廣東省韶關(guān)市曲仁中學(xué)(512040) 何世洪

源于解題的反思與聯(lián)想 衍生兩個(gè)有用等式

廣東省韶關(guān)市曲仁中學(xué)(512040) 何世洪

一、題目

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中,有這樣一道題:在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c.

(1)若cotA,cotB,cotC成等差數(shù)列,求證:a2,b2,c2成等差數(shù)列.

(2)已知 B=45?,C=60?,a=10√2,求 △ABC的面積和周長(zhǎng).

本題涉及一邊其兩夾角,面積,周長(zhǎng)等之間的關(guān)系,利用正弦定理,余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化,有一定的計(jì)算量和綜合性.該題有多種常規(guī)解法,以下是其中的一種:

(1)證明 因?yàn)閏otA,cotB,cotC成等差數(shù)列,所以cotA+cotC=2cotB,即

二、反思與聯(lián)想

筆者仔細(xì)推敲和反思上述解題中的式子變換,進(jìn)一步剖析它們間的關(guān)系,對(duì)有關(guān)公式進(jìn)行變式和聯(lián)想,獲得了意外的收獲.如在證題過程中的變形:

三、兩個(gè)恒等式

四、妙用

涉及三角形一邊及其兩角的正切或余切、面積和周長(zhǎng)有關(guān)問題,通常是切化弦進(jìn)行三角恒等變換,利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行處理,考察學(xué)生的轉(zhuǎn)換和計(jì)算能力,具有一定的綜合性,這已成為近年來數(shù)學(xué)競(jìng)賽、數(shù)學(xué)高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).但應(yīng)用恒等式(I)、(II)來解,會(huì)有出其不意的妙處,現(xiàn)例舉如下.

1.求三角函數(shù)值或角

圖1

例1(2017年廣州普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(一)理科數(shù)學(xué)第17題)在△ABC中,點(diǎn)P在邊BC 上,∠PAC=60?,PC=2,AP+AC=4.

(1)求 ∠ACP.√

解 (1)根據(jù)等式知,在△APC中,有

(2)由 (1)知,∠APC=60?,△APC 為等邊三角形,AP=AC=2.同樣,在 △APB 中,∠APB=120?,根據(jù)等式,有

例2(1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c,若9a2+9b2?19c2=0,求的值.

解 由

例3(2004年河南省高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題三(1))在非直角△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c,滿足a+c=λb(λ>0),求證:

例4(2014年日本大學(xué)入學(xué)考題)滿足∠B=2∠A和BC=1的△ABC面積最大值時(shí),求cosB的值.

解 因∠B=2∠A,則∠C=π?3A,由

例5(安徽師大附中高三2014年1月聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)卷)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c,若a,b,c成等差數(shù)列,求證:

證明因a,b,c成等差數(shù)列,則a+c=2b,根據(jù)等式(II),

例6 (2011年北京大學(xué)為首的11所著名高校自主招生數(shù)學(xué)試題)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c,若a+b>2c,求證:C 6 60?.

證明由,a+b>2c,得

2.求面積或周長(zhǎng)

(1)求角C的大小;

解(1)C=(過程略).

類似地,也易解2012年江西理科卷第17題:

例9 (2016年全國(guó)I卷理科17題)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c,

(1)求C;

3.求邊

例10(2015年浙江數(shù)學(xué)理科卷第16題)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c,已知

(1)求tanC的值;

(2)若△ABC的面積為3,求b的值.

A:直角不等腰三角形 B:等腰直角三角形

C:等腰不等邊三角形 D:等邊三角形

例12(2005年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試試題)在△ABC中,tanA:tanB:tanC=1:2:3,求

在解題過程中,如果善于反思和聯(lián)想,或許會(huì)獲得一些源于例題但又高于例題的有價(jià)值結(jié)論,這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)高考試題堅(jiān)持“以能力立意為主”的指導(dǎo)思想,遵循“源于課本但又高于課本”的命題理念,從而提高我們高考的備考效率和解題能力.