華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 劉依舒 劉秀湘

切點弦生成的四次曲線問題探究

華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 劉依舒 劉秀湘

圓錐曲線問題是全國卷每年必考的題型,包括求標準方程、研究圓錐曲線的幾何性質和位置關系、求軌跡方程等等考點.本文圍繞2013年遼寧理科卷的解析幾何求軌跡的題目展開思考和探究,研究圓錐曲線切點弦的中點所生成的四次曲線問題,分析命題原因,并得出四次曲線具有不穩(wěn)定性的結論.

圓錐曲線,切點弦,四次曲線,軌跡

著名數(shù)學家康托爾說過:“在數(shù)學中提出問題的藝術要比解決問題的方法更為重要.”當筆者完成2013年遼寧理科解析幾何題目時,提出一個問題,既然拋物線的切點弦的中點軌跡仍是拋物線,那么其余圓錐曲線是否有類似的不變性的性質?下面對這個問題作進一步的研究和探討.

一、問題呈現(xiàn)

題目(2013年遼寧卷)如圖,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=?2py(p>0).點M(x0,y0)在拋物線C2上,過點M 作C1的切線,切點為A,B(M為原點O 時,A,B重合于O).當時,切線MA的斜率為

圖1

(1)求p的值;

(2)當M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O).

解(1)易得,p=2.(2)設由N 為線段AB中點知

切線MA,MB的方程為

由③④得MA,MB的交點M(x0,y0)的坐標為x0=因為點 M(x,y)在 C上,即002所以

圖2

從上述的解答中發(fā)現(xiàn),AB中點N的軌跡方程為拋物線.同時,通過幾何畫板畫圖(如圖2)觀察到,所得軌跡的口徑比C1小,筆者在這里不禁想問:

問題1.如果考慮推廣到更一般的拋物線,p1和p2不確定的情況下,AB中點N的軌跡方程與p1和p2有什么關系?口徑一定比C1小嗎?

問題2.如果把該問題繼續(xù)推廣到所學習過的圓錐曲線,是否有類似的結論?

二、初入云霧

問題1拋物線C1:x2=2p1y(p>0),C2:x2=?2p2y(p>0).點M(x0,y0)在拋物線C2上,過點M 作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O).

解設由N為線段AB中點知

切線MA,MB的方程為

由③④得MA,MB的交點M(x0,y0)的坐標為x0=因為點 M(x,y)在 C上,即002所以

問題2圓C1:x2+y2=r2,圓C2:(x?a)2+(y?b)2=點M(x0,y0)在圓C2上,過點M作C1的切線,切點為A,B.當M 在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程.

解 先證M,N,O(O為坐標原點)三點共線.設A(x1,y1),B(x2,y2),由于A,B都在C1上,滿足:

①－②,得:

設N(x,y),則有:2x(x1?x2)=2y(y2?y1)可得所以,M,N,O(O為坐標原點)三點共線.下求線段AB中點N的軌跡方程:把直線OM與直線AB聯(lián)立方程組:

解得:

把x0,y0代入(x?a)2+(y?b)2=r12,化簡可得:

幾何畫板繪制軌跡如下:

圖3

盡管是一個四次曲線,但當C1和C2都是圓的時候,所繪圖所得是一個類似圓形的軌跡.

解 先證M,N,O(O為坐標原點)三點共線.證法類似于問題2中關于M,N,O(O為坐標原點)三點共線的證明.

下求線段AB中點N的軌跡方程:把直線OM與直線AB聯(lián)立方程組:

幾何畫板繪制軌跡如下:

圖4

盡管是一個四次曲線,但當C1和C2都是橢圓的時候,繪圖所得是一個類似橢圓的軌跡.

幾何畫板繪制軌跡如下:

圖5

由圖5中易見,當切點都在左支上的時候,所得軌跡為最左邊的曲線,當切點分別位于左右兩支的時候,得到中間的曲線,這兩條軌跡滿足上述所求的四次方程,是一個類雙曲線方程.

三、撥開云霧

用Matlab繪制x4+y4=1的圖像時,所得曲線類似于圓,當加上交叉項時,得到x4+y4+2x2y2+x3y+y3x=1圖像完全是一個被旋轉了一定角度的橢圓型;當繪制x4?y4=1圖像發(fā)現(xiàn),與雙曲線非常相似,當加上交叉項時,得到x4?y4?2x2y2?x3y?y3x=1圖像完全是一個被旋轉了一定角度的雙曲型:

查閱了相關文獻發(fā)現(xiàn),四次函數(shù)方程中的Cauchy-四次函數(shù)方程與Jensen-四次函數(shù)方程的一般形式與二者之間的聯(lián)系已經(jīng)有所研究,且對其在Banach空間以及模糊賦范空間上兩個函數(shù)方程的Ulam穩(wěn)定性已經(jīng)被證明[1],但是一般化的四次曲線并沒有類似的研究成果,筆者認為,在繪圖過程中交叉項的系數(shù)、次數(shù)差異對四次曲線的影響較大,證明一般四次曲線的穩(wěn)定性不強,因此研究的空間非常大.

因此,在命題方面,由于四次曲線的不穩(wěn)定性且顧及考生的能力范圍,高考命題在切點弦的中點軌跡的考查只會到達拋物線的考查水平.

推廣5曲線C1:F(x,y)=0,C2:G(x,y)=0.其中C1,C2沒有交點.點M(x0,y0)在曲線C2上,過點M 作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當M在C2上運動時,線段AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O)為二元四次方程.當C1,C2的性質屬性一樣時,所得N的軌跡與C1,C2類似,即通過求切點弦的中點軌跡,可得類橢圓,類雙曲線,類圓的四次方程!

雖然問題探究的直接目的是為了尋求問題的解答,但是尋求解答卻并不是問題探究的唯一目的.在對原來題目進行一般化同時讓筆者第一次認識了四次方程,不僅給老問題找到了問題解決的突破口,還在原有的問題中尋找到新的問題,為生成四次曲線找到一個特殊的方法.張奠宙先生曾指出“方程是一座橋梁,一座聯(lián)立已知和未知的橋梁”,筆者認為,對方程問題的探析滲透著數(shù)學的無窮魅力,等待著一輪又一輪的推陳出新,孕育出更精彩的結論.

[1]宋愛民.Cauchy-四次與Jensen-四次函數(shù)方程的穩(wěn)定性[D].青島大學,2015.