文︳廖曉嵐

換個(gè)角度理解

文︳廖曉嵐

人教版六年級(jí)上冊(cè)中的數(shù)學(xué)廣角“數(shù)與形”中有如下例題：計(jì)算

教材使用的方式是數(shù)形結(jié)合（如圖所示）。

但圖形中始終存在的那一小塊扇形或那一小段線段不在例題所示的加數(shù)之內(nèi)，也就等于直觀地告訴學(xué)生，總和不等于1。無限是不能用直觀表達(dá)出來的，學(xué)生通過觀察圖形，認(rèn)為不等于1是非常自然的，甚至許許多多的成年人也會(huì)認(rèn)為不等于1，何況小學(xué)生呢？

有人這樣考慮：

=…

這樣不斷下去，似乎能說明問題。但學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，這里的每一個(gè)加法算式的結(jié)果都是1，但這里的任何一個(gè)加法算式都與題目中的加法算式不同。

當(dāng)然，我們可以說一句：這是極限。但用一個(gè)“極限”對(duì)付過去，與其說是解決了問題，不如說是回避或拒絕了討論——憑什么極限就要相等？因此，如何使小學(xué)生對(duì)例題有一個(gè)比較清晰的認(rèn)識(shí)，老師們需要?jiǎng)觿?dòng)腦子。

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者試圖帶領(lǐng)學(xué)生換個(gè)角度理解問題。

首先，我們要認(rèn)識(shí)，不是隨便無限多個(gè)數(shù)都可以相加的。比如1+2+3+4+5+6+…就沒有意義。所謂沒有意義，是說你不可能找到一個(gè)數(shù)，能作為這個(gè)加法算式的和。這個(gè)不難理解：隨你找個(gè)什么數(shù)，這個(gè)和式都會(huì)超過，而且是遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超過你所找的那個(gè)數(shù)。

第三，我們來確定這個(gè)和?；蛘哒f，我們要找一個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)作為例題中這個(gè)無限多個(gè)數(shù)相加的加法算式的和是合理的。

顯然，這個(gè)數(shù)不應(yīng)該大于1。事實(shí)上，以上圖中的圓形圖形為例。圓的面積用1表示，則上述加法算式的每一個(gè)加數(shù)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)小扇形。容易理解，所有的小扇形都在圓內(nèi)，都是從圓中分割出來的，沒有重復(fù)。它們的和不可能超過圓。

此時(shí)，還有兩個(gè)可能，或者有一個(gè)小于1的數(shù)可以作這個(gè)和，或者1就是這個(gè)和。下面我們來說明，任何一個(gè)小于1的數(shù)，都是不可能作這個(gè)和的。

容易知道，這樣的分析，不僅僅對(duì)這兩個(gè)數(shù)管用，對(duì)任何一個(gè)小于1的數(shù)a，我們都可以確定，這樣不斷地加下去，和總會(huì)超過a的。

從上面的討論可以看出，如果我們承認(rèn)有些情況下，無限多個(gè)數(shù)也是可以相加的，比如，我們承認(rèn)是有意義的，那么，我們就必須承認(rèn)

必須說明的是，由于這個(gè)算式涉及無限，而無限對(duì)于小學(xué)生來說，是很難理解的。因此，無論采用什么樣的辦法，我們都不太可能將這個(gè)算式的理解變得太簡(jiǎn)單。從這個(gè)意義上講，也許最好的辦法是：在小學(xué)里暫時(shí)不討論這個(gè)問題。

（作者單位：婁底市第六中學(xué)）