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        正四面體外接球和內(nèi)切球的半徑的求法

        2008-02-23 01:43:14李鳳華
        關(guān)鍵詞:正四面體高線棱長(zhǎng)

        李鳳華

        題 已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a,求其外接球的半徑R和內(nèi)切球的半徑r.

        分析 如圖1,因?yàn)檎拿骟wABCD的外接球的球心O到點(diǎn)B,C,D的距離相等,所以O(shè)在平面BCD內(nèi)的射影O1到點(diǎn)B,C,D的距離也相等. 又因?yàn)樵谡拿骟wABCD中△BCD是正三角形,所以O(shè)1是△BCD的中心,進(jìn)而在正四面體ABCD中,有AO1⊥平面BCD,所以球心O在高線AO1上;同理:球心O也在其它面的高線上. 又正四面體ABCD中各面上的高都相等,所以,由OA=OB=OC=OD,得:點(diǎn)O到正四面體各面的距離相等,所以點(diǎn)O也是正四面體ABCD的內(nèi)切球的球心. 這樣,正四面體的內(nèi)切球的球心與外接球的球心重合. 記正四面體ABCD的高為h,則 . 因此,只要求出r和R中的一個(gè),便可求出另一個(gè).

        注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”

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