王恒昌

[摘 要] 蘇州市平江中學校數學組在“以生為本、精講精練、注重思維、發(fā)展?jié)撃堋钡恼n改理念下，依據數學學科“工具品格”和“文化品格”的特點，認真開展數學史與數學教育的融合研究，逐步形成了“思練結合，學教融評”課堂范式.

[關鍵詞] HPM；課堂文化；課堂教學范式

數學是人類文明的一個重要組成部分，是幾千年來人類智慧的結晶. 著名數學家華羅庚精辟地敘述了“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各方面，無處不有數學的貢獻”的觀點. 而以落實數學課程目標為己任的數學教育，應幫助學生了解數學的歷史、應用和發(fā)展趨勢，了解數學在人類文明發(fā)展的作用，特別是在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面，具有不可替代的作用，能使學生逐步形成正確的數學觀. 因而，把數學史融入數學教育之中顯得尤為重要.

筆者所在學校數學組在“以生為本、精講精練、注重思維、發(fā)展?jié)撃堋钡恼n改理念下，依據數學學科“工具品格”和“文化品格”的特點，認真開展數學史與數學教育的融合研究，逐步形成了“思練結合，學教融評”的課堂范式，其基本結構為：回看入境——探究生成——拓展提升——學情評價. 下面從“HPM”視角對筆者所在學校數學學科課改范式進行闡釋，進一步揭示數學史對豐富數學教育內涵的重要意義，以期使教師能夠形成將數學史與數學教育融合的自覺，把HPM研究成果落實到教學實踐中，促進教師專業(yè)發(fā)展和學生數學素養(yǎng)的提高.

“回頭看”，助學生前行更順？搖

“回看入境”是筆者所在學校課堂的第一個環(huán)節(jié). 利用課前5分鐘，通過一題、一問引導學生對前認知進行自我診斷，建立新舊知識間的關聯(lián)，有效推進新課的學習. “回頭看”的內容可以與上一節(jié)課內容關聯(lián)，也可以是前一階段的學習內容，其目的主要是使學生通過對重點知識的不斷溫習，解決知識遺忘問題，進而達到夯實“雙基”的目的. 在教學實踐中我們也發(fā)現(xiàn)，適時地將數學思想方法融入“回頭看”中，通過“錯時訓練”，可以解決一些難以一步到位的認知問題，從而有效解決學生的層次差異問題和認知快慢問題. 同時，還可以使學生感悟數學思想方法在數學學習中的重要作用.

如學習了數軸后，學生雖然了解到“數形結合”思想，但理解顯然比較膚淺，不會感受到這種數學思想方法對今后的數學學習所帶來的好處. 但學習了“字母表示數”后，設計如下的回看練習，就可以使學生在問題解決中體會數學思想方法的重要作用.

（1）已知a<0，-b>0，ac<0，且b

（2）已知-a

可以看出，這兩道題綜合了相反數、絕對值及有理數大小的比較等知識，屬于較復雜的代數問題. 解決問題時，學生往往是先確定a，b，c，d的正負，然后比較絕對值，但這種做法很抽象，學生不易理解，解題時也容易做錯. 如果引導學生運用“數形結合”思想方法，在數軸上標出相關的點，便可迅速得到結果. 通過“以形助數”，能使原本比較抽象的代數概念及復雜的數量關系直觀化、簡單化.

再如，學完圓的相關知識后，可安排如下回看練習：如圖1，點C為線段AB的中點，四邊形BCDE是以BC為一邊的正方形，以點B為圓心、BD的長為半徑的圓與線段AB及其延長線相交于H，K兩點，試證明：AH·AK=2AC2.

本題一般采用幾何方法來證明，但如果引導學生借助代數方法通過“以數助形”來解決這個幾何問題，會形成更加新穎的解題思路，盡顯數形結合的神奇，解法如下：設BC=x，則AC=x，BD=x. 因為AK=2x+x，AH=2x-x，所以AH·AK=2x2=2AC2.

探究學習助學生潛能激發(fā)

“探究生成”是筆者所在學校課堂教學的第二個環(huán)節(jié). 感知、理解概念是教學的主要任務，將數學史融入此環(huán)節(jié)，可以借助數學史知識使學生明白概念、定理、公式的由來和產生的背景，體會研究數學問題的一般方法，了解數學的應用價值和文化價值，逐步形成基本的數學活動經驗，發(fā)展數學思維能力，并從活動中感受到探究之美.

1. 恰當設計學習活動

數學學習是學生自主建構數學知識的活動，在學習過程中，學生需要通過觀察、操作、比較、概括、猜想、推理、交流等多種形式，產生數學思考，因而需要教師創(chuàng)設一定的問題情境，使學生能夠興趣盎然地在問題情境下進行探究、思考.

如，勾股定理是數學史上最古老的定理，也是貫穿初中數學的核心定理，其證明方法有四百余種. 進行勾股定理教學時，如果能夠展示幾種有代表性的證法，特別是中國人用聰明智慧創(chuàng)造的“割補法”，并引導學生親自做一做、證一證，將會增強學生的民族自豪感，激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望.

再如，研究同弧所對的圓周角與圓心角的關系定理時，首先由學生利用三角板分別畫出60°，90°，120°的圓心角，并分別畫出同弧所對的圓周角，再利用三角板驗證其度數，從而使學生猜想同弧所對的圓周角與圓心角的關系；在此基礎上，讓學生任意畫出一個圓心角及同弧所對的圓周角，利用量角器度量它們的度數，進一步認定猜想的結論；最后師生合作，對猜想的結論進行推理論證. 這個問題情境的創(chuàng)設，遵循了從特殊到一般、從具體到抽象的認知規(guī)律，有利于學生在活動中獲得數學知識和活動經驗.

2.引導學生積極探究

“導生制共同學習”是筆者所在學校近年來推行的教學方式，它是聚焦群體學習和社會文化場景學習的一種形式. 通常情況下，進入“探究生成”環(huán)節(jié)后，由導生（在學生學習共同體中能夠起到引領、指導和評價作用的優(yōu)秀學生）帶領本組同學根據教師創(chuàng)設的問題情境開展探究活動，發(fā)現(xiàn)新知，獲得新的經驗；對于綜合性強、思維含量較高的問題，還可以通過組間協(xié)作學習與組間對話的方式來解決. 對教師而言，一是要適時精講和點撥導生解決不了的共性問題；二是要進行有效的教學調控，確保探究活動“活而不亂”. 當然，探究活動中，有時從表面上看課堂顯得凌亂，但如果學生在積極思維、觀點碰撞、踴躍表達，說明學生真正進入了合作探究的狀態(tài)，這不正是我們老師想看到的教學場景嗎？

圖2為筆者所在學校數學課堂常采用的“243”組織架構，采用三級合作模式：基礎級——解決基礎知識、基本技能方面的探究性問題，由兩人小組合作解決；進階級——解決中等難度的探究性問題，由四人大組展開互動；挑戰(zhàn)級——解決綜合性、探究性問題，先由“鐵三角”合作探究，然后向四人大組輻射. 這種合作模式不僅僅局限于“探究生成”環(huán)節(jié)，它可以貫穿課堂教學始終，當然也可以拓展到課外學習活動中.

數學思想方法助學生思維發(fā)展

的沃土更潤

數學思想方法是數學的精髓，又是知識轉化為能力的橋梁. 只有運用數學思想方法，才能使學生更深刻地理解數學的本質，才能把數學知識與技能轉化為分析問題和解決問題的能力. 正是基于這一認識，我們把課堂的第三個環(huán)節(jié)即“拓展提升”定位為：在已有認知基礎上總結提升，運用數學思想方法，遵循“用好變式、激活思維、解決問題”的原則，強化對學生的思維訓練，并使學生在問題解決的過程中能夠體會到思想方法的魅力. 因此，本環(huán)節(jié)是本課學習的高級階段，內化與運用概念、把握規(guī)律和形成思想是本階段的主要任務.

教師設計教學內容時，一般會從1～2個典型題目入手（稱之為“母題”），根據教學目標有針對性地進行拓展與變式，這樣雖然有時涉及的知識點會很多，但都與“母題”有根本性的關聯(lián)，能做到“形散而神不散”. 現(xiàn)舉例如下.

例題 把兩塊全等的含45°角的直角三角尺ABC和DEF如圖3所示疊放在一起，使三角尺DEF的銳角頂點D恰好是三角尺ABC斜邊的中點， 若AB=4，則AP·BC=______.

變式 把兩塊全等的含45°角的直角三角尺ABC和DEF如圖4所示疊放在一起，使三角尺DEF的銳角頂點D恰好與三角尺ABC斜邊中點O重合，其中AB=4. 把三角尺ABC固定不動，讓三角尺DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q.

（1）如圖4，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，試證明△APD∽△CDQ，此時AP·CQ=______.

（2）將三角尺DEF由圖4所示的位置繞點O逆時針旋轉，設旋轉角為α，且0°<α<90°，則AP·CQ的值是否改變？試說明你的理由.

（3）在（2）的條件下，設CQ=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數關系式. （圖5、圖6供解題用）

顯然，變式題是對例題的深化，是一道操作類問題. 雖然此題綜合性強，但學生一方面因為有基礎而會很自信，另一方面，因為有深度而會產生登高望遠之樂趣. 學生會從熟悉的題目出發(fā)，不斷地探索，產生新的發(fā)現(xiàn)，并在這個過程中感受到特殊和一般的關系，學會用類比的方法思考問題. 當然，在探究過程中，教師要引導學生運用運動變化的觀點，緊緊抓住△APD∽△CDQ這個關鍵，使學生在探究的過程中體悟“動中求靜”“形變而其本質不變”等思想和數學活動經驗，使思維進一步升華，形成解決動態(tài)型問題的基本思維方法.

再如，教學“用加減消元法解二元一次方程組”時，當師生共同提煉出解題基本思想與解題步驟后，教師出示了一道題：解方程組x-2y=-4，x ∶ 2=y ∶ 3. 通過共同學習，各小組展示了幾種不同的做法：

方法一，先將方程x ∶ 2=y ∶ 3變形為3x=2y，再化為3x-2y=0，這樣就可以用今天所學的加減消元法來解方程組了. （常規(guī)思路）

方法二，將方程x ∶ 2=y ∶ 3變形為3x=2y后，可把2y看作整體直接代入x-2y=-4中消去y， 從而求出方程組的解. （利用“整體”思想）

方法三，利用小學里學過的比例知識，把x ∶ 2=y ∶ 3的比值看作k， 就可以得到 x=2k，y=3k， 然后代入方程x-2y= -4中，解出k的值后，就可得出x，y的值. （“設參數法”）

學生對這么豐碩的成果無疑是欣喜的，教師不失時機的題后小結更使得學生感悟到數學思想方法的魅力：解上述題目時，無論是采用代入消元法、加減消元法，還是“設參數法”，都運用了化歸的數學思想方法，將二元一次方程組轉化為一元一次方程，這其實就是一個化歸的過程. 在今后的學習中，還會遇到化歸思想在解方程（組）中的應用，如把分式方程轉化為整式方程、把一元二次方程轉化為一元一次方程、把無理方程轉化為有理方程等.

實踐表明，無論是以能力立意設計漸進式問題串或變式題的形式，還是探究一題多解或多題一解問題，只要有數學思想方法的融入和支持，都能使學生的思考逐步深入，并且探究欲望會持久地保持，學生學習也會漸入佳境，思維會得到逐步拓展和深入，并達到一定的深度和廣度. 探究過程可使學生體驗到數學活動充滿探索與創(chuàng)造，激發(fā)創(chuàng)新靈感，使不同層次的學生都能從活動中獲得成就感. 同時，能通過活動培養(yǎng)學生克服困難、勇于探索的意志，形成良好的意志品質和思維品質.

學習評價助學生自我反思意識

更強

“學情評價”是筆者所在學校課堂的最后一個環(huán)節(jié). 通過一組檢測題的解答以及學生的表達交流，使得教師和學生對本堂課的學習情況做評價，為后續(xù)知識的學習和方法的改進提供依據. 評價學情時，教師除了引導學生關注知識與技能外，更要關注本堂課所獲得的活動經驗和所運用到的數學思想方法. 有時，還可以根據需要引進數學家的故事和數學小典故，教育學生把數學家所具有的科學精神、拼搏精神和奉獻精神進行傳承，引導學生在思維的縝密性、深刻性和批判性等思維習慣以及學習中所展現(xiàn)出的頑強精神、合作精神等意志品質方面進行自我評價，形成自我反思的意識和反思能力. 例如，很多學生在解題時，雖然思路正確，但往往由于忽視題目中的隱含條件或在多種可能性的情況下出現(xiàn)分類不全面的問題，造成解答錯誤，這些都屬于思維縝密性不夠的具體表現(xiàn)，需要不失時機地加以引導.

結語

數學史融入數學教育是時代的呼喚，也是課改的要求. 隨著課改的推進，數學史的價值已被越來越多的一線教師所重視，并且在課堂教學中積極進行數學史融入的實踐，這將給數學課堂帶來新的生機和活力. 為了進一步發(fā)揮數學史的教育價值，數學教師還應注意以下幾個方面的問題.

1. 積極轉變數學觀和教學觀，要從提高學生數學素養(yǎng)的角度去認識數學史與數學教育融合的意義，從而增強自己研究數學史的意識，不斷豐富自己的數學史知識，并成為數學史與數學教育融合的實踐者和促進者.

2. 要注重數學史融入數學教育的科學性. 選取數學史料時，一定要與數學知識密切相關，不能把數學史與數學知識割裂開來，同時選取的內容切忌過多過濫，否則雖然學生受到了數學文化的熏陶，也活躍了課堂氣氛，但學生的關注點可能已偏離數學知識本身，這樣反而降低了學習效率，影響了教育價值.

3. 數學史融入數學教育不能局限于課堂，可以適時延伸到課外，引導學生開展自主學習. 教師可以根據需要先確定主題，讓學生通過閱讀圖書、上網查詢等方法自主收集一些資料，然后采用課堂展示、講故事或數學小報評比等方式進行交流，從中感悟數學家的勵志故事、數學知識產生的原始背景和數學思想方法形成的過程，激發(fā)學生的數學情感和數學學習熱情.