云南省玉溪第一中學(xué)(653100) 武增明

空間想象與構(gòu)造圖形交替思維
——幾則空間想象能力的考查到了極致的關(guān)于球的立幾題

云南省玉溪第一中學(xué)(653100) 武增明

在高考、競(jìng)賽中,經(jīng)常出現(xiàn)短小精悍、新穎別致、設(shè)計(jì)獨(dú)特、能力立意高、很靈活的關(guān)于球的立幾小題,以考查同學(xué)們的空間想象能力和構(gòu)造圖形的能力,可以說(shuō)達(dá)到淋漓盡致的程度.現(xiàn)采擷幾例加以分析,以期對(duì)提高同學(xué)們的空間想象能力和構(gòu)造圖形的能力有所幫助,同時(shí)也供同仁教學(xué)參考.

例1 (2011年全國(guó)卷II理科11(文12)題)已知平面α截一球面得圓M,過(guò)圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N.若該球面的半徑為4,圓M的面積為4π,則圓N的面積為( )

A. 7πB. 9πC. 11πD. 13π

解設(shè)球面的球心為O,圓M和圓N的公共弦為BC.過(guò)點(diǎn)M作AM⊥BC,因?yàn)镸O,MN,MA都垂直BC,所以MO,MN,MA共面.因?yàn)椤螻MA=60°,∠OMA=90°,所以∠OMN=30°,如圖1.在Rt△OMC中,

圖1

評(píng)注(1)通過(guò)空間想象,畫出符合題意的示意圖,是快速破解此題的一個(gè)重要關(guān)鍵.(2)圓N的劣弧BC在球面內(nèi),但這與解答此題無(wú)關(guān).

例2 已知球O的半徑為2,圓O1,O2,O3為球O的三個(gè)小圓,其半徑分別為若三個(gè)小圓所在的平面兩兩垂直且公共點(diǎn)為P,則OP=____.

圖2

評(píng)注(1)此題中的點(diǎn)P在球O面外.(2)此題要求我們要有較強(qiáng)的空間想象能力,這樣才能把立體圖呈現(xiàn)在頭腦中,由此并畫出相應(yīng)的立體圖,進(jìn)而得以獲解.(3)要直接畫出立體實(shí)圖,困難很大.

例3 在一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體,并且能使正方體在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則該紙盒內(nèi)正方體棱長(zhǎng)的最大值是___.

分析此題若直接求解,困難非常大,若借助正四面體的內(nèi)切球來(lái)解答,會(huì)收到意想不到的效果.其思路是,先求出正面體的內(nèi)切球的半徑,然后再求球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng),這時(shí)的正方體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng),即為盒內(nèi)正方體棱長(zhǎng)的最大值.

解設(shè)正四面體各面的面積為S,高為h,其內(nèi)切球的半徑為R,則由三棱錐的等體積法得,

設(shè)此正四面體內(nèi)切球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a,則即紙盒內(nèi)正方體棱長(zhǎng)的最大值是

評(píng)注(1)想到正四面體內(nèi)切球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng),是破解此題的關(guān)鍵.(2)解答完此題后,我們更進(jìn)一步掌握球內(nèi)接的長(zhǎng)方體或正方體在其球內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng).

例4(2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆維吾爾自治區(qū)預(yù)賽試題)已知半徑為r的球和半徑為R的兩個(gè)相切的球都相切,且它們都與大小為60°的二面角的兩個(gè)半平面相切,則

解析設(shè)半徑為R的兩個(gè)球的球心為O1,O2,半徑為r的球的球心為O3,通過(guò)空間想象,把符合題設(shè)的立體圖呈現(xiàn)在腦海中,由此畫出簡(jiǎn)要的立體圖,如圖3.依題意知,點(diǎn)O1,O2,O3確定的平面平分已知二面角,且點(diǎn)O1,O2,O3到二面角的距離分別為2R,2R,2r.過(guò)點(diǎn)O3作O3H⊥O1O2,垂足為H,則O3H=2R?2r,O1O3=O2O3=R+r.所以O(shè)1H=HO2=R.在Rt△O1HO3中,

圖3

評(píng)注要把符合題意的立體圖全部畫出來(lái),困難是巨大的,也沒有這個(gè)必要.

在立體幾何學(xué)習(xí)中,需要我們有較好的空間想象能力,這樣我們才能把立體圖呈現(xiàn)在頭腦中,進(jìn)而畫出簡(jiǎn)要的立體圖或詳細(xì)完整的立體圖,才有可能獲解.簡(jiǎn)單地說(shuō),解決型如上面所例舉到的那類問題的有效思維途徑是空間想象與構(gòu)造圖形交替思維.

例5 棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上,E,F,G分別為AB,AD,AA1的中點(diǎn),則平面EFG截球O所得圓的半徑為____.

圖4

圖5

解析設(shè)球O的半徑為R,則依題意得(2R)2= 22+22+22?R2=3.

評(píng)注(1)要把符合題意的立體圖全部畫出來(lái),困難是很大的,也沒有這個(gè)必要.(2)在解答此題時(shí),需要一半空間想象一半畫圖.(3)在解答此題時(shí),要想到平面EFG截球O所得圓與等邊三角形EFG的外接圓是同心圓.

例6 三個(gè)半徑都是1的球放在一個(gè)圓柱內(nèi),每個(gè)球都接觸到圓柱的底,則圓柱的底面圓半徑的最小值是( )

解析問題可轉(zhuǎn)化為,三個(gè)半徑都是1的小圓放在一個(gè)大圓內(nèi),三個(gè)小圓兩兩外切,求大圓半徑的最小值.

當(dāng)且僅當(dāng)三個(gè)小圓兩兩外切,且與大圓內(nèi)切時(shí),大圓半徑最小,設(shè)此時(shí)大圓的半徑為R.設(shè)三個(gè)球的球心分別為O1,O2,O3,即三個(gè)小圓的圓心分別為O1,O2,O3,設(shè)大圓的圓心為O,如圖6.大圓的圓心O是等邊三角形O1O2O3的外心(“四心”重合),于是故選A.

圖6

評(píng)注(1)要把立體圖畫出來(lái),很難,也沒有這個(gè)必要.(2)解答此題時(shí),關(guān)鍵是通過(guò)空間想象后把問題作等價(jià)轉(zhuǎn)化.

例7 (2016年高考全國(guó)卷III文科11(理科10))在封閉的直三棱柱ABC?A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是( )

解析首先考慮球與封閉的直三棱柱ABC?A1B1C1的三個(gè)側(cè)面相切,此時(shí)球的半徑R等于直角三角形A1B1C1的內(nèi)切圓的半徑,如圖7,這時(shí)R=2.而AA1=3,因此,若R=2,則封閉的三棱柱ABC?A1B1C1容納不下球,從而考慮球與封閉的三棱柱ABC?A1B1C1的兩底面都相切,此時(shí)球的半徑R最大為這時(shí)球的體積為故選B.

圖7