廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510006) 鐘木超

例談解析幾何問(wèn)題的平面幾何解法

廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(510006) 鐘木超

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾17世紀(jì)創(chuàng)立解析幾何以來(lái),有一類幾何問(wèn)題可以代數(shù)化,運(yùn)用代數(shù)的方法研究其幾何性質(zhì),從而得到解決這類問(wèn)題的通法,極大地促進(jìn)了代數(shù)與幾何的發(fā)展.其中獲益最大的無(wú)疑是圓錐曲線問(wèn)題.這類問(wèn)題的解法幾乎都是通過(guò)將幾何條件代數(shù)化來(lái)完成的,從而成為了解析幾何的重要內(nèi)容.但是解析幾何問(wèn)題本質(zhì)是幾何問(wèn)題,它們本身就包含一些很重要的幾何性質(zhì).如果我們可以充分利用這些幾何性質(zhì),它們其實(shí)就是純幾何問(wèn)題,完全可以借助平面幾何的知識(shí)加以解決.這樣不但能避開(kāi)繁瑣的代數(shù)運(yùn)算,使解決問(wèn)題的過(guò)程得到簡(jiǎn)化,而且更好地揭示這些問(wèn)題的幾何本質(zhì).例如三類圓錐曲線的定義及其光學(xué)性質(zhì)本身就是極其重要的幾何性質(zhì).下面筆者通過(guò)一些例子展示如何運(yùn)用平面幾何解法解決解析幾何問(wèn)題,希望可以達(dá)到拋磚引玉的效果.

一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)

定理1從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的光線照射到橢圓上,經(jīng)橢圓反射后,反射光線通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)反射點(diǎn)的鏡面所在的直線為橢圓的切線.

定理2從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的光線照射到雙曲線上,經(jīng)過(guò)雙曲線反射后,反射光線的反向延長(zhǎng)線通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)反射點(diǎn)的鏡面所在的直線為雙曲線的切線.

定理3從拋物線的焦點(diǎn)處發(fā)出的光線照射到拋物線上,經(jīng)過(guò)拋物線反射后,反射光線平行于拋物線的軸,且經(jīng)過(guò)反射點(diǎn)的鏡面所在的直線為拋物線的切線.

注 這三個(gè)定理分別描述了橢圓、雙曲線、拋物線的光學(xué)性質(zhì).其證明讀者可參閱文[1].

二、用平面幾何方法解解析幾何問(wèn)題的例子

圖1

證 如圖1,設(shè)F1,F2分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn),分別作F1,F2關(guān)于切線MA,MB的對(duì)稱點(diǎn)P,Q,連結(jié)MP,MQ,PA,QB,AF1,AF2,

注 此例是2014年廣東數(shù)學(xué)高考圓錐曲線壓軸題(第20題文理共用)的推廣,原題如下:已知橢圓=1的一個(gè)焦點(diǎn)為

(I)求橢圓方程;

(II)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.

圖2

證 如圖2,設(shè)F1,F2分別是雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn),分別作F1,F2關(guān)于切線MA,MB的對(duì)稱點(diǎn)P,Q,連結(jié)MP,MQ,PA,QB,AF1,PF2,QF1,BF2,MF1,MF2,OM.由定理2易得A,P,F2;B,Q,F1分別三點(diǎn)共線,所以PF2=AF2?AP=AF2?AF1=2a,同理QF1=2a=PF2,又因?yàn)镸F2=MQ,MP=MF1,所以

圖3

即M的軌跡方程為x2+y2=a2?b2.

例3 M是拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線l上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M 的直線與拋物線相切于A,B,分別過(guò)A,B作l的垂線,垂足分別為P,Q,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,連結(jié)PF,QF,MF,AF,BF,求證:(1)MF⊥AB;(2)PF⊥QF;(3)AM⊥BM;(4)A,F,B三點(diǎn)共線.

證 如圖3,作射線PA,QB,由定理3易得∠CAH=∠MAF=? ∠MAF= ∠CAH= ∠MAP. 又因?yàn)锳P=AF,AM=AM,所以 △AMP ～= △AMF=?∠AFM= ∠APM=90?,MF=MP,∠PMA= ∠FMA.同理 ∠BFM= ∠BQM=90?,MF=MQ,∠QMB=∠FMB.所以 MF⊥AB,MF=MP=MQ,∠AMB=∠AMF+ ∠BMF=∠QMF=90?=?AM⊥BM,F在以 PQ為直徑的圓上,即 PF⊥QF.由AP=AF,PM=FM 得 ∠AFP= ∠APF,∠MPF=∠MFP.同理 ∠BFQ= ∠BQF,∠MQF= ∠MFQ.所以∠AFP+∠MFP+∠MFQ+∠BFQ=∠APF+∠MPF+∠MQF+∠MFQ=180?,即A,F,B三點(diǎn)共線.

例4 證明:橢圓的焦點(diǎn)在橢圓切線上的射影的軌跡是以橢圓的中心為圓心,且過(guò)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的圓.

證 先證左焦點(diǎn)的情形.如圖

圖4

在△MF1F2中,由余弦定理得2MF1·MF2·cos∠F1MF2①+②并整理得在△MF1F2中,由中線長(zhǎng)公式得

故M的軌跡為以O(shè)為圓心,a為半徑的圓.

對(duì)于右焦點(diǎn)的情形,同理可證,不再贅述.

注 此例是《數(shù)學(xué)通報(bào)》2012年第11期刊登的第2087號(hào)問(wèn)題.供題人用解析法證明了該問(wèn)題.

類似的性質(zhì)對(duì)于雙曲線和拋物線也成立,從而得到下面的定理5和定理6,因?yàn)槠渥C明根據(jù)前四例的方法容易給出,有興趣的讀者可以嘗試自己給出證明,這里就不再贅述.

定理5雙曲線的焦點(diǎn)在雙曲線切線上的射影的軌跡是以雙曲線的中心為圓心,且過(guò)實(shí)軸頂點(diǎn)的圓.

定理6 拋物線的焦點(diǎn)在拋物線切線上的射影的軌跡是經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)且垂直于其對(duì)稱軸的一條直線.

圖5

解 如圖5,連結(jié)AF2,OA,OM,設(shè)AF1=x,則AF2=2a?x.在Rt△OAM 中,由中線長(zhǎng)定理可得,

即AM=a?x.所以AF1+AM=a.同理BF1+BM=a.從而△ABF1的周長(zhǎng)為2a.

三、總結(jié)反思

上面五個(gè)例子可以看出,利用平面幾何知識(shí)解決解析幾何問(wèn)題,不但可以避開(kāi)繁瑣的代數(shù)運(yùn)算,簡(jiǎn)化解題過(guò)程,而且解法簡(jiǎn)潔優(yōu)美,更好地體現(xiàn)了圓錐曲線的幾何性質(zhì).因此對(duì)于解析幾何問(wèn)題,不應(yīng)一味地運(yùn)用解析法,而應(yīng)該將解析法和平面幾何方法相結(jié)合,從而得到解決問(wèn)題的最優(yōu)解法,同時(shí)可以更好地提高解題能力.

[1]郇維中.同一法證明圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)及應(yīng)用舉例[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2011,6;46 53.