn)?∠FDE+∠FDB+∠EDC=180°,所以 ∠A+∠B+∠C=180°.

生3：在 △ABC內(nèi)部任取一點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作MN//AB,EF//AC,HG//BC

圖3

因?yàn)?MN//AB,HG//BC,所以 ∠B= ∠MNC=∠MDG;同理 ∠A= ∠DFH,∠C= ∠FEB= ∠MDG而∠FDH+∠FDM+∠MDG=180°所以∠A+∠B+∠C=180°.

生4：在 △ABC外部任取一點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作MN//BC,EF//AC,HG//AB

圖4

因?yàn)?EF//AC,HG//AB,所以 ∠A= ∠CHP=∠EDH 同理 ∠B= ∠HPC= ∠HDN,∠C= ∠E=∠FDN 而 ∠FDN+ ∠NDH+ ∠HDE=180°,所以∠A+∠B+∠C=180°.

師：通過(guò)以上四位同學(xué)的回答,我們可以總結(jié)為分別過(guò)三角形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)部和外部作平行線(xiàn),構(gòu)造平角的辦法證明了三角形的內(nèi)角和定理.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：四位學(xué)生的回答回顧了以前學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理的證明方法,為本節(jié)課多邊形內(nèi)角和定理的證明做鋪墊,也就是積累了解決多邊形相關(guān)問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

4.2 多邊形的內(nèi)角和

(1)我們小學(xué)學(xué)過(guò)哪些多邊形?它們的內(nèi)角和是多少?生1：學(xué)過(guò)正方形、長(zhǎng)方形,因?yàn)樗鼈兊拿恳粋€(gè)內(nèi)角均為90°,所以它們的內(nèi)角和均為360°.

(2)是否所有的四邊形的內(nèi)角和均為360°?

設(shè)計(jì)說(shuō)明：因?yàn)樾W(xué)學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形、正方形的內(nèi)角和為360°,猜想一般四邊形內(nèi)角和的度數(shù),向?qū)W生滲透由具體到抽象,由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

師：我們將我們的這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化呢?轉(zhuǎn)化為我們已知的問(wèn)題呢?

生：可以轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題.

師：那么如何轉(zhuǎn)化呢?

生1：可以連接四邊形的對(duì)角線(xiàn),例如四邊形ABCD,連接AC

圖5

將四邊形分割為兩個(gè)三角形,因?yàn)槊恳粋€(gè)三角形的內(nèi)角和為180°,所以四邊形的內(nèi)角和為360°.

生2： 還可以在四邊形內(nèi)部取一點(diǎn)E然后連接EA,EB,EC,ED

圖6

四邊形被分解為4個(gè)三角形,所以?xún)?nèi)角和為720°,又因?yàn)橹虚g多了一個(gè)周角,所以四邊形的內(nèi)角和還是360°.

生3：還可以在邊BC任取一點(diǎn)E,然后連接EA,ED

四邊形被分解為三個(gè)三角形,所以?xún)?nèi)角和為540°,邊BC上多了一個(gè)平角,所以四邊形的內(nèi)角和是360°.

生4：還可以在四邊形的外部任取一點(diǎn)E,連接EA,EB,EC,ED

圖8

四邊形的內(nèi)角和等于△ABE,△ADE,△DCE的內(nèi)角和再減去△BCE的內(nèi)角和,所以四邊形的內(nèi)角和為360°.

師：四位同學(xué)的回答很精彩,我們可以發(fā)現(xiàn)四位同學(xué)的思路與前面證明三角形內(nèi)角和的思維方法是一致的,同學(xué)們,我們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)過(guò)程中,學(xué)會(huì)將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題.

分析：由于在先前的學(xué)習(xí)過(guò)程中,積累了證明內(nèi)角和定理的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

師：請(qǐng)同學(xué)們選擇自己喜歡的方法來(lái)探索五邊形,六邊形,七邊形并將探索的結(jié)果填入下表

__邊數(shù)3 4 5 6 7···_______n_內(nèi)角和180°360°540°720°900°···___(n-2)180°

(學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)、探究順利完成了以上表格)

4.3 多邊形的外角和

(1)正方形、長(zhǎng)方形的外角和是多少度?

設(shè)計(jì)說(shuō)明：對(duì)于長(zhǎng)方形、正方形學(xué)生能夠很快算出它們的外角和,向?qū)W生滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

師：是否任意一個(gè)四邊形的外角和都是360°?

(學(xué)生們思考)

生1：

圖9

因?yàn)?∠NAB+ ∠BAD=180°,∠EBC+ ∠ABC=180°,∠DCF+ ∠BCD=180°,∠ADC+ ∠ADM=180°

而四邊形的內(nèi)角和為∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°所以四邊形的外角和為360°

生2：

圖10

過(guò)點(diǎn)C作CH//AD交AB于H點(diǎn),CE//AB顯然可以得到 ∠NAB= ∠AHC= ∠HCE,∠HBC=∠ECF,∠ADM= ∠HCD而∠DCH+∠HCE+∠ECF+∠DCF=360°所以四邊形的外角和為360°.

圖11

生3：過(guò)點(diǎn)P作PO//AB,PH//CD,PM//AD容易得到 ∠QAB= ∠AEP= ∠EPI,∠CBE= ∠CPI,∠DCF=∠HPC,∠NDA=∠AHZ=∠EPH.

同生2,可以得到四邊形的外角和為360°.

圖12

生4：也可以在四邊形內(nèi)部任取一點(diǎn)P,作XY//AD,EF//BC,KL//CD,GH//AB同樣可以得出四邊形的外角和為 360°.

圖13

生5：也可以在四邊形外部任取一點(diǎn)P,作XY//AB,PQ//AD,ST//CD同樣可以得出四邊形的外角和為360°.

師：以上五位同學(xué)的回答實(shí)在是太精彩了,五位同學(xué)從不同的思路出發(fā),得到了相同的結(jié)果,真可謂是“條條大路通羅馬”.

師：請(qǐng)同學(xué)們選擇自己喜歡的方法來(lái)探索五邊形,六邊形,七邊形并將探索的結(jié)果填入下表

__邊數(shù)3 4 5 6 7···____n_外角和360°360°360°360°360°···___360°

(學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)、探究順利完成了以上表格)

以上的各類(lèi)證明方法充分彰顯出學(xué)生個(gè)性化的思維,學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的能力,即立足于一般的解法,又有基于學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

5 教學(xué)導(dǎo)向

5.1 深挖教材

學(xué)生的學(xué)習(xí)是人類(lèi)發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程.教材是經(jīng)過(guò)教學(xué)法加工了的素材,加之教學(xué)進(jìn)度的要求,或多或少會(huì)影響學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.經(jīng)過(guò)反復(fù)審查形成的教學(xué)素材,形成了教學(xué)的基本概念、基本理論;因此教師在平時(shí)的教學(xué)時(shí),我們要充分的利用教學(xué)素材,挖掘教材;知識(shí)的挖掘往往是一個(gè)永無(wú)止境的過(guò)程,學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力是有差異的,因此我們?cè)谕诰蚪滩臅r(shí),要著重考慮課標(biāo)要求,進(jìn)行科學(xué)合理有發(fā)散的變式,避免通過(guò)“題海戰(zhàn)術(shù)”增加學(xué)生負(fù)擔(dān).縱觀當(dāng)前的許多中考試題,往往都源于教材,因此我們應(yīng)該深挖教材,利用好教材.

5.2 關(guān)注數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得

過(guò)去數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的是雙基：“基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能”.從53年提出,到56年寫(xiě)出之后,一直成為中國(guó)數(shù)學(xué)教育的核心.基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能功不可沒(méi),使得中國(guó)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育在世界是影響很大,許多數(shù)學(xué)課堂講的基本上是邏輯,是論證,是定理的證明過(guò)程,而不是發(fā)明定理的過(guò)程,也不是發(fā)現(xiàn)定理證法的過(guò)程.這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力是十分不利的.我們最新的課程標(biāo)準(zhǔn)加了兩個(gè),一個(gè)是基本思想,另一個(gè)是基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).成為四基.幫助學(xué)生思考經(jīng)驗(yàn)積累,問(wèn)題提出的經(jīng)驗(yàn)的積累,創(chuàng)新性活動(dòng)的積累.這樣的話(huà),才能使得我們國(guó)家成為創(chuàng)新國(guó)格的未來(lái),創(chuàng)新國(guó)家.因此在平時(shí)的教學(xué)中,一方面要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想方法的學(xué)習(xí),另一方面要通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)啟智學(xué)生,讓學(xué)生正真參與到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之中,享受數(shù)學(xué).

[1]黃翔,童莉.獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)關(guān)注的目標(biāo)[J].課程?教材?教法,2008(1)：40-43.

[2]馬復(fù).論數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),1996(11)：22-25.

[3]張奠宙,竺仕芬,林永偉.“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的界定與分類(lèi)[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2008(5)：4-7.

[4]孔凡哲.基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的含義、成分與課程教學(xué)價(jià)值[J].課程?教材?教法,2009(3)：33-38.

[5]單肖天,景敏.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)及其對(duì)教學(xué)的影響[J].課程?教材?教法,2008(5)：41-44.

[6]王新民,王富英,王亞雄.數(shù)學(xué)“四基”中“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的認(rèn)識(shí)與思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2008(3)：17-20.

[7]仲秀英.學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵探究[J].課程?教材?教法,2010(10)：52-56.

[8]史寧中,柳海民.素質(zhì)教育的根本目的與實(shí)施路徑[J].教育研究,2007(8)：13.

[9]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論?圖形與圖形關(guān)系的抽象[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社,2009：224-225.

[10]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)[M].北京：人民教育出版社,2008.

[11]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)教師用書(shū)[M].北京：人民教育出版社,2008.