廣東省佛山市第一中學(528000) 吳統(tǒng)勝 吳欣婷(學生)

例談妙用函數(shù)型不等式巧解導數(shù)壓軸題

廣東省佛山市第一中學(528000) 吳統(tǒng)勝 吳欣婷(學生)

在利用導數(shù)證明函數(shù)導數(shù)壓軸題中,有幾個函數(shù)型不等式比較重要且較常見,恰當?shù)乩眠@幾個不等式,可以解決很多函數(shù)和數(shù)列不等式壓軸題的證明問題.高考試題函數(shù)導數(shù)壓軸題命題常常圍繞著函數(shù)f(x)=ex,g(x)=lnx出題,究其主要原因有三:首先,此類函數(shù)的導數(shù)可以和多項式函數(shù)結合到一起,大部分都含有二次三項式,便于分類討論,體現(xiàn)轉化與化歸思想;其次,此類函數(shù)更能體現(xiàn)微積分的一個思想:以直代曲,無限逼近.另外,此類函數(shù)也與高等數(shù)學中的級數(shù)有關,結合比較緊密.比如幾個函數(shù)的麥克勞林級數(shù)為:

常見函數(shù)型不等式主要有以下三種類型:

下面本文舉例說明巧用常見函數(shù)型不等式妙證部分函數(shù)不等式壓軸題,給出了y=ex,y=lnx,y=xlnx(x>0)放縮為一次函數(shù)形式的一般類型,對不能用函數(shù)型不等式證明的也進行了方法的優(yōu)化、拓展,并對該部分內容復習備考給出了幾點建議!

一、利用函數(shù)型不等式1

exx+1或ln(x+1)x(x> ?1)或=1?lnxx?1(x>0)(見人教版教材《選修2-2》第32頁習題1.3B組第1題),可結合圖1加深對不等式的理解記憶.

圖1

例 1 (2013年課標 II理科 21)已知函數(shù)f(x)=ex?ln(x+m),

(1)設x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調性;

(2)當m 6 2時,證明:f(x)>0.

解析 (1)略.(2)當m 6 2時,f(x)=ex?ln(x+m)>ex?ln(x+2).

證法一 構造函數(shù)?(x)=ex?ln(x+2),轉化為求?(x)min= ?(x0)>0,?′(x)=在 (?2,+∞)上單調遞增. 又 ?′(?1)<0,?′(0)>0,所以 ?′(x)=0在 (?2,+∞)上有唯一實根 x0,且 x0∈ (?1,0).當x ∈ (?2,x0)時,?′(x)<0;當 x ∈ (x0,+∞)時,?′(x0)>0,所以 ?(x)min= ?(x0)由 ?′(x0)=0得:

ln(x0+2)=?x0,所以?(x0)>0,所以f(x)>?(x0)>0.所以當m 6 2時,f(x)>0.

但若妙用函數(shù)型不等式:ex>x+1及l(fā)nx 6 x?1(x>0),則證明過程相當簡便,其證明過程如下:

證法二因為lnx 6 x?1(x>0),所以ln(x+2)6 x+1當且僅當x= ?1時取等號,又因為ex>x+1當且僅當x=0時取等號,所以f(x)=ex?ln(x+m)>ex?ln(x+2)>x+1?(x+1)=0.由于兩等號不同時取得,因此當m 6 2時,f(x)>0.

例2 (2016年廣州一測理科21)已知函數(shù)f(x)=ex+m?x3,g(x)=ln(x+1)+2.

(I)若曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為1,求實數(shù)m的值;

(II)當m>1時,證明:f(x)>g(x)?x3.

解析(I)略.(II)證法一:因為f(x)=ex+m?x3,g(x)=ln(x+1)+2,f(x)>g(x)?x3等價于ex+m?ln(x+1)?2>0.構造函數(shù)

轉化為證明h(x)min=h(x0)>0.但由于h(x0)=ex0+m?ln(x0+1)?2=0是超越方程,對應的x0難以解出.以下利用零點存在定理,采用設而不求法得最小值h(x0).由于

所以函數(shù)p(x)=h′(x)在(?1,+∞)上單調遞增.又m>1,所以h′(0)=em? 1>0. 故函數(shù) h′(x)在 (?1,+∞)上有唯一零點 x0,且 x0∈ (?1+e?m,0).因為 h′(x0)=0,所以即ln(x0+1)= ?x0?m.當x∈(0,x0)時,h′(x)<0;當 x ∈ (x0,+∞)時,h′(x)>0.從而 h(x)的最小值為h(x0).故

點評此方法轉化為求函數(shù)的最小值,思路雖簡單,但由于最小值h(x0)對應的x0不可求,需利用函數(shù)零點存在定理及設而不求法才可以較巧妙地解決證明問題,對思維及轉化能力的要求相當高.但若妙用函數(shù)型不等式:ex>x+1(x∈R)及l(fā)n(x+1)6 x(x>?1),則證明過程相當快捷簡便.

證法二先證明ex>x+1(x∈R),且ln(x+1)6 x(x> ?1).設 F(x)=ex?x?1,則 F′(x)=ex?1.當x<0時,F′(x)<0;當 x>0時,F′(x)>0,所以 F(x)在(?∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增.所以當x=0時,F(x)取得最小值F(0)=0.所以F(x)>F(0)=0,即ex>x+1(x∈R).所以ln(x+1)6 x(當且僅當x=0時取等號).再證明ex+m?ln(x+1)?2>0.由ex>x+1(x∈R),得ex+1>x+2(當且僅當x=?1時取等號).因為x>?1,m>1,且ex+1>x+2與ln(x+1)6 x不同時取等號,故

綜上可知,當m>1時,f(x)>g(x)?x3.

二、妙用函數(shù)型不等式2

圖2

例3 (2017年佛山二模理科21)設函數(shù)f(x)=aex?xlnx,其中a∈R,e是自然對數(shù)的底數(shù).

(I)若函數(shù)f(x)是(0,∞)上的增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;

解析(I)略.(II)證法一:

時,F(x)min>0,......

余下需要對x就01分類討論,證明過程相對較復雜.

證法二因為

要證f(x)>0即證明:

當 02時,φ′(x)>0,φ(x)遞增所以 φ(x)min=1,因此,當時,有f(x)>0.

點評 本題也可用構造函數(shù)法證明,對要證不等式進行適當變形,即證明:(x>0)設易證 φ(x)min=h(x)max=φ(x)min>h(x)max,故原不等式得證!

(I)若函數(shù)f(x)有零點,求實數(shù)a的取值范圍;

解析(I)略.(II)當時即證:f(lnb)設 t=lnb(因為 b>1)即證:即證:,因為

當且僅當t=1時取等號,又因為

點評解決問題的關鍵首先在于通過換元轉化為證明不等式f(t)=(t>0),再結合不等式結構特征巧妙利用函數(shù)型不等式和即可得證!本題證明也可用構造函數(shù)法證明,將要證不等式進行適當變形,將不等式兩邊分別轉化為兩個函數(shù),通過比較這兩個函數(shù)的最大值、最小值得證.這類同時含有ex,lnx的不等式有時可采用該方法.以上兩題類同2014年全國I理科第21題.

三、妙用函數(shù)型不等式3

圖3

點評 對于二元不等式類型,多采用二元化一元,再恰當構造函數(shù)證明不等式.該不等式可稱之為對數(shù)基本不等式.類似地可證明:已知函數(shù)f(x)=lnx(x>0)則有

該不等式也可稱之為指數(shù)基本不等式.

例6 (2013陜西理科21題)已知函數(shù)f(x)=ex,x∈R

(I)若直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實數(shù)k的值;

(II)設x>0,討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m>0)公共點的個數(shù).

解析(I)(II)略.(III),其證明如下:要證

即證:

又因為a

設m=ea,n=eb,因為 b>a,所以 n>m>0則a=lnm,b=lnn,即證:

即證:

總之,同時含有ex,lnx的函數(shù)不等式的證明?？衫靡陨蠋最惓Ｒ姾瘮?shù)型不等式進行適當轉化變形得證!也可以構造函數(shù)法證明,即將要證不等式進行適當變形為f(x)>g(x),記函數(shù)y=f(x),y=g(x),轉化為證明f(x)min>g(x)max.

進一步的問題是:若f(x)minφ(x)=kx+b>g(x),從而不等式f(x)>g(x)得證!

下面通過例1舉例說明利用”公切線”法證明此類不等式的基本步驟.

四、方法優(yōu)化和拓展

利用”公切線”法證明不等式

例7 (2013年課標II理科21)已知函數(shù)f(x)=ex?ln(x+m).

(1)設x=0是f(x)的極值點,求m,并討論f(x)的單調性;

(2)當m 6 2時,證明:f(x)>0.

解 設 φ(x)=ex,h(x)=ln(x+2)的公切線為y=kx+b.設兩切點分別為:M(m,em),N(n,ln(n+2)).利用切線的斜率得:

化簡得:

得n+1=(n+1)ln(n+2),故n= ?1或n=e?2;當n=?1時,M(0,1),N(?1,0),對應公切線為y=x+1.

點評利用”公切線”法證明函數(shù)型不等式,方法相當精妙!可實現(xiàn)精準放縮,證明方向也相當明確.但此方法只適用于一凸、一凹函數(shù)類型,若兩函數(shù)同為凸函數(shù)或凹函數(shù),可對不等式作適當變形,轉化為一凸、一凹函數(shù)類型,再用”公切線”法證明.

五、方法優(yōu)化的再拓展

常見的y=ex,y=lnx,y=xlnx我們可以放縮為如下一次函數(shù)形式(可用構造法或切線系證明,具體過程此處省略):

我們可把以上的放縮形式稱為此類函數(shù)放縮的“一般式”!筆者已另外撰文詳細舉例說明這幾個放縮式的應用,可以說該放縮法是快速解決函數(shù)不等式壓軸題的通性通法之一!

六、復習備考建議

全國課標卷“導數(shù)在研究函數(shù)中的應用”解答題以多項式函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù))、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的組合表達式為載體,設問方式都是考生熟悉的問題類型(切線問題、單調性問題、極值問題、最值問題、零點問題、恒成立問題、證明不等式問題),重點考查函數(shù)的單調性、極大(小)值、最大(小)值、函數(shù)的零點及不等式證明等主干內容,注重函數(shù)與方程、轉化與化歸、分類討論、數(shù)形結合等思想方法的靈活運用,注重考查考生的數(shù)學思維能力和創(chuàng)新意識.因此,復習中要注重如下幾點:

1.突出主干知識.

導數(shù)試題注重對導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算法則、導數(shù)在研究函數(shù)中的應用等重點內容的考查.因此,要熟練掌握求導公式與求導法則,深化對函數(shù)單調性的認識;要通過有效的變式訓練,形成導數(shù)知識的結構網絡.

2.注重綜合.

深入研究三個二次之間的關系,加強方程根的分布和方程有解問題的研究;利用導數(shù)知識深刻認識三次函數(shù)的對稱中心、零點、極值和最值;函數(shù)單調性是核心性質,單調性的復習應注重導數(shù)法的應用.

3.提煉方法.

復習中要提煉導數(shù)問題的數(shù)學思想方法,注重運用轉化與化歸、數(shù)形結合、分類討論等思想方法處理導數(shù)問題.

4.提升能力.

由于函數(shù)與導數(shù)的解答題經常是壓軸題,綜合性強,難度較大,注重考查理性思維和創(chuàng)新意識,因此,在復習中要掌握解題思路的發(fā)現(xiàn),強化轉化意識,注重分類討論,強化構造函數(shù)解決問題的方法.從對教材中基本初等函數(shù)的組合(所謂函數(shù)的組合就是基本初等函數(shù)的和、差、積、商),利用導數(shù)研究好這些組合函數(shù)的圖像與性質.如y=lnx+x,y=lnx?x,y=xlnx,,y=ex+x,y=ex?x,y=xex,等組合函數(shù)的圖像與性質要熟練掌握.

七、反饋練習

2.求證:當x>0時,有ex>2x+lnx成立.

[1]彭海燕.廣東省佛山市二模數(shù)學分析報告.2017.4

[2]陳鎮(zhèn)民.廣東省廣州市一模數(shù)學分析報告.2017.3