廣東省東莞市第一中學(xué)(523000) 孫傳平

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用現(xiàn)難點(diǎn) 變式思維出奇招

廣東省東莞市第一中學(xué)(523000) 孫傳平

導(dǎo)數(shù)既是高考數(shù)學(xué)試題中的重點(diǎn),也是難點(diǎn),對(duì)以導(dǎo)數(shù)壓軸的高考試題的求解運(yùn)用常規(guī)思維往往顯得很笨拙,甚至無能為力.文章歸納總結(jié)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的幾種變式思維,對(duì)于突破難點(diǎn)、優(yōu)化思維、提升能力大有裨益.

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 變式思維

導(dǎo)數(shù)自編入高中數(shù)學(xué)課程以來,一直是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn),在歷年高考數(shù)學(xué)試題中不僅占有較大比重,而且常常以壓軸題的地位出現(xiàn),顯現(xiàn)出導(dǎo)數(shù)應(yīng)用難度加大的趨勢(shì)有增無減,導(dǎo)致對(duì)其求解運(yùn)用常規(guī)思維往往顯得很笨拙,甚至無能為力.為此,本文介紹導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的幾種變式思維,供大家參考.

變式思維1主動(dòng)討論法

例1 (2007年全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?e?x.

(1)略;

(2)若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范圍.

解(2)記g(x)=f(x)?ax,則g′(x)=ex+e?x?a.因?yàn)閑x+e?x≥2,所以

當(dāng)a≤2 時(shí),恒有g(shù)′(x)≥0(g′(x)不恒為零),這時(shí)函數(shù)g(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),于是g(x)≥g(0)=0,即恒有f(x)≥ax,符合題意;

綜上所述,a的取值范圍是(?∞,2].

點(diǎn)評(píng)第(2)問相當(dāng)于“若函數(shù)g(x)≥0恒成立,求a的取值范圍”.這種題型的常規(guī)思維,是通過解不等式[g(x)]min≥0,求得參數(shù)a的取值范圍.但是上述求解并沒有這樣做,而是根據(jù)ex+e?x≥2,主動(dòng)對(duì)參數(shù)a提出討論,得到a≤2符合題意,a＞2不符合題意.象這種根據(jù)導(dǎo)函數(shù)中的某種信息,主動(dòng)對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論,得到其取值范圍的思維方法,在此歸納為“主動(dòng)討論法”.

變式思維2多次求導(dǎo)法

例2 (2010年全國卷)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx?x+1.

(1)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范圍;

(2)證明:(x?1)f(x)≥0.

(1)的求解略;下面探討(2)的證明.

視角1 (x?1)f(x)＞0等價(jià)于(x?1)與f(x)同號(hào).

方法1 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).當(dāng)x=1時(shí),不等式顯然成立;當(dāng)x＞1時(shí),所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,于是f(x)＞f(1)=0,這時(shí)(x?1)f(x)＞0成立;當(dāng)0＜x＜1時(shí)所以函數(shù)f′(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,從而f′(x)＞f′(1)=1＞0.所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,故f(x)＜f(1)=0,這時(shí)(x?1)f(x)＞0成立.綜上所述成立.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)0＜x＜1時(shí),原本希望得到f(x)＜0,但由于f′(x)的符號(hào)難以確定,使求解遇到了麻煩,于是對(duì)f′(x)再次求導(dǎo),目的是想通過f′′(x)來研究 (f′′(x)為f′(x)的導(dǎo)函數(shù)).象這種對(duì)導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)的思維方法在此歸納為“多次求導(dǎo)法”.

視角2 記h(x)=(x?1)f(x),則問題等價(jià)于x＞0時(shí),

方法2 記

點(diǎn)評(píng)方法2關(guān)鍵在于摸清函數(shù)h(x)的單調(diào)性,但由于h′(x)與h′′(x)的符號(hào)都難以確定,故需要3次求導(dǎo),借助h′′′(x)的信息逐步逆推(方法1與方法2思維起點(diǎn)低,思路清晰自然,不失為本題又一優(yōu)秀解法).

變式思維3部分求導(dǎo)法

例3(2011年全國文21題)已知函數(shù)曲線y=f(x)在x=1處的切線為x+2y?3=0.

(1)求a,b的值;

一般地,若一個(gè)函數(shù)(或?qū)Ш瘮?shù))可以表示成兩個(gè)因式的積,且其中一個(gè)因式的屬性已明,另一個(gè)因式的屬性未知,這時(shí)可將屬性未知的因式單獨(dú)揪出來求導(dǎo),以此來研究原函數(shù)的屬性.這種方法相當(dāng)于從函數(shù)(或?qū)Ш瘮?shù))中分離出一部分來求導(dǎo),在此將其歸納為“部分求導(dǎo)法”.

例4 (2013年遼寧理21)已知函數(shù)f(x)=(1+x)e?2x,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),

(2)若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范圍.

解(2)由(1)知

當(dāng)a+3≤0時(shí),?xh(x)≥0,故f(x)?g(x)≥0,即f(x)≥g(x)恒成立;

當(dāng)a+3＞0時(shí),

綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?∞,?3].

點(diǎn)評(píng)第(2)問有一定的難度,這里綜合運(yùn)用了部分求導(dǎo)法(記h(x),u(x))、多次求導(dǎo)法(對(duì)h(x)2次求導(dǎo))、對(duì)a+3主動(dòng)討論等3種變式思維方法.

變式思維4以小撥大法

例5 已知函數(shù)其中e為自然常數(shù).

(1)討論f(x)的單調(diào)性與極值;

解(1)的求解略,下面先從兩個(gè)角度給出(2)的求解.

點(diǎn)評(píng)方法1是處理“f(x)＞g(x)”最常規(guī)、最基本的思維,本題運(yùn)用方法1頗有難度;倒是方法2,直接由不等式左邊函數(shù)的最小值大于右邊函數(shù)的最大值,輕輕松松獲解,令人驚喜!在此將方法2的思維歸納為“以小撥大法”.

一般地,證明f(x)＞g(x)恒成立,常規(guī)思維是證明h(x)=f(x)?g(x)＞0恒成立.當(dāng)常規(guī)思維受阻時(shí),不妨換個(gè)視角,試試[f(x)]min＞[g(x)]max.顯然當(dāng)[f(x)]min＞[g(x)]max時(shí),必有f(x)＞g(x)恒成立.

例6 (2014年新課標(biāo)I理21)設(shè)函數(shù)f(x)=aexlnx+曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為y=e(x?1)+2.

(1)求a,b;

(2)證明:f(x)＞1.

點(diǎn)評(píng)第(2)問雖然解法不唯一,但是其它解法的難度都比較大,一般同學(xué)難以做到.這種情況下,若能及時(shí)調(diào)整思維視角,運(yùn)用“以小撥大法”,則可使問題峰回路轉(zhuǎn)、柳暗花明(若將第(2)問轉(zhuǎn)化為后再運(yùn)用該法亦可).

以上6例通過變換思維視角,使問題簡(jiǎn)捷獲解,充分顯示了這些變式思維在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的威力.數(shù)學(xué)解題既有普遍規(guī)律,也有其特殊性.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題既要知曉其常規(guī)思維,又要知曉其變式思維,只有這樣,才能更有利于優(yōu)化我們的思維,提升我們的能力;才能使我們?cè)趯W(xué)習(xí)上立于不敗之地.

鏈接習(xí)題

1.(2014年陜西理21(2))設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f(x)≥ag(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2.(2010年新課標(biāo))設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2,若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍.

3.(2007年安徽)設(shè)a≥0,f(x)=x?1?ln2x+2alnx.求證:當(dāng)x＞1時(shí),f(x)＞0恒成立.

鏈接習(xí)題提示