文︳曠生貴

經(jīng)歷過程把握本質(zhì)
——一道工程問題教學(xué)的啟示

文︳曠生貴

【教學(xué)片段】

師出示例題：修一條道路，如果甲隊(duì)單獨(dú)修，12天能修完。如果乙隊(duì)單獨(dú)修，18天才能修完。如果兩隊(duì)合修，多少天能修完？

學(xué)生閱讀題目，弄清楚單獨(dú)修、合修的意思，找出題目給出的條件及要求的問題后獨(dú)立解答。有學(xué)生提出：“要求兩隊(duì)合修的工作時間，要知道兩隊(duì)合修的工作總量和兩隊(duì)工作效率之和?？墒穷}目中并沒有告訴我們兩隊(duì)合修的工作總量是多少。是不是少了一個條件呢？”

師：題目中沒有告訴這條道路的長度，我們該怎么辦呢？

生：可以假設(shè)這條道路的長度。

師：那就先假設(shè)這條道路的長度，并根據(jù)你們假設(shè)的長度求出兩隊(duì)合修多少天能完成。（提示：為了計算的方便，建議道路的長度取整千米數(shù)）

學(xué)生獨(dú)立思考后，教師組織學(xué)生交流。

生1：我假設(shè)道路的長度是18千米，那么：18÷（18÷12＋18÷18）=7.2（天）。

生2：我假設(shè)道路的長度是30千米，那么：30÷（30÷12＋30÷18）=7.2（天）。

生3：我假設(shè)道路的長度是36千米，那么：36÷（36÷12＋36÷18）=7.2（天）。

生4：我假設(shè)道路的長度是1千米，那么：1÷（1÷12＋1÷18）=7.2（天）。

師（對生4）：請你說說每步計算的含義。

生4：1是假設(shè)這條道路長1千米，1÷12是甲隊(duì)的工作效率，1÷18是乙隊(duì)的工作效率，7.2天是兩隊(duì)合修的時間。（板書：總長度÷（甲隊(duì)的工作效率＋乙隊(duì)的工作效率）=合修的時間）

師：仔細(xì)比較上述4位同學(xué)的算法，你們有什么想說的嗎？

生5：他們都是用“總長度÷（甲隊(duì)的工作效率＋乙隊(duì)的工作效率）=合修的時間”。

生6：他們假設(shè)的這條道路的總長度是不同的，為什么兩隊(duì)合修的時間相同？

師：是?。槭裁磿@樣呢？總天數(shù)和總路長有關(guān)系嗎？為什么總路長改變，得到的天數(shù)卻是不變的？這個問題中什么東西是不變的？請同學(xué)們小組交流討論。

生7：因?yàn)楣ぷ骺偭繑U(kuò)大了，工作效率也在擴(kuò)大，而且擴(kuò)大的倍數(shù)相同，所以時間不變。

生8：無論道路多長，甲隊(duì)和乙隊(duì)每天修的分別占總長的幾分之一沒有變。

師：你們同意生8的說法嗎？

生：……

師：（小結(jié)）因?yàn)閮蓚€隊(duì)單獨(dú)修完這條路所用的時間沒變，如果工作總量改變，那么每個隊(duì)單位時間內(nèi)完成的工作量也就變了。但是單位時間內(nèi)所完成的工作量占總工作量的分率（兩隊(duì)每天修的長度占總長度的幾分之一）沒有變化。如果沒有具體道路的長度，這道題還能解答嗎？

生：可以把這條道路的總長度看作單位1，題目要求多少天完成任務(wù)，實(shí)際上就是求工作總量1中含有多少個單位時間內(nèi)所占總量的分率。

我的思考

數(shù)學(xué)教學(xué)需要讓學(xué)生經(jīng)歷探究、思考、抽象、預(yù)測、推理、反思等過程，逐步達(dá)到對數(shù)學(xué)知識的意會、感悟，并積累分析和解決問題的基本活動經(jīng)驗(yàn)。這些基本活動經(jīng)驗(yàn)是教師沒有辦法教給學(xué)生的，必須由學(xué)生通過大量的數(shù)學(xué)活動逐步獲得。上述教學(xué)片段中，當(dāng)學(xué)生說“可以假設(shè)這條道路的長度”后，教師順著學(xué)生的想法，讓學(xué)生利用自己假設(shè)的數(shù)據(jù)嘗試解決問題。學(xué)生通過假設(shè)與計算，發(fā)現(xiàn)總路長不同，算出的天數(shù)都是相同的。接著教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“總天數(shù)和總路長有關(guān)系嗎？為什么總路長改變，得到的天數(shù)卻是不變的？這個問題中什么東西是不變的？”學(xué)生通過交流討論，發(fā)現(xiàn)兩隊(duì)每天修的長度占總長度的幾分之一是不變的。因此，很自然地想到可以把道路長度假設(shè)成1。學(xué)生經(jīng)歷了從具體數(shù)量逐步抽象的過程，對提高問題解決的能力至關(guān)重要。教學(xué)中，教師把重點(diǎn)放在探究假設(shè)法的過程中，組織學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、獨(dú)立思考、交流討論，找出隱藏其后的數(shù)量關(guān)系。特別是通過“假設(shè)數(shù)據(jù)不同，得到結(jié)果相同”的討論，拓寬了學(xué)生對工程問題的理解，找到這一問題背后的數(shù)學(xué)模型。這樣的教學(xué)既讓學(xué)生掌握了解題思路和解題方法，又讓學(xué)生弄清了假設(shè)不同的數(shù)據(jù)得出相同結(jié)果的原因，更鍛煉了學(xué)生的抽象、歸納、概括能力。

（作者單位：攸縣教育局）