廣東省中山市坦洲實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528467) 高艷玲

借題發(fā)揮促進(jìn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

廣東省中山市坦洲實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528467) 高艷玲

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本任務(wù).為了幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),教師必須要解決好三個(gè)問題：一是如何選擇最優(yōu)問題,使每個(gè)題目具有典型性、代表性和示范性,避免題海戰(zhàn)術(shù);二是如何借題發(fā)揮,使問題解決達(dá)到“解一題通一類,做一題知一法”的舉一反三效果;三是如何最大限度地挖掘題目蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、解題規(guī)律,達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的目的.其中,最關(guān)鍵最核心的問題是借題發(fā)揮,促進(jìn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者結(jié)合個(gè)人多年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),嘗試從以下四個(gè)方面來談一談如何借題發(fā)揮促進(jìn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、多角度串聯(lián)問題,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的比較好的方法是引導(dǎo)學(xué)生尋找題目與題目之間規(guī)律的同一性、思維的相似性、方法的關(guān)聯(lián)性.因此,教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要有意識地將類似問題串聯(lián).串聯(lián)可以是縱向梯度串聯(lián),即同一知識點(diǎn)的層層深化;也可以是橫向平行串聯(lián),即同一知識點(diǎn)的角度變化.教學(xué)實(shí)踐中只有善于從雜亂無章的題目中,概括出一般規(guī)律和方法,學(xué)生才在經(jīng)驗(yàn)遷移和觸類旁通中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象.

案例一：如圖1,△ABD和△AEC分別是以△ABC的邊AB和AC為邊長的等邊三角形,求證：BE=DC.

圖1

圖2

變式一：如圖2,點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn),分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊△OAB和等邊△OCD,連結(jié)AC和BD,相交于點(diǎn)E,連結(jié)BC．求∠AEB的大小;

變式二： 如圖3,若將上述條件中的三角形改為四邊形ABCD和四邊形DGFE分別是以△CDE的邊CD和DE為邊長的正方形,求證：AE=GC.

圖3

兩道變式題,雖然呈現(xiàn)形式和幾何背景發(fā)生了變化,但是問題的實(shí)質(zhì)卻沒有發(fā)生變化,仍然是利用正多邊形提供的邊、角相等條件導(dǎo)致三角形全等.這樣設(shè)置問題便于讓學(xué)生透過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì),有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類對比,多題歸一,找到解決同一類題的規(guī)律和方法,從而達(dá)到舉一反三實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的目的.

二、多層次激活“母題”,發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)

數(shù)學(xué)“母題”具有代表性、典型性、示范性、統(tǒng)領(lǐng)性,能夠體現(xiàn)出數(shù)學(xué)基本方法和規(guī)律,如果把一類題比喻成一顆大樹,那么母題就是樹根,千枝萬葉源于樹根,所以引導(dǎo)學(xué)生抓住了“母題”,也就抓住了問題的關(guān)鍵,可以達(dá)到一題多用、觸類旁通、事半功倍之效,而且能有效地幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng).

案例二：如圖4,圓內(nèi)接△ABC中,AB=BC=CA,OD、OE為⊙O的半徑,OD⊥BC于點(diǎn)F,OE⊥AC于點(diǎn)G,求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的三分之一.

圖4

圖5

變式一：如圖5,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,OE、OF為⊙O的半徑,OE⊥BC于點(diǎn)G,OF⊥CD于點(diǎn)H.求證：四邊形OHCG的面積是正方形ABCD的面積的四分之一.

圖6

變式二：如圖6,正五邊形ABCDI內(nèi)接于⊙O,OE、OF為⊙O的半徑,OE⊥CD于點(diǎn) G,OF⊥ID于點(diǎn)H.求證：四邊形OHDG的面積是正五邊形ABCDI的面積的五分之一.

……

變式三：如果是正n邊形A1A2···An內(nèi)接于⊙O,情況又如何?

處理好一些特殊幾何圖形的數(shù)量關(guān)系的“母版”,其他圖形就是它的變式.對于母題及其變式問題的解決與比較的過程,就是發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的過程.教學(xué)實(shí)踐中要緊扣教材,夯實(shí)基礎(chǔ),同時(shí)對典型問題進(jìn)行變式引導(dǎo),做到以不變應(yīng)萬變,提升遷移能力,發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

三、探索圖形規(guī)律,發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

幾何圖形進(jìn)行圖形變換,往往呈現(xiàn)一定的規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生探索圖形變換蘊(yùn)含的規(guī)律,不僅有助于學(xué)生對幾何圖形的認(rèn)識,對幾何圖形性質(zhì)的認(rèn)知,對幾何圖形變換的感知,對幾何圖形中相關(guān)元素關(guān)系的感悟,對幾何圖形整體的想象,而且有助于學(xué)生通過規(guī)律探索的過程發(fā)展直觀想象的素養(yǎng).

圖7

圖8

圖9

案例三：如圖7,設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形,以對角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF,再以對角線AE為邊作第三個(gè)正方形AEGH,如此下去……

(1)記正方形ABCD的邊長為a1=1,按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2,a3,···,an,請求出a2,a3,a4的值;

(2)根據(jù)以上規(guī)律寫出an的表達(dá)式.

變式一：如圖8,已知等邊△OAB的邊長為a,以AB邊上的高OA1為邊,按逆時(shí)針方向作等邊△OA1B1,A1B1與OB相交于點(diǎn)A2.

(1)求線段OA2的長;

(2)若再以O(shè)A2為邊按逆時(shí)針方向作等邊△OA2B2,A2B2與OB1相交于點(diǎn)A3,按此作法進(jìn)行下去,得到△OA3B3,△OA4B4,···,△OAnBn.求 △OA6B6的周長.

變式二：如圖9所示,在矩形ABCD中,AB=12,AC=20,兩條對角線相交于點(diǎn)O.以O(shè)B、OC為鄰邊作第1個(gè)平行四邊形OBB1C,對角線相交于點(diǎn)A1,再以A1B1、A1C為鄰邊作第2個(gè)平行四邊形A1B1C1C,對角線相交于點(diǎn)O1;再以O(shè)1B1、O1C1為鄰邊作第3個(gè)平行四邊形O1B1B2C1···依次類推.

(1)求矩形ABCD的面積;

(2)求第1個(gè)平行四邊形OBB1C、第2個(gè)平行四邊形A1B1C1C和第6個(gè)平行四邊形的面積.

這組題圖形呈現(xiàn)方式比較新穎,幾何背景雖然比較復(fù)雜,但學(xué)生只要通過研究圖形的產(chǎn)生過程,就不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律：正多邊型及特殊四邊形中相關(guān)線段與邊長之間的關(guān)系.屬于同一題型的多種變化,但是萬變不離其宗.教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些變化,并能發(fā)現(xiàn)解決此類問題的一般方法,從而發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

四、深層次挖掘考題,全面發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí),既要提倡以求同思維為基礎(chǔ)的“通法”,又要注重以求異思維為突破的“優(yōu)法”.“通法”可以至熟,“優(yōu)法”可以生巧.過份強(qiáng)調(diào)“通法”,會導(dǎo)致學(xué)生解題思維的僵化,不利于思維的靈活性的培養(yǎng).故解題時(shí)要在“通法”的基礎(chǔ)上加強(qiáng)“優(yōu)法”的引導(dǎo),通過一題多解,讓學(xué)生“學(xué)有所悟”.從中比較孰繁孰簡,孰優(yōu)孰劣,久而久之,能夠精益求精,突破常規(guī).這類探索活動,有利于學(xué)生全面發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).案例四：已知：AB是⊙O的弦,半徑OC,OD分別交AB于點(diǎn)E,F,且AE=BF,證明：OE=OF.

證法一：連結(jié)OA,OB然后證明△AOE～=△BOF(證法略)

圖10

以上三種證明方法,利用了垂徑定理、全等、相交弦定理等多方面的知識,學(xué)生通過不同的方法在同一問題情境中正確應(yīng)用,加深了對基礎(chǔ)知識的理解,發(fā)展了學(xué)生多維度、多層次、多角度地分析解決問題的能力,增強(qiáng)了學(xué)生思考問題的廣度、深度和精度,培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性和開放性,有利于學(xué)生全面發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

總之,通過“借題發(fā)揮”可以大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率,促進(jìn)學(xué)生基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[1]任勇：你能成為最好的數(shù)學(xué)教師[M]上海：華東師范大學(xué)出版社,2010.11

[2]顧明遠(yuǎn)：把學(xué)習(xí)的選擇權(quán)還給學(xué)生[J]．河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(教育科學(xué)版),2012,(1)：5-7