河北省邯鄲市第一中學(056000) 馬進才

從一道“卡西尼卵形線”高考題看“數(shù)學文化”

河北省邯鄲市第一中學(056000) 馬進才

2016年10月8號,教育部考試中心公布了[2016]第179號文件《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》,特別提出要關注數(shù)學文化.數(shù)學文化體現(xiàn)了數(shù)學的人文價值和科學價值,在培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的教育中扮演著重要角色.在高考試題中滲透數(shù)學文化,可以適當引導中學數(shù)學教學,使得更多的教師關注數(shù)學文化,研究數(shù)學文化,將數(shù)學的本質教授給學生.學生通過數(shù)學文化的熏陶,可以促進對健全人格的養(yǎng)成.一方面,可以學到數(shù)學家不畏艱辛、不怕失敗的精神;另一方面,又能學到以退為進、逐步調整的方法和策略,形成能進能退的開闊胸襟.這正是一種文化的遷移,一種文化的教育.其實,幾乎每年的高考試題,無不充滿著濃濃的數(shù)學文化氣息!

1.引例

例1(2011年北京高考)曲線C是平面內與兩個定點F1(?1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a＞1)的點的軌跡.給出下列三個結論:

①曲線C過坐標原點;

②曲線C關于坐標原點對稱;

③若點P在曲線C上,則△F1PF2的面積不大于其中正確命題的序號為____.

2.背景展示

在數(shù)學史上,到兩個頂點(叫做焦點)的距離之積為常數(shù)的點的軌跡成為卡西尼卵形線(Cassini Oval),喬凡尼?多美尼科?卡西尼是一位意大利出生的法國籍天文學家和水利工程師,他是第一個發(fā)現(xiàn)土星的四個衛(wèi)星的人.1675年,他發(fā)現(xiàn)土星光環(huán)中間有條暗縫,這就后來以他名字命名的卡西尼環(huán)縫.他猜測,光環(huán)是由無數(shù)小顆粒構成,兩個多世紀后的分光觀測證實了他的猜測.為了紀念卡西尼對土星研究的貢獻,當代人類探測土星的探測器“卡西尼號”即以他的名字命名.卡西尼卵形線是1675年他在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的.

3.探究本源

設兩定點為F1,F2,且|F1F2|=2,動點P滿足|PF1||PF2|=a2(a≥0且為定值),取直線F1F2作為x軸,F1F2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,設P(x,y),則整理得:(x2+y2)2?2(x2?y2)=a2?1,解得:

于是曲線C的方程可化為

對于常數(shù)a≥0,可討論如下六種情況:

(1)當a=0時,圖像變?yōu)閮蓚€點F1(?1,0),F2(1,0);

(2)當0＜a＜1時,圖像分為兩支封閉曲線,隨著a的減小而分別向點F1,F2收縮;

(3)當a=1時,圖像成8字形自相交叉,稱為雙紐線;

北京高考題的背景即為4—6里研究的結論.

圖1

4.真題在現(xiàn)

例2(2009年湖南高考)在平面直角坐標系xOy中,點P到點F(3,0)的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d,當P點運動時,d恒等于點P的橫坐標與18之和

(I)求點P的軌跡C;

(II)設過點F的直線I與軌跡C相交于M,N兩點,求線段MN長度的最大值.

由題設當x＞2時,由①得

解(I)設點P的坐標為(x,y),則

圖2

圖3

(II)如圖3所示,易知直線x=2與C1,C2的交點都是直線AF,BF的斜率分別為當點P在C1上時,由②知

當點P在C2上時,由③知

若直線l的斜率k存在,則直線l的方程為y=k(x?3).

5.問題思索

學有余力的同學可作進一步思考:

思考1若將“兩定點”之一變?yōu)椤岸ㄖ本€”,那么距離之比為定值的動點軌跡是什么?

思考2若將“兩定點”之一變?yōu)椤岸ㄖ本€”,那么距離之和為定值的動點軌跡是什么?

思考3到定點的距離與到定直線的距離的k倍之和為定值的定點軌跡是什么?

思考4到定點的距離與到定直線的距離之差(的絕對值)為定值的定點軌跡是什么?

思考5到定點的距離與到定直線的距離之積為定值的定點軌跡是什么?

6.對數(shù)學文化的再認知

6.1 考綱增加對數(shù)學文化考查的意義

(1)增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內容,積極培育和踐行社會主義核心價值觀,充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導向作用.

(2)能力要求:經(jīng)命題專家精細加工,再滲透現(xiàn)代數(shù)學思想和方法;在內涵方面,增加了基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性的要求.

6.2 人教版A版教材中的中國古代數(shù)學文化(部分)

人教版A版必修2第一章第三節(jié)結尾介紹了祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積,通過閱讀此文可以了解我國古人卓越的數(shù)學智慧,增強民族自信心和自豪感.在感嘆古人智慧的同時,也給自己樹立良好地榜樣,激勵自己向前人學習.

人教版A版必修3末的閱讀與思考介紹了割圓術.263年左右,我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內接正邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓面積,即所謂“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”.劉徽采用了以直代曲、無限趨近、“內外夾逼”的思想,創(chuàng)立了“割圓術”.

人教版A版必修5第二節(jié)的閱讀與思考介紹了海倫與秦九韶.在解三角的問題中,一個比較困難的問題是如何由三角形的三邊a,b,c直接求出三角形的面積.據(jù)說這個問題最早是由古希臘數(shù)學家阿基米德解決的,他得到了公式

但現(xiàn)在人們常常以古希臘的數(shù)學家海倫命名這個公式,稱此公式為海倫公式.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶也發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價的從三角形三邊求面積的公式,他把這種方法稱為“三斜求積”.

秦九韶獨立推出了“三斜求積”公式,它雖然與海倫公式形式上不一樣,但兩者完全等價,它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白,從中可以充分說明我國古代已具有很高的數(shù)學水平.

6.3 高考試題中以數(shù)學文化為背景的試題

分析一:古代數(shù)學書籍《九章算術》、《數(shù)書九章》等為背景

近年來在全國高考數(shù)學試題中,從《九章算術》中選取與當今高中數(shù)學教學相映的題材背景.

(1)2015年高考全國卷I,此題源于《九章算術》卷第五《商功》之[二五],將古代文化“依垣”和現(xiàn)代教育元素“圓錐”結合.

(2)2015年高考全國卷II,此題源于《九章算術》卷第一《方田》之[六]:“又有九十一分之四十九.問約之得幾何?”“可半者半之,不可半者,副置分母、子之數(shù),以少減多,更相減損,求其等也.以等數(shù)約之”,后人稱之為“更相減損術”.

(3)2015年高考湖北卷,此題背景源于《九章算術》卷第五《商功》之[一五].今有陽馬,廣五尺,袤七尺,高八尺.問積幾何;之[一六]今有鱉臑,下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣,高七尺.問積幾何.考題將“陽馬”,“鱉臑”相結合,以《選修2－1》P109例4為源進行有機整合.巧妙嫁接,精典設問,和諧優(yōu)美的考題呼之即出.

分析二:課后閱讀或課后習題如阿波羅尼圓為背景

從2005-2013年多次涉及考題,全國卷2011年16題以此為命題背景的其他省市:江蘇:2008年13題、2013年17題.2009-2013年湖北高考連續(xù)出現(xiàn)等等.

7.教學中的建議

7.1 在知識引入部分注重體現(xiàn)數(shù)學文化.

知識的引入部分是體現(xiàn)數(shù)學文化的一個重要途徑,我們可以從多方面來體現(xiàn)數(shù)學文化,如:數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展的背景,數(shù)學知識的應用、數(shù)學知識與社會發(fā)展的關系,與此知識相關的趣聞軼事,數(shù)學家的故事、精神,以及含有此知識的自然資源、人文遺產(chǎn)等.

7.2 在解題的過程中滲透數(shù)學文化,尤其是歷史上的數(shù)學名題.

數(shù)學名題和數(shù)學猜想是無數(shù)先賢細致思考和用心鉆研的結晶,它們無不很好的促進了數(shù)學的不斷前進.歷史上許多數(shù)學名題不僅能展現(xiàn)出其所在的歷史背景,且都展現(xiàn)著某些重要的思想方法和獨特的數(shù)學魅力.例如古希臘三大幾何問題、哥尼斯堡七橋問題、哥德巴赫猜想等.

7.3 在課堂小結中注重體現(xiàn)數(shù)學文化.

課堂小結不僅僅是對知識點的總結,更重要的是對數(shù)學思想方法的總結,對數(shù)學應用價值的總結.在課外閱讀中注重體現(xiàn)數(shù)學文化.教材的拓展性欄目提供了豐富的數(shù)學文化素材,教師應該引導學生閱讀、思考、操作,并注意從中引導、總結數(shù)學家的探索精神、理性精神、求實精神等數(shù)學精神,以及數(shù)學與社會發(fā)展、生活實際的聯(lián)系等.

8.結語

數(shù)學作為一種文化,體現(xiàn)在數(shù)學的方方面面.教材相重視數(shù)學文化,幾乎教材的每一部分都含有數(shù)學文化的內容,我們教師應該主動去發(fā)掘開發(fā)這些內容,并將數(shù)學文化與教學實踐有機地結合起來,使數(shù)學文化貫穿到教學實踐的全過程,而不僅僅是作為課堂教學的附加物.

[1]梅磊,史嘉.例談數(shù)學文化融入高考試題的意義和途徑(J).中學數(shù)學教學參考,2015(1-2)(上).

[2]陳昂,任子朝.突出理性思維弘揚數(shù)學文化(J).考試招生制度改革研究,2015(3).

[3]郭玉紅.淺談以數(shù)學文化為背景的高考試題的命制(J).數(shù)學教學通訊,2015(18).