汕頭市潮陽(yáng)區(qū)棉光中學(xué)(515100) 黃桂南

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

汕頭市潮陽(yáng)區(qū)棉光中學(xué)(515100) 黃桂南

向量進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材,為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強(qiáng)有力的工具,促進(jìn)了高中幾何的代數(shù)化.向量是幾何的,又是代數(shù)的,可以直接描述、想象、替代立幾中的點(diǎn)、線、面等對(duì)象,又可以通過向量的計(jì)算,對(duì)它進(jìn)行加、減、乘、數(shù)乘、數(shù)量積,豐富了立體幾何的運(yùn)算模式,使立體幾何中的抽象概念有了具體的形式,讓學(xué)生可以更直觀地觀察到立體幾何中各種位置關(guān)系的性質(zhì),能更加深刻理解立體幾何中的定理,有利于學(xué)生突破空間向量想象力薄弱的學(xué)習(xí)難點(diǎn),同時(shí)以運(yùn)算為載體,發(fā)揮空間想象力就可以對(duì)立體幾何中的角度、距離問題進(jìn)行實(shí)際運(yùn)算與演繹.這就為空間想象能力較弱的學(xué)生解題提供了新的出路,降低了其學(xué)習(xí)的難度,提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一,很多學(xué)生一提到立體幾何就會(huì)“談虎色變”,教師也普遍認(rèn)為立體幾何教學(xué)是吃力不討好的事.向量法正是解決這一現(xiàn)實(shí)問題的行之有效的方法.立體幾何的計(jì)算和證明常常涉及到二大問題:一是位置關(guān)系,它主要包括線線垂直,線面垂直,線線平行,線面平行;二是度量問題,它主要包括點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離,線線、線面所成角,面面所成角等.其中比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計(jì)算空間角與空間距離.下面我主要就近年國(guó)卷高考題來舉例其應(yīng)用,希望能起到一個(gè)拋磚引玉的作用.

一、建立坐標(biāo)系的常用方法

我們通過一個(gè)高考試題的立幾問題的例子總結(jié)建立空間直角坐標(biāo)系的一般方法.

例1(2015高考新課標(biāo) 1,理 18)如圖,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120?,E,F 是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.

圖1

(1)證明:平面AEC⊥平面AFC

(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

試題分析理數(shù)第二問一般考查角度問題,多用空間向量解決,關(guān)鍵是正確建系.本題正是利用“菱形對(duì)角線互相垂直”找到底面直角建系.

圖2

(I)連接BD,設(shè)BD∩AC=G,連 接 EG,FG,EF,在菱形ABCD 中,不 妨設(shè)GB=1易證EG⊥AC,通過計(jì)算可證EG⊥FG,根據(jù)線面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC,由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC.(也可以先建空間直角坐標(biāo)系由兩個(gè)平面的法向量互相垂直去證明兩個(gè)平面垂直.)

建系原則遵循“右手原則”,如下圖用常見正方體舉例.

圖3

1)直接運(yùn)用現(xiàn)有的垂直關(guān)系建系,如正方體、長(zhǎng)方體、直棱柱等.

2)利用性質(zhì)關(guān)系建系,如等腰三角形、菱形對(duì)角線、正棱錐等.

3)利用題中的已知條件建系,如點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在某條直線上.

4)若沒有以上三種關(guān)系,則先確定底面“直角”,再建系.

總之,一定要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)原點(diǎn)及坐標(biāo)軸,使得數(shù)值計(jì)算更簡(jiǎn)潔,有利于提高解題效率.

二、應(yīng)用空間向量求解立體幾何中的空間角問題

1．求異面直線所成的角

分別在直線m,n上取兩個(gè)定向量a,b,則異面直線m,n所成的角β等于向量a,b所成的角或其補(bǔ)角θ,則cosβ =|cosθ|=特殊情形:a⊥b ?? a·b=0,即異面直線a垂直于b.

例2(2014新課標(biāo)2,理11)直三棱柱ABC?A1B1C1中,∠BCA=90?,M,N 分別是 A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成的角的余弦值為( )

解析以C為原點(diǎn),直線CA為x軸,直線CB為 y軸,直線 CC1為 z軸,則設(shè) CA=CB=1,則B(0,1,0),M,故=所 以 cos=,故選C.

評(píng)注應(yīng)用空間向量法解此類題避開了作平移及復(fù)雜的邏輯推理.

2．求直線與平面所成的角

圖4

例3(2013新課標(biāo)1,理18)如圖,三棱柱 ABC?A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60?.

圖5

(I)證明AB⊥A1C;

(II)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.

解析(1)取AB的中點(diǎn)O,連接OC、OA1、A1B,因?yàn)镃A=CB,所以 OC⊥AB,由于 AB=AA1,∠BAA1=60?,故△AA1B為等邊三角形,所以O(shè)A1⊥AB,所以AB⊥平面OA1C,因?yàn)锳1C?平面OA1C,所以AB⊥平面A1C;

圖6

(2)由 (1)知 OC⊥AB,OA1⊥AB,又 平 面 ABC⊥ 平面,故OA,OA1,OC兩兩相互垂直.以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OA1為 y軸,OC 為 z軸,為單位,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O?xyz.由題設(shè)知A(1,0,0),(x,y,z)為平面BB1C1C的法向量,則,即所以n=設(shè)直線A1C與平面BB1C1C所成角為α則:sinα所以直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值

評(píng)注找直線的方向向量與平面的法向量,轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題,注意線面角與兩向量所在直線夾角互余.

3．求二面角

圖7

圖8

方法一構(gòu)造二面角α?l?β的兩個(gè)半平面α,β的法向量n1,n2(都取向上的方向,如圖7所示),則

①若二面角α?l?β是“鈍角型”的如圖8,那么其大小等于兩法向量的夾角的補(bǔ)角,即cosθ=

②若二面角α?l?β是“銳角型”的如圖9,那么其大小等于兩法向量的夾角,即cosθ=

圖9

方法二在二面角的棱l上確定兩個(gè)點(diǎn)A,B,過A,B分別在平面α,β內(nèi)求出與l垂直的向量n1,n2,則二面角α?l?β的大小等于向量n1,n2的夾角,即cosθ=

說明通過法向量的方向來求解二面角,兩個(gè)法向量的方向是“一進(jìn)一出”,所求的二面角的平面角就等于兩法向量的夾角,如果是“同進(jìn)同出”,所求的二面角的平面角就等于兩法向量的夾角的補(bǔ)角.

以上方法在處理二面角是銳角還是鈍角問題時(shí),可能會(huì)遇到方向判斷困難問題,所以在計(jì)算之前不妨先依題意直觀判斷一下所求二面角的大小,然后根據(jù)直觀圖取“相等角”或取“補(bǔ)角”.

以上方法在處理二面角問題時(shí),可能會(huì)遇到二面角的具體大小問題,所以在計(jì)算之前不妨先依題意直觀判斷一下所求二面角的大小,然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”.

例4(2016新課標(biāo)1,理18)如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90?,且二面角D?AF?E與二面角C?BE?F都是60?.

圖10

(I)證明:平面ABEF⊥平面EFDC;(II)求二面角E?BC?A的余弦值.

解 (I)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.又AF?平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.

圖11

(II)過 D 作 DG⊥EF,垂足為G,由(I)知DG⊥平面ABEF.以 G 為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤 軸正方向,為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G?xyz.由(I)知∠DFE為二面角 D?AF?E的平面角,故 ∠DFE=60?,則 |DF|=2,|DG|=3,可得 A(1,4,0),B(?3,4,0),E(?3,0,0),D.由已知,AB//EF,所以AB//平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC=DC,故AB//CD,CD//EF.由 BE//AF,可得 BF⊥平面 EFDC,所以∠CEF為二面角C?BE?F的平面角,∠CEF=60?.從而可得√設(shè) n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,則可取n=.設(shè)m是平面ABCD的法向量,則,同理可取m=.如圖二面角的平面角為鈍角,則cos?n,m?=.故二面角E?BC?A的余弦值為

例 5(2014新 課標(biāo)1,理19)如圖三棱柱 ABC?A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.

圖12

(I)證明:AC=AB1;

(II)若AC⊥AB1,∠CBB1=60?,AB=BC,求二面角A?A1B1?C1的余弦值.

證明(I)連接BC1,交B1C于點(diǎn)O,連接AO,因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形,所以B1C⊥BC1,且O為B1C及BC1的中點(diǎn).AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO.由于AO?平面ABO,故B1C⊥AO.又 B1O=CO,故AC=AB1.

圖13

(II)因?yàn)锳C⊥AB1,且O為B1C的中點(diǎn),所以AO=CO.又因?yàn)锳B=BC,所以△BOA ～= △BOC,故 OA⊥OB,從 而OA,OB,OB1兩兩相互垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB為x軸,OB1為 y軸,OA 為 z軸,|??→OB|為單位長(zhǎng)度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O?xyz.因?yàn)椤螩BB1=60?,所以△CBB1為等邊三角形.又AB=BC,則A設(shè)n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,則即所以可取n=.設(shè)m是平面A1B1C1的法向量,則同理可取 m=如圖二面角的平面角為銳角,則cos?n,m?=.所以二面角A?A1B1?C1的余弦值為

評(píng)注 1)應(yīng)用空間向量法解此類題避開了找二面角的平面角及復(fù)雜的邏輯推理,只須求出兩個(gè)半平面的兩個(gè)法向量,應(yīng)用向量?jī)?nèi)積即可求二面角.所以求二面角的關(guān)鍵在于找到兩個(gè)半平面各自的一個(gè)法向量,在利用公式即可.

2)大多數(shù)情況下,兩個(gè)半平面的兩個(gè)法向量n1,n2一個(gè)是顯向量,一個(gè)是隱向量.顯向量可直接寫結(jié)果,而隱向量需要求.

3)如果能用常規(guī)法較容易求出二面角的平面角,則用常規(guī)法求解.

異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角是立體幾何中空間角的三種類型.傳統(tǒng)綜合推理法的三步是“作— 證— 算”,但作這幾個(gè)角的過程對(duì)空間想象能力和邏輯推理能力的要求比較高,而利用向量法解此類問題就可以避開抽象、復(fù)雜地尋找角的過程.只要能夠熟練應(yīng)用公式,就可以避煩就簡(jiǎn),從而順利地解決問題.

三、應(yīng)用空間向量求解立體幾何中的空間距離問題

1．點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到線的距離

2．求點(diǎn)到平面的距離(推廣到線面、面面之間的距離)

圖14

方法如圖,易知:點(diǎn)P到平面 α的距離 d=cosθ,而 cosθ=,所以 d=其中n是平面α的一個(gè)法 向 量,是 平 面 α 的 斜 向 量 則點(diǎn)P到平面α的距離d等于在n上的射影長(zhǎng),即點(diǎn)P到平面α的距離為:

例6如圖,在三棱椎P?ABC中,平面ABC,D,E,F分別是棱 AB、BC、CP的中點(diǎn),AB=AC=1,PA=2,

(I)求直線PA與平面DEF所成角的大小;

圖15

(II)求點(diǎn)P到平面DEF的距離.

評(píng)注求點(diǎn)到平面的距離,關(guān)鍵是找到平面的法向量及這點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)構(gòu)成的向量.我們利用這公式,不僅可解決點(diǎn)到平面的距離,還可推廣到直線與平面的距離,平行平面間的距離問題.

3．求異面直線距離

方法如圖,d是異面直線a與b的距離,是直線a與b的一個(gè)法向量A、B分別是直線a,b上的點(diǎn),顯然:又 cosθ =,所以 d=

圖16

例7如圖,在正三棱柱A1B1C1?ABC中,D,E分別是棱 BC、CC1的中點(diǎn),AB=AA1=2,求異面直線AB1與BE的距離.

圖17

解如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)n=(x,y,z)是AB1與BE的法向量,又因?yàn)?,可得:則取 y=3,可知n=(0,0,2),所以 d=

評(píng)注求異面直線的距離,關(guān)鍵在于求出異面直線的一個(gè)公共法向量和與兩異面直線相交的線段的向量.

四、向量法解決立體幾何問題的步驟

用向量法解決立體幾何問題的方式有兩種:一是直接用向量的代數(shù)式運(yùn)算,二是用向量的坐標(biāo)運(yùn)算.一般來說,向量的坐標(biāo)運(yùn)算,思維量更少,運(yùn)算技巧更低,更容易掌握,因此這也是我們常用的向量方法.若所給圖形不容易建立空間直角坐標(biāo)系,我們也可以用向量的代數(shù)式運(yùn)算來解決問題,但其技巧性相對(duì)較高,對(duì)學(xué)生邏輯推理能力的要求也提高了.用向量坐標(biāo)運(yùn)算解題步驟:

(1)建立空間直角坐標(biāo)系.注意盡可能用已經(jīng)存在的過同一個(gè)點(diǎn)的兩兩垂直的三線,如果沒有三線,也盡量找兩線垂直,然后作出第三線和兩線垂直,按右手系建立坐標(biāo)系.注意所寫點(diǎn)的坐標(biāo)要與所建立的坐標(biāo)系相一致.

(2)寫出需要用到的點(diǎn)的坐標(biāo).注意要仔細(xì)再仔細(xì),此步若錯(cuò),全題皆錯(cuò).

(3)寫出所要用到的向量坐標(biāo).注意必須終點(diǎn)坐標(biāo)減始點(diǎn)坐標(biāo).

(4)通過計(jì)算解決具體問題.注意公式要記對(duì),運(yùn)算要仔細(xì).

向量在立體幾何中的應(yīng)用為我們解決立體幾何問題提供了新的解題思路和方法,打破了傳統(tǒng)解法“一作、二證、三計(jì)算”的模式,突破了傳統(tǒng)解法中“添置輔助線”的難點(diǎn),將立體幾何中“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問題,開創(chuàng)了解決立體幾何問題的新模式.

五、“向量法”在立體幾何教學(xué)中的教學(xué)策略

(1)強(qiáng)化空間向量的教學(xué)

向量運(yùn)算可以有效地將代數(shù)問題和幾何問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一,是數(shù)形結(jié)合的典型,從而解決相關(guān)立體幾何問題,“向量法”作為解決立體幾何問題有效工具,尤其是那些綜合性較強(qiáng)的題型,利用“向量法”可以很好地將問題轉(zhuǎn)化,在立體幾何問題中運(yùn)用向量運(yùn)算避免學(xué)生對(duì)圖形的邏輯思考,從而降低學(xué)生對(duì)立體幾何圖形的空間想象難度.

教師通過強(qiáng)化對(duì)學(xué)生的“向量法”教學(xué),可以幫助學(xué)生就數(shù)與形的關(guān)系建立正確的認(rèn)識(shí),體驗(yàn)立體幾何圖形的創(chuàng)造過程,利用代數(shù)方法處理幾何圖形的問題,塑造學(xué)生數(shù)形統(tǒng)一的思想方法,學(xué)生可以通過向量的運(yùn)算,進(jìn)而揭示立體幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系,解決立體幾何問題.

(2)加深學(xué)生對(duì)公式的理解

“向量法”運(yùn)算公式很多是和學(xué)生之前學(xué)習(xí)的知識(shí)有很大區(qū)別的,學(xué)生對(duì)這些“變形”公式比較陌生,因?yàn)閷?duì)公式不熟悉,很多學(xué)生都是死記硬背,很可能對(duì)公式的遺忘,這樣在運(yùn)用過程中就會(huì)出現(xiàn)很大的問題,這對(duì)應(yīng)用“向量法”是非常不利的.因此在教學(xué)中,教師應(yīng)盡可能地加深學(xué)生對(duì)公式的理解,讓學(xué)生知道向量公式的來源,公式怎么用等,構(gòu)建向量知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系以及向量和其他知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系,讓學(xué)生形成對(duì)“向量法”公式的理解記憶,時(shí)而靈活運(yùn)用公式.

(3)對(duì)比綜合法與向量法的利弊

綜合法-不使用其他工具,對(duì)幾何元素及其關(guān)系直接進(jìn)行討論.其優(yōu)點(diǎn)是注重培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想.缺點(diǎn)是有時(shí)解決問題時(shí)的技巧性過強(qiáng),而且沒有一般規(guī)律可循,常常讓學(xué)生感覺“高不可攀”,從而“望而卻步”.

向量法-以向量和向量的運(yùn)算為工具,對(duì)幾何元素及其關(guān)系進(jìn)行討論.其優(yōu)點(diǎn)是注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想以及代數(shù)計(jì)算能力的同時(shí)也使立體幾何問題的解決過程變得數(shù)量化、程序化,易于學(xué)生學(xué)習(xí).缺點(diǎn)是計(jì)算量相對(duì)較大,對(duì)于計(jì)算能力較弱的學(xué)生,很容易算錯(cuò).

如果學(xué)生在解決立體幾何問題時(shí),能夠具體情況具體分析,將綜合法與向量法這兩種方法綜合運(yùn)用,那樣將會(huì)使得立體幾何問題得到更完美的解決.

六、教學(xué)實(shí)踐成果

在課題研究過程中,我們以教師自編教、學(xué)案的模式,分別在兩個(gè)研究階段共開設(shè)了16節(jié)公開課、觀摩課,針對(duì)2016年的全國(guó)卷備考方向,以立體幾何中的“三大角度”求解為主要核心內(nèi)容,開展教學(xué)實(shí)踐研究,其中同時(shí)對(duì)高二理科兩個(gè)教學(xué)班開展“同課異構(gòu)”對(duì)比式的教學(xué)實(shí)驗(yàn),在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)一步驗(yàn)證研究的理論成果.通過對(duì)比式教學(xué)模式及課后的教學(xué)效果反饋,我們發(fā)現(xiàn),高二理科實(shí)驗(yàn)班在使用了“向量法”的教學(xué)后,相比普通班的“綜合法”教學(xué),實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)效果有明顯的提高,成績(jī)的優(yōu)秀率達(dá)到30%,明顯優(yōu)于普通班.另一方面,“學(xué)案”為輔助的課堂教學(xué)使學(xué)生的學(xué)習(xí)方式得到了較大的轉(zhuǎn)變,增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及數(shù)學(xué)運(yùn)用意識(shí),逐漸地學(xué)會(huì)用“向量法”解決“三大角度”問題的方法,并將“向量法”作為解決相關(guān)問題的工具.

綜上所述,借助空間向量作為解題工具,解決高中數(shù)學(xué)立體幾何中的空間角,空間距離的問題,顯然與傳統(tǒng)法相比有明顯的優(yōu)勢(shì),從學(xué)生的學(xué)習(xí)效果來看,學(xué)生較易于接受其解題原理,從根本上可以幫助學(xué)生克服空間想象力較弱的困難,但它也對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力也需要有較高的要求,因此,在常規(guī)的課堂教學(xué)過程中,在鞏固學(xué)生對(duì)空間向量概念的理解的基礎(chǔ)上,必須通過有效的訓(xùn)練逐步提高學(xué)生的計(jì)算能力.向量確實(shí)是解決立體幾何、解析幾何強(qiáng)有力的工具.所以在整個(gè)高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,如能學(xué)會(huì)用向量方法處理數(shù)學(xué)問題,這不僅可使相應(yīng)問題的解法簡(jiǎn)潔漂亮、獨(dú)特、一題多解,而且反復(fù)的應(yīng)用能幫助學(xué)生深入理解向量概念,熟練掌握向量的運(yùn)算,更能叢中學(xué)到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化變形等重要的數(shù)學(xué)思想,能明顯減輕學(xué)生和教師的負(fù)擔(dān).

因此,向量是解決立體幾何問題的實(shí)用工具.

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[2]謝朝軍.平面的法向量及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2006(4)

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