天津職業(yè)技術師范大學(300222) 閆曉玲

圓方之間—橢圓與長方形

天津職業(yè)技術師范大學(300222) 閆曉玲

給出了橢圓的一種描點作圖方法,并證明了橢圓上任一點與軸的兩端點的連線及連線的延長線截軸和外切長方形邊所得的對應線段比等于對應的兩軸比.特殊情況下截點是各自線段上相同等分的對應分點.

橢圓 長方形n等分 對應分點 定比分點

我們知道橢圓是有邊界的,分別以橢圓的長軸、短軸為長、寬的長方形就是它的范圍.即對橢圓而言,它上任一點(x,y)的坐標滿足|x|≤a,|y|≤b.并且我們利用這個長方形可以大致畫出橢圓的草圖.事實上這個橢圓草圖可以畫得更規(guī)范點.

一、由已知長方形描繪其內接橢圓的草圖

已知長方形ABCD,長、寬分別為 2a、2b,E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的中點,連接EG、HF,兩線交于點O,如圖1所示.將OF四等分,分點記為R、S、T;將CF四等分,分點記為R′、S′、T′.連接ER并延長、連接GR′,兩線交于點L;連接ES、GS′,得交點M;連結ET、GT′,得交點N.用弧線順次連結G、L、M、N、F,得到的橢圓,如圖1.

圖1

圖2

圖3

可以預期,隨著等分點的增多,構成橢圓的點也在增多,畫出的橢圓越精確.論證如下.

二、做法的依據(jù)

命題1長方形一組對邊的中點與另一組對邊中點連線的一半及另一組對邊的一半的對應n等分點的連線的交點,在以長方形長、寬為長、短軸的橢圓上.

證明已知長方形ABCD,長、寬分別為2a、2b,建立如圖4所示的直角坐標系.將OF、CF分別n等分,記OF的第m個分點為S,CF的第m個分點為S′.連接ES并延長,連接GS′,兩線交于點M.則由四點的坐標得直線ES和GS′的方程分別為

圖4

聯(lián)立以上兩個方程,解之得

因此,長方形一組對邊的中點(如E、G)與另一組對邊中點連線的一半(如OF)及另一組對邊的一半(如CF)的對應n等分點 (如S、S′)的連線如 (ES、GS′)的交點 (如M),在以長方形長、寬為長、短軸的橢圓

以上從長方形出發(fā),采用將相關線段等分的方法得到橢圓上的若干個點,這些點形成橢圓的輪廓;但是,這種方法是否可以得到橢圓上所有的點,或者說由橢圓上的任意一點出發(fā),采用上述方法的逆過程是否可以在長方形相應線段上還原出相應的等分點?以下對這個問題做稍微深入的討論.

三、位于橢圓上的點的一種刻畫

命題2橢圓上任一點與某軸的兩端點的連線及連線的延長線,截軸和外切長方形的邊,所得對應線段之比等于對應兩軸之比.(如圖5所示,若L在橢圓上,則有.)

證明建立如圖5所示的直角坐標系.

圖5

橢圓的長軸HF=2a,短軸EG=2b,分別過E、F、G、H作坐標軸的平行線,四線交于B、C、D、A.則四邊形ABCD是長、寬分別為2a,2b的橢圓外切長方形.在橢圓上任取一點L,連接EL交OF于R,連接GL并延長交CF于R′.設直線ER的斜率為k,則它的方程為y=kx?b.聯(lián)立方程組

由此可見,利用將相關線段等分的方法得到的是橢圓上的部分點而非全部,因此,橢圓上任意點采用上述方法的逆過程在長方形相應線段上得到的點也不全是等分點.

按照從特殊到一般的認識規(guī)律,本文首先給出了在四等分的基礎上描點畫出橢圓的方法,然后把這種方法推廣到任意等分的情況,最后證明了橢圓上任一點與軸的兩端點連線及連線的延長線截軸和外切長方形的邊所得的對應線段之比等于對應的兩軸之比.

我們把上述論證敘述為:長方形ABCD內一點M(x,y),EM交OF于S,GM的延長線交CF于S′,若是定值,則點M的軌跡是一個橢圓(圖4).長方形的長是橢圓的長軸長,長方形的寬是橢圓的短軸長,長方形的中心即為橢圓的中心.

[1]劉紹學主編,普通高中課程標準實驗教科書,數(shù)學選修2-1[M],北京:人民教育出版社,2010.