周化海 黃紹書

(六盤水市第23中學,貴州 六盤水 553001)

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·復習與考試·

一道靜摩擦力試題的多種正解和誤解分析

周化海 黃紹書

(六盤水市第23中學,貴州 六盤水 553001)

對網上激烈熱議的一道關于靜摩擦力的測試題進行詳細分析,并給出其多種正確解法及錯誤解法．同時,對一些相關問題予以說明．

靜摩擦力; 分析; 二次旋轉; 二面角; 投影面積

1 問題及背景

圖1

題目.在水平桌面上放置一正方形薄木板abcd,在木板的正中間放一質量為m的木塊．先以木板的ad邊為軸緩慢將木板轉θ角,再以ab邊為軸將木板向上緩慢轉θ角,如圖1所示．整個過程中木塊沒有滑動,則轉動后木塊受到的摩擦力大小為

這是網上最近激烈熱議的一道關于靜摩擦力的測試題．

2 分析的思路

這是一道看似簡單,實則是頗具難度的試題．它對數學知識的儲備要求較高,必須要有一定的空間想象力和二面角的思維,并能正確求出涉及到的二面角,才能給出正確的結果．

這道練習題的求解關鍵通常是找出木板經二次旋轉之后與水平面之間的夾角,即木板與水平面構成的空間二面角．

3 正確的解析

現將討論的幾種比較好的正確解法進行梳理,以飧讀者．

解法1：設木塊在初始平面1的位置O到正方形各邊的距離為L,則

木板第1次繞ad轉θ角到平面2,令這時Oa與平面1的夾角為α,如圖2所示，那么

圖2

圖3

如圖3所示，木板第2次繞ab轉θ角到平面3時,Oa與平面2的夾角顯然亦為α,因此Oa與平面1的夾角必為2α．所以,木塊此時受到的摩擦力大小為

f=mgsin2α=2mgsinαcosα=

從而,選項(D)正確．

解法2：設木板的初始位置為平面1,并令設正方形的邊長為L,則正方形的面積為

S=L2.

木板第1次繞ad轉θ角到平面2時,正方形在平面1的投影面積為

S1=Scosθ=L2cosθ.

木板第2次繞ab轉θ角到平面3時,正方形在平面2的投影面積亦為

S2=Scosθ=L2cosθ.

因此,此時正方形在平面1的投影面積為

S3=S2cosθ=L2cos2θ.

設平面3與水平面1之間夾角為φ,則有

S3=L2cosφ，

那么

cosφ=cos2θ.

所以,木塊此時受到的摩擦力大小為

同理,選項(D)正確．

圖4

解法3：設木板的初始位置為平面 1，第1次繞ad轉θ角的位置為平面2，第2次繞ab轉θ角的位置平面3，且平面3與水平面1之間夾角為α．令木塊重力在各個平面上的法向投影分別為N1、N2、N3,木塊受到的摩擦力為f,如圖2—圖4所示．那么

N1=mg，

N2=N1cosθ=mgcosθ，

N3=N2cosθ=mgcos2θ.

且N32+f2=(mg)2，

所以,選項(D)正確．

這一解法避開求木板經2次旋轉后與水平面之間的夾角α．但求出摩擦力f后,可根據f=mgsinα，

得到平面3與水平面1之間夾角α滿足

圖5

解法4：設木板的初始位置平面的法向量OZ為單位長度1,第1次轉動平面時法向量轉θ角變?yōu)镺Q,第2次轉動平面時法向量亦轉θ角變?yōu)镺P,如圖5所示．令OP與OZ的夾角為α角,那么

所以

因此

因而,木塊此時受到的摩擦力大小為

故,選項(D)正確．

這4種解法簡繁各異,但都能達到殊途同歸的效果．

4 隱蔽的錯誤

圖6

在討論中,還給出一些比較隱蔽的錯誤解法,我們摘取其中比較典型的兩例,供同行參考,以求共同提高．

錯解1：設木板先后繞ad、ab轉動θ角之后與水平面之間的夾角為α,如圖6所示．那么

因此

所以,木塊受到的摩擦力大小為

從而得出選項(B)正確．

錯解2：設正方形木板的邊長為L．那么,木板以ad邊為軸將木板轉θ角后,則b點比a點高Lsinθ;木板再以ab邊為軸將木板轉θ角后,同理c點比b點高Lsinθ．令此時ac與水平面之間的夾角α,那么

因此,木塊受到的摩擦力大小為

因而,選項(B)正確．

這兩種分析方法的錯誤隱蔽性,在于木板經二次轉動之后,均認為正方形的b點與d點等高．

5 思考與結語

物理教學中必須加強應用數學知識解決物理問題的能力培養(yǎng),這是培養(yǎng)學生物理核心素養(yǎng)的要求所在,這也就要求物理教師有足夠的數學知識儲備．

眾多物理QQ群已經成為物理教師專業(yè)發(fā)展的網絡平臺,通過這一平臺能使教師的思想和專業(yè)素養(yǎng)都較快的提升．

本文是物理QQ群全體教師討論的結晶,筆者僅是給出其中一種簡易解法的談論者之一．在此,特別感謝四川鄧學軍老師、湖北許文老師、江西涂德新老師以及北京王小老師的有益討論．

2017-01-11)