廣東省惠州市第一中學(xué)高中部(516001) 李曉波

例談含參不等式恒成立問題的求解策略*

廣東省惠州市第一中學(xué)高中部(516001) 李曉波

新課標(biāo)下的高考越來越注重對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)的考察,恒成立問題便是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑,它以“參數(shù)處理”為主要特征,往往與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等有關(guān),在解決這類問題的過程中滲透著換元、化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法,在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用．解決這類問題,主要是運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,把復(fù)雜的,不熟悉不規(guī)范的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式化、簡單的問題[1].筆者認(rèn)為,不等式恒成立問題的本質(zhì),就是求最值問題.下面結(jié)合典型例題對(duì)恒成立問題進(jìn)行歸類解析.

一．直接求函數(shù)最值

(1)若不等式f(x)＞A在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min＞A(或者f(x)的下界大于A)

(2)若不等式f(x)＜B在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max＜B(或者f(x)的下界大于B)[2]

下面分三種常考類型進(jìn)行分類說明.

1.一次函數(shù)

例1對(duì)于任意x∈[?3,1],不等式(2a+1)x+a+2＞0恒成立,求a的取值范圍.

2.二次函數(shù)

含參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題,如果將不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程,再采用根的判別式、最值、特殊值和對(duì)稱軸等性質(zhì)可使問題順利解決[3].

例2若不等式(m?1)x2+(m?1)x+2＞0的解集范圍是R,求m的范圍.

解析在本題中二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m因此需要分別討論:

當(dāng)m?1=0時(shí),則f(x)=2＞0恒成立,因此m=1,當(dāng)m?1≠0時(shí),有:m?1＞0且Δ=(m?1)2?8(m?1)＜0,因此m∈(1,9).所以m∈[1,9].

3.其他函數(shù)

例4(2012湖南高考卷)已知函數(shù)f(x)=eax?x,其中a≠0,則對(duì)于一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.

令g(t)=t?tlnt,g′(t)=?lnt.當(dāng)0＜t＜1時(shí),g′(t)＞0,g(t)單調(diào)遞增;當(dāng)t＞1時(shí),g′(t)＜0,g(t)單調(diào)遞減.故當(dāng)t=1時(shí),g(t)取最大值g(1)=1.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即a=1時(shí),①式成立.綜上所述,a的集合為{1}.

評(píng)注本題利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值,從而解決恒成立問題.對(duì)一切x∈R,f(x)≥1恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)min≥1,從而得出a的取值集合.

二、參變分離

例5(2008高考湖北卷)若在(?1,+∞)上是減函數(shù),則b的取值范圍是( )

A. [?1,+∞) B. (?1,+∞)

C. (?∞,?1) D. (?∞,?1)

解析由題意可知f′(x)=?x+≤ 0,在x∈[?1,+∞)上恒成立,即b≤x(x+2)=(x+1)2?1在x∈(?1,+∞)上恒成立,由于x≠?1,所以b≤?1.

評(píng)注選擇參變分離的主要保證是可以把參數(shù)分離在一邊,并且分離后可求出函數(shù)的最值.運(yùn)用參變分離時(shí),把不等式中的參數(shù)a與未知數(shù)x完全分離出來,得到不等式a＞f(x)或a＜f(x),則:(1)a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min;(2)a＞f(x)恒成立?a＜f(x)max,運(yùn)用參變分離時(shí),若不能把不等式中的參數(shù)a與未知數(shù)x完成分離出來,得到的是一個(gè)函數(shù)g(a),通常可以整體處理.

f(x)＜g(a)(a為參數(shù))恒成立?g(a)＞f(x)max;f(x)＞g(a)(a為參數(shù))恒成立?g(a)＜f(x)min.

有些分離后需借助“洛必達(dá)法則”進(jìn)行求解.

例6 (2016年全國1卷理21題)已知函數(shù)f(x)= (x?2)ex+a(x?1)2有兩個(gè)零點(diǎn).求a的取值范圍.

因此,當(dāng)?a＜0即a＞0時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),所以a的取值范圍為(0,+∞).

評(píng)注[4]本題若不進(jìn)行參變分離的話,分類的情況比較多,討論的過程比較復(fù)雜,容易丟解或者漏解,以致于花費(fèi)大量時(shí)間還容易解錯(cuò).解法在參數(shù)與變量分離后,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值(值域),此時(shí),利用“洛必達(dá)法則”可輕松處理.

三,主參換位

例7對(duì)于任意a∈[?1,1],函數(shù)f(x)=ax2+(2a?4)x+3?a＞0恒成立,求x的范圍.

解析按照一般思路,我們需要對(duì)二次函數(shù)f(x)的系數(shù)a進(jìn)行分類討論求解,即a=0時(shí),f(x)是一次函數(shù),當(dāng)a≠0,f(x)是二次函數(shù)這樣使求解過程比較復(fù)雜.利用變換主元法思想,將參數(shù)a看成變量,原變量x看成參數(shù),將題目轉(zhuǎn)化成一次函數(shù),使得求解問題變得更容易.令g(a)=(x2+2x?1)a?4x+3,對(duì)任意a∈[?1,1],g(a)＞0恒成立即x的取值范圍是

評(píng)注某些含參不等式恒成立問題,在分離參數(shù)時(shí)會(huì)遇到討論的麻煩或者即使能分離出參數(shù)與變量,但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí),可考慮變換思維角度,即把變?cè)c參數(shù)換個(gè)位置,會(huì)容易解決.利用變換主元法求解恒成立問題的基本條件是在給出的題目中,已知條件是參數(shù)的取值范圍和函數(shù),求解的是函數(shù)的變量取值范圍.

四．圖像分析法

例8若不等式(x?1)2＜logax在x∈(1,2)內(nèi)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___.

解析設(shè)f1(x)=(x?1)2,f2(x)=logax,要使當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式(x?1)2＜logax恒成立,只需f1(x)= (x?1)2在(1,2)上的圖像在f2(x)=logax圖像的下方即可．

圖1

當(dāng)0＜a＜1時(shí),顯然不成立;當(dāng)a＞1時(shí),如圖所示,要使x∈(1,2)時(shí)f1(x)=(x?1)2的圖像在f2(x)=logax的圖像下方,只需f1(2)≤f2(2),即 (2?1)2≤ loga2, loga2≥1,所以1＜a≤2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]．

評(píng)注本題只適合用圖像分析法解決,用參變分離或者轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的最值都很難進(jìn)行.

[1]邵春霞.從一道高考題談含參數(shù)不等式解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué), 2012(7):92-93.

[2]方志平.例談不等式恒成立、能成立、恰成立問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究, 2010,2010(12):43-45.

[3]羅元碧.淺議不等式恒成立問題 [J].讀寫算:教育教學(xué)研究, 2014(20).

[4]李曉波.結(jié)合“洛必達(dá)法則”巧解2016年全國新課標(biāo)1卷壓軸題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志:高中版,2016(7).

*本文系廣東省教育科學(xué)“十三五”課題(批準(zhǔn)號(hào)：2017YQJK134)《運(yùn)用“問題串”開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究》的研究成果.