浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000) 陳少春

例談基于核心素養(yǎng)下的估算能力的培養(yǎng)

浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000) 陳少春

最近筆者拜讀了章建躍主任的《樹(shù)立課程意識(shí)，落實(shí)核心素養(yǎng)》一文，在文中章博士提出數(shù)學(xué)育人的核心是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思維和言語(yǔ)的教育，即經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)的閱讀、運(yùn)算、推理和表達(dá)的訓(xùn)練，使學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)成用數(shù)學(xué)知識(shí)合理解釋直至創(chuàng)造性地處理問(wèn)題的能力.應(yīng)該去掉“非數(shù)學(xué)”的任務(wù)，讓數(shù)學(xué)課的教學(xué)目標(biāo)純粹一些.對(duì)此筆者有些膚淺的感觸，現(xiàn)將一些思考拋出，與同仁分享.

從高等數(shù)學(xué)的角度考慮，估算能力是一個(gè)科研工作者必須具備的一種能力，在思考解決某一問(wèn)題的方法是否可行是需要科研工作者提前有一個(gè)大致的“預(yù)估”，不然會(huì)導(dǎo)致科研工作走彎路、岔路，浪費(fèi)大量的物力、人力.同時(shí)估算能力不是與生俱來(lái)的，是需要后天培養(yǎng)的.因此浙江省高考數(shù)學(xué)《考試說(shuō)明》在運(yùn)算求解能力中明確提出：“能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，并能進(jìn)行近似計(jì)算”.可見(jiàn)“估算”是運(yùn)算能力的重要組成部分，是高考考查的能力之一.估算是以正確的算理和深刻理解研究問(wèn)題的本質(zhì)為基礎(chǔ)，通過(guò)大體估值，合情猜想和特值探路等手段，進(jìn)行粗略、近似地計(jì)算并獲得正確答案的過(guò)程.這是一種更高層次的思維能力，在數(shù)學(xué)解題中滲透估算意識(shí)，有效地避免“小題大做，費(fèi)時(shí)費(fèi)力”的邏輯推理過(guò)程，達(dá)到簡(jiǎn)潔、快速、合理、準(zhǔn)確解題的目的，恰到好處地契合了浙江高考命題倡導(dǎo)的“多考點(diǎn)想，少考點(diǎn)算”的基本理念，同時(shí)為學(xué)生進(jìn)一步到高等學(xué)府做研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).那我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中怎么培養(yǎng)學(xué)生的估算能力呢？

一、培養(yǎng)估算意識(shí)和興趣

1.突出估算的重要性

估算在日常生活中雖然有廣泛的應(yīng)用，但由于教學(xué)的忽視和學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的缺乏，很少引起學(xué)生的注意.教師在教學(xué)中應(yīng)多舉實(shí)例，多加引導(dǎo)，讓學(xué)生明白生活中處處要用到估算：點(diǎn)菜時(shí)事先估計(jì)餐費(fèi)、外出時(shí)估計(jì)費(fèi)用，估計(jì)完成一件工作所需的時(shí)間、裝修預(yù)算、鋪地面需要多少塊磚，估計(jì)樹(shù)的高度、湖面的寬度、樓層的高度等.學(xué)生在這些熟悉的、感興趣的情境中自然而然感受到生活離不開(kāi)估算.另一方面，學(xué)生很向往大學(xué)生活，在平時(shí)的教學(xué)中可以利用蘊(yùn)含估算思想的大學(xué)知識(shí)來(lái)解高中數(shù)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的估算興趣.大學(xué)里微積分是一種重要的思維方法，它起源于極限思維、近似思維，在解決某些數(shù)列不等式放縮問(wèn)題上事半功倍，過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.

例1 (2014年陜西理21)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)令g1(x)=g(x)，gn+1(x)=g(gn(x))，n∈N*,求gn(x)的表達(dá)式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)n∈N*，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明.

解：(1)(2)略；

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

2.凸顯估算的優(yōu)越性

長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)生受數(shù)學(xué)計(jì)算精確性的影響，看到題目，想到的是筆算，很少想到估算.教師可設(shè)計(jì)一些既可筆算，又可估算的題目，讓學(xué)生用筆算與估算進(jìn)行解答，通過(guò)兩種方法的對(duì)比，形成強(qiáng)烈的反差，從而凸顯估算的優(yōu)越性，從內(nèi)心上給學(xué)生以巨大的沖擊.

|fk(a2)-fk(a1)|+|fk(a3)-fk(a2)|+…+

A.I1

C.I1

二、打?qū)崝?shù)學(xué)基礎(chǔ)，掌握基本方法

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要性不言而喻，且現(xiàn)行高中教學(xué)改革和教學(xué)考試考查中對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的理解和把握越來(lái)越引起廣泛的重視．根深之樹(shù)不易折，泉深之水不會(huì)涸.因此在課堂上就需要把基礎(chǔ)知識(shí)講清講透，通過(guò)舉一反三，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解．

例4 (2015年浙江理7)存在函數(shù)f(x)滿足，對(duì)任意x∈R都有( ).

A．f(sin2x)=sinxB．f(sin2x)=x2+x

C．f(x2+1)=|x+1|

D．f(x2+2x)=|x+1|

這個(gè)問(wèn)題考查的是函數(shù)周期性和對(duì)稱性的性質(zhì)：若函數(shù)g(x)是周期為T(mén)的周期函數(shù)，則f(g(x))也是周期為T(mén)的周期函數(shù)；若函數(shù)g(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(g(x))圖像也關(guān)于直線x=a對(duì)稱.若學(xué)生掌握這個(gè)性質(zhì)，上面那個(gè)選擇題就可以估算“秒殺”.

例 (2013年浙江理8)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1，2)，則( ).

A．當(dāng)k=1時(shí)，f(x)在x=1處取到極小值

B．當(dāng)k=1時(shí)，f(x)在x=1處取到極大值

C．當(dāng)k=2時(shí)，f(x)在x=1處取到極小值

D．當(dāng)k=2時(shí)，f(x)在x=1處取到極大值

這個(gè)問(wèn)題考查的是函數(shù)極值的概念，若學(xué)生對(duì)極值概念理解到位，那么選項(xiàng)C呼之欲出.

三、有效積累和總結(jié)估算策略

估算作為一種能力，集中表現(xiàn)在估算過(guò)程中需要運(yùn)用各種有效策略，可以說(shuō)“幾乎不存在不用策略的估算”，有效的估算，都會(huì)或多或少用到一定的策略與方法.常用的估算策略有：

1.大體估值：比較大小，證明不等式問(wèn)題

例5 (2016年浙江理8)已知實(shí)數(shù)a,b,c.

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，則a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，則a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，則a2+b2+c2<100

2.特值探路：參數(shù)范圍、離散問(wèn)題

A.11B.9C.7D.5

例8 (2009年天津卷理10)0(ax)2的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則( ).

A.-1

C.1

3.合情猜想：不等式、最值問(wèn)題

例9 (2016年浙江理14)在ΔABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是 .

例11 設(shè)x,y,z>0，滿足xyz+y2+z2=8，則log4x+log2y+log2z的最大值是．

解：由題xyz+y2+z2=8知y、z的數(shù)學(xué)邏輯地位是等價(jià)的，故可猜想當(dāng)y=z時(shí)，log4x+log2y+log2z取到最大值，這時(shí)log4x+log2y+log2z=

合情猜想很多老師和同學(xué)認(rèn)為這個(gè)方法不嚴(yán)謹(jǐn)，確實(shí)有時(shí)候我們的猜想是錯(cuò)誤的，但是筆者覺(jué)得其實(shí)是體現(xiàn)一個(gè)學(xué)生的“數(shù)感”，東北師范大學(xué)史寧中說(shuō)過(guò)：直覺(jué)思維在我們的數(shù)學(xué)研究中占有非常重要的地位，很多創(chuàng)新都是產(chǎn)生于直覺(jué).為了能鼓勵(lì)學(xué)生大膽、真實(shí)地估算，教師對(duì)估算結(jié)果的要求應(yīng)該寬容一些，只要學(xué)生估算的答案在一定的合理范圍之內(nèi)，就應(yīng)該得到肯定.

思想上重視，行動(dòng)上落實(shí)，習(xí)慣上強(qiáng)化，一般性的目標(biāo)一定可以實(shí)現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)估算能力的培養(yǎng)也是一樣，良好的數(shù)學(xué)估算意識(shí)養(yǎng)成，需要一個(gè)過(guò)程，而形成的關(guān)鍵是時(shí)間，因?yàn)楦鶕?jù)科學(xué)家研究表明，一個(gè)好習(xí)慣、好意識(shí)的養(yǎng)成需要21天，90天的重復(fù)會(huì)形成穩(wěn)定的習(xí)慣或意識(shí)，所以一個(gè)觀念，如果被別人或自己驗(yàn)證21次以上，它一定會(huì)形成你的信念或意識(shí)．例如采用《好題本》(課堂和課外結(jié)合)收集好的估算題，做個(gè)有心人，那么提升數(shù)學(xué)估算能力和水平亦是指日可待.正所謂靜待花開(kāi)，芬芳自來(lái).