北京市順義牛欄山第一中學(xué)(101301) 張傳海 胡亞萍

對(duì)向量的數(shù)量積定義的思考

北京市順義牛欄山第一中學(xué)(101301) 張傳海 胡亞萍

平面向量的數(shù)量積是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的一個(gè)核心內(nèi)容,是學(xué)習(xí)空間向量知識(shí)的基礎(chǔ),能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題、推導(dǎo)其它的公式,這個(gè)知識(shí)還有很豐富的思想價(jià)值和方法價(jià)值;對(duì)于將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、高等物理學(xué)有重要的作用.本內(nèi)容是必修四第四章第四單元,教材安排兩小節(jié).第一小節(jié)2.4.1是《平面向量數(shù)量積的物理背景及其意義》,類比于物理學(xué)功的概念引入過來.在物理學(xué)上如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所做的功W=|F||s|cosθ(其中θ是F與s的夾角).類比功的概念,引入“數(shù)量積”的概念.

已知兩個(gè)非零向量a與b,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)記做a·b,即a·b=|a||b|cosθ,規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為零.并解釋了其幾何意義,介紹了運(yùn)算律.

第二小節(jié)2.4.2《平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、模、夾角》,在本節(jié)課的開頭的探討中提出:已知兩個(gè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎樣用a,b的坐標(biāo)表示a·b呢?

解答過程如下:因?yàn)閍·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2又因?yàn)閕·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,所以a·b=x1x2+y1y2于是乎由于a·b=|a||b|cosθ,a·b=x1x2+y1y2,所以|a||b|cosθ=x1x2+y1y2,然后就有了夾角公式

一切看似順理成章,盡善盡美,無懈可擊.記下來,背熟了能應(yīng)用,好像就可以了.因?yàn)榻滩囊簿瓦@樣,沒有更深入的解釋.

作為一個(gè)中學(xué)教師,在授課的過程中,以為這樣就足夠了,實(shí)際上留下了一個(gè)大的隱患.當(dāng)學(xué)生熟稔這個(gè)知識(shí)后,如果有心,細(xì)致觀察式子a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2,發(fā)現(xiàn)這個(gè)式子似乎蒙著一層厚厚的迷霧,感覺這個(gè)知識(shí)系統(tǒng)似乎并不牢靠,隨時(shí)可能會(huì)崩塌.下面我們來細(xì)致分析結(jié)論得出的過程.

a·b=x1x2+y1y2是運(yùn)用向量的運(yùn)算求出來的,a·b=|a||b|cosθ實(shí)實(shí)在在;卻是類比于物理知識(shí)引入過來,給人的感覺就如同是規(guī)定;并利用這個(gè)等式作為橋梁,得到|a||b|cosθ=x1x2+y1y2,再然后又是具體的向量運(yùn)算得到代入a·b=|a||b|cosθ再經(jīng)過變形得出夾角公式:

反觀這個(gè)過程,給人一種真真假假,虛虛實(shí)實(shí)的感覺,好像這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)支架存在巨大問題,這個(gè)知識(shí)的信度低,進(jìn)而產(chǎn)生抵觸.那么,問題的癥結(jié)在哪兒呢?容易發(fā)現(xiàn),問題集中在式子|a||b|cosθ=x1x2+y1y2的可靠性上,能否有一個(gè)直接的運(yùn)算來證明它呢?因此,必須要弄清楚這個(gè)問題.如何解釋這個(gè)問題呢?

圖1

在△OAB中,根據(jù)余弦定理有:

化簡恰好得到式子x1x2+y1y2.

難道是巧合嗎?向量的運(yùn)算里竟暗含著余弦定理.向量的知識(shí)是人們?cè)谏a(chǎn)生活的實(shí)踐中抽象出來,為了解決實(shí)際問題而定義的,并經(jīng)過了大量的事實(shí)證明是正確的.這背后的支撐居然是余弦定理,是不謀而合?還是人們引入數(shù)量積時(shí)遵循了余弦定理,并把它嵌入其中,成為向量知識(shí)的骨骼,支撐著這個(gè)知識(shí)系統(tǒng),是有意為之?數(shù)學(xué)知識(shí)真是太美妙了!這就是我這里要講的:向量的數(shù)量積背后的故事——余弦定理.