陳玉奇

(江蘇省姜堰中等專業(yè)學(xué)校,江蘇 泰州 225500)

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光滑拋物面中細(xì)桿平衡問題的研究

陳玉奇

(江蘇省姜堰中等專業(yè)學(xué)校,江蘇 泰州 225500)

利用力學(xué)知識結(jié)合數(shù)學(xué)推導(dǎo),得出了均質(zhì)細(xì)桿在光滑拋物面中的平衡條件和平衡位置,并對細(xì)桿的穩(wěn)定平衡位置進(jìn)行了較為詳細(xì)的證明．

拋物線; 均質(zhì)細(xì)桿; 穩(wěn)定平衡

拋物線是一種非常重要的圓錐曲線,很多資料對拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用的研究已經(jīng)達(dá)到了相當(dāng)完美的程度,但是拋物線的力學(xué)性質(zhì)對我們來講卻比較陌生．如一根均質(zhì)細(xì)桿放置于光滑拋物面內(nèi),其受力情況如何?桿的平衡位置有何特點(diǎn)?本文將對此進(jìn)行分析研究．

1 細(xì)桿在拋物面中的平衡條件及位置的分析

圖1

將一根長為L的均質(zhì)細(xì)桿AB放入光滑拋物面內(nèi),如圖1,現(xiàn)分析細(xì)桿的受力情況．

設(shè)拋物面的軸截面方程為x2=2py,式中p為拋物線的焦準(zhǔn)距,且p>0,并設(shè)細(xì)桿只在這條拋物線內(nèi)運(yùn)動;細(xì)桿AB所在的直線方程為y=kx+b;細(xì)桿AB與拋物線的兩個交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2)．

細(xì)桿AB的受力情況如圖1所示,該細(xì)桿受A、B兩處的彈力和自身的重力而平衡,根據(jù)三力匯交原理可知,桿平衡時,彈力N1、N2和重力G的作用線必相交于一點(diǎn),記為D．

A點(diǎn)和B點(diǎn)的切線斜率分別為

所以AD所在的直線方程為

(1)

BD所在的直線方程為

(2)

聯(lián)立(1)、(2)式得兩直線交點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為

(3)

由前面分析可知,細(xì)桿中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與xD相等,即

(4)

pk=2kb.

(5)

可知(5)式成立是細(xì)桿受力平衡的充要條件．

具體有以下幾種情況.

(1)k=0,(5)式恒成立,與L無關(guān),即細(xì)桿水平放置,必然平衡．

(2)k→∞,細(xì)桿直立于拋物線頂點(diǎn)豎直放置,只受二力而平衡．

又因?yàn)?/p>

(6)

運(yùn)用韋達(dá)定理可求得

代入(6)式,有

(7)

綜合以上分析可知:

(1) 當(dāng)L≤2p時,細(xì)桿只有兩個平衡位置,即k=0時細(xì)桿水平放置(該處是穩(wěn)定平衡位置,且當(dāng)L=2p時,細(xì)桿過拋物線焦點(diǎn));k→∞時細(xì)桿豎直放置．

2 穩(wěn)定平衡位置的證明

設(shè)細(xì)桿的質(zhì)量為m,以拋物線頂點(diǎn)為勢能零點(diǎn),則桿的勢能為

(8)

(9)

系統(tǒng)勢能在穩(wěn)定平衡的平衡位置處有極小值.

(1) 當(dāng)k→∞時,細(xì)桿直立于拋物線頂點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡,不必討論．

(2) 當(dāng)k不趨于∞時,將(9)式中的V對k求導(dǎo)得

分析可得以下幾種情況:

(10)

圖2

由以上分析可知,當(dāng)L≤2p時,細(xì)桿只有兩個平衡位置,其中k=0(水平放置)是穩(wěn)定平衡位置,k→∞(豎直放置)是不穩(wěn)定平衡位置．

圖3

3 用拋物線的光學(xué)性質(zhì)證明細(xì)桿的平衡特點(diǎn)

由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過拋物線反射后,反射光線都平行于拋物線的對稱軸．

我們可將細(xì)桿看成經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的光線,此時應(yīng)有L≥2p．

圖4

如圖4,設(shè)AC、BE是過A、B兩點(diǎn)且與y軸平行的直線,可視為反射光線．由光的反射定律可知,AD、BD分別是∠CAB和∠EBA的角平分線,而AC∥BE,則可知∠DAB+∠DBA=90°,從而∠ADB=90°,△ADB為直角三角形．

過D點(diǎn)作DF平行于y軸,與AB交于F點(diǎn),可證得∠ADF=∠DAF,∠FDB=∠DBF,從而AF=FD=FB,故F是直角三角形ADB斜邊AB上的中點(diǎn)(AB的重心),即細(xì)桿在A、B兩處所受彈力的作用線和自身重力的作用線交于點(diǎn)D．由三力匯交原理可知,細(xì)桿此時處于平衡狀態(tài)．

由此可得,細(xì)桿只要過拋物線焦點(diǎn)傾斜放置必然平衡,且該位置還是穩(wěn)定平衡位置．

4 結(jié)論

將一根長為L的均質(zhì)細(xì)桿放入開口向上的光滑拋物面內(nèi),設(shè)細(xì)桿只在過軸截面的拋物線內(nèi)運(yùn)動，桿的平衡情況如下.

(1) 如果細(xì)桿的長度L小于或等于拋物線的通徑,即L≤2p時,細(xì)桿只有兩個平衡位置,即k=0時細(xì)桿水平放置,該處是穩(wěn)定平衡位置,且當(dāng)L=2p時細(xì)桿過拋物線焦點(diǎn);k→∞時細(xì)桿豎直放置,但不是穩(wěn)定平衡位置．

2016-12-12)