亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        圓錐曲線離心率的取值范圍的求解策略

        2017-06-14 12:44:18向正銀
        理科考試研究·高中 2017年4期
        關鍵詞:離心率圓錐曲線

        摘要:求圓錐曲線離心率的取值范圍是解析幾何的一類重要題型,是各類考試的命題熱點.如何根據(jù)題設條件找到切入點,構造含離心率的不等式是解決這類問題的關鍵所在,也是學生普遍感到困惑之處,常用方法有:利用已知條件直接構造不等式;利用圓錐曲線的范圍及最值構造不等式;數(shù)形結合借助平面幾何知識構造不等式;利用判別式、均值不等式或其他基本不等式來構造不等式;利用函數(shù)的單調(diào)性構造不等式.

        關鍵詞:圓錐曲線;離心率;取值范圍

        作者簡介:向正銀(1971-),男,湖北省興山縣人,本科,中學高級教師,湖北省優(yōu)秀數(shù)學教師,主要從事解析幾何研究

        求橢圓與雙曲線離心率的取值范圍問題是高考中的熱點,構造不等式是核心問題,解決這類問題的常用方法有:利用已知條件直接構造不等式;利用圓錐曲線的范圍及最值構造不等式;數(shù)形結合借助平面幾何知識構造不等式;利用判別式、均值不等式或其他基本不等式來構造不等式;利用函數(shù)的單調(diào)性構造不等式.

        一、根據(jù)圓錐曲線的自身性質求離心率的取值范圍

        例1已知 F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點,P為橢圓上一點,且PF1·PF2=c2,則此橢圓離心率的取值范圍為()

        A33,1B13,12

        C33,22D0,22

        方法一(數(shù)形結合法)設P的坐標為(x0,y0),

        由PF1·PF2=c2,得x20+y20=2c2

        又因為P在橢圓上,得b≤2c≤a,

        聯(lián)立b2=a2-c2,2c≤a≤3c,33≤e≤22 .

        方法二(直接法)設P的坐標為(x0,y0),

        由PF1·PF2=c2,得x20+y20=2c,

        將y20=2c2-x20代入橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2,

        得x20=a4-2a2c2c2,由0≤x20≤a2得33≤e≤22.

        方法三(三角代換法)P在橢圓x2a2+y2b2=1上,

        設P的坐標為(acosθ,bsinθ),代入PF1·PF=c2,

        得cos2θ=2c2-b2a2-b2,由0≤cos2θ≤1,

        得2c≤a≤3c,33≤e≤22.

        方法四(焦半徑法)設∠F1PF2=α,

        由焦半徑公式得|PF1|=α+ex0,|PF2|=α-ex0,

        由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cosα=|F1F2|2,

        PF·PF2=c2,得|PF1||PF2|cosα= c2,

        從而解出x20=3c2-a2e2,

        由0≤x20≤a2得33≤e≤22.

        方法五(均值不等式法) 由余弦定理得

        |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosα=|F1F2|2,

        PF1·PF2=C2得|PF1||PF2|cosα= c2,

        代入上式得|PF1|2+|PF2|2=6c2,

        由橢圓定義得|PF1|+|PF2|=2a,

        根據(jù)均值不等式

        (|PF1|+|PF2|2)2≤|PF1|2+|PF2|22,

        得a2≤3c2,又因為

        |PF1||PF2|≤a2-c2,c2≤a2-c2,c2≤3a2,

        所以2c≤a≤3c,33≤e≤22.

        二、根據(jù)題目條件中已知參數(shù)的范圍求圓錐曲線的離心率的取值范圍

        例2(2015年重慶高考題)橢圓x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且過F2的直線交橢圓于P,Q兩點,且PQ⊥PF1.

        1若|PF1|=2-2,|PF2|=2-2,求橢圓的標準方程

        2若|PQ|=|λPF1|,且34≤λ≤43 ,試確定橢圓離心率的取值范圍.

        原解(1)由橢圓的定義,2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2.

        設橢圓的半焦距為C,由已知PQ⊥PF1,因此

        2c=|F1F2|

        =|PF1|2+|PF2|2

        =(2+2)2+(2-2)2=23,

        即c=3,從而b=a2-c2=1,

        故所求橢圓的標準方程為x24+y2=1

        (2)如題(2)圖,由PQ⊥PF1,|PQ|=λ| PF1 |,得

        |QF1|=|PF1|2+|PQ|2=1+λ2|PF1|,

        |F1Q|=1+λ2|PF1|,|PF1|+|F1Q|+|PQ|=4a,

        (1+λ+1+λ2)|PF1|=4a,

        |PF1|=4a1+λ+1+λ2,

        故|PF2|=2a-|PF1|=2a(λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ2,

        |PF1|2+|PF2|2=|PF2|2=(2c)2=4c2.

        [4a1+λ+1+λ2]2+[2a(λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ2]2 =4c2.

        兩邊除以4a2,得,

        [11+λ+1+λ2]2+[(λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ2]2 =e2

        若設t=1+λ+1+λ2,e2=(t-2)2+4t2=8(1t-14)2+12.

        由34≤λ<43,得14<1t≤13,進而12

        新解(1)|PF1|+|PF2|=2a=2-2+2+2=4,得a=2,

        ∵PQ⊥PF1,∴|PF1|2+|PF2|2 =|F1F2|2.

        ∴c2=3,c=3,b=1, 橢圓的標準方程為

        x24+y2=1.

        (2) |PQ|=λ| PF1 |,|F1Q|=1+λ2|PF1| ,

        |PF1|+|F1Q|+|PQ|=4a,

        (1+λ+1+λ2)|PF1|=4a,

        |PF1|=4a1+λ+1+λ2,設t=41+λ+1+λ2,

        34≤λ<43時單調(diào)遞減,所以1

        |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, |PF1|+|PF2|=2a聯(lián)立得

        |PF1|2-2a|PF1|+2a2=2c2,

        將t=41+λ+1+λ2代入,得

        a2t2-2a2t+2a2=2c2,t2-2t+2=2e2,

        解得e2=(t-1)2+12,1

        ∴22

        點評第1問根據(jù)勾股定理求a,根據(jù)橢圓定義求c,第2問原解計算量大,而且用到利用導數(shù)求范圍,學生很難算對,下面我通過整體換元,構造二次函數(shù),利用二次函數(shù)在指定區(qū)間上求離心率的取值范圍;這類問題的關鍵還是如何構造不等式求橢圓離心率的取值范圍.

        例3(2016年浙江高考理科試題)設橢圓C∶x2a2+y2=1(a>1)

        (Ⅰ)求直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長(用a,k表示)

        (Ⅱ)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點,求橢圓的離心率的取值范圍

        原解假設圓與橢圓的公共點有4個,由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同的點P,Q,滿足|AP|=|AQ|.記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.

        |AP|=2a2|k1|1+k211+a2k21,|AQ|=2a2|k2|1+k221+a2k22,

        故2a2|k1|1+k211+a2k21=2a2|k2|1+k221+a2k22,

        所以(k21-k22)[1+k21+k22+a2(2-a2)k21k22]=0.

        由于k1≠k2,k1,k2>0得1+k21+k22+a2(2-a2)·k21k22=0,

        因此1k21+11k22+1=1+a2(a2-2),①

        因為①式關于k1,k2的方程有解的充要條件是1+a2(a2-2)>1,所以a>2.

        因此,任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1

        由e=ca=a2-1a得,所求離心率的取值范圍為0

        新解任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點,則以A(0,1)為圓心,2為半徑的圓與橢圓最多有一個公共點,設圓的方程為x2+(y-1)2=4,將它與橢圓C∶x2a2+y2=1(a>1)聯(lián)立,得(1-a2)y2-2y+a2-3=0,因為a>1則Δ≥0恒成立,設f(y)=(a2-1)y2+2y+3-a2要使任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點,因為f(-1)=0,f(1)=4,所以只要-22(a2-1)≤-1,又因為a>1于是得1

        點評原解通過反面思考,圓與橢圓的公共點有4個,由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同的點P,Q滿足|AP|=|AQ|,構造方程1+k21+k22+a2(2-a2)k21k22=0,利用k1,k2的方程有解的充要條件是1+a2(a2-a)>1,解出a>2.任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1

        參考文獻:

        [1]白雪峰求圓錐曲線離心率的解題策略[J]中學生數(shù)學,2006(23)

        [2]席青云圓錐曲線的離心率[J]語數(shù)外學習,2012(04)

        猜你喜歡
        離心率圓錐曲線
        淺淡橢圓的參數(shù)方程在高考解題中的應用
        淺析圓錐曲線的相似性
        祖國(2017年4期)2017-04-20 10:16:04
        萬紫千紅總是春
        淺談橢圓離心率的求法
        圓錐曲線中定點問題的常見方法
        考試周刊(2016年101期)2017-01-07 18:14:48
        探究發(fā)散思維教學法在高中數(shù)學課堂教學中的應用
        考試周刊(2016年55期)2016-07-18 22:58:16
        解析高考數(shù)學圓錐曲線的復習策略
        考試周刊(2016年46期)2016-06-24 22:15:48
        高中圓錐曲線綜合題求解之初探
        考試周刊(2016年37期)2016-05-30 13:44:20
        例談離心率取值范圍的求解策略
        求知導刊(2016年10期)2016-05-01 12:43:14
        基于考題分析的圓錐曲線內(nèi)容備考探究
        考試周刊(2016年14期)2016-03-25 02:30:35
        人妻熟妇乱又伦精品hd| 亚洲成AV人国产毛片| 白白白色视频在线观看播放 | 国产毛片网| 男女上床视频在线观看| 久久伊人亚洲精品视频| 伊人色综合久久天天五月婷| 国产精品成人av在线观看| 国产av无码专区亚洲aⅴ| 亚洲本色精品一区二区久久| 爱情岛论坛亚洲永久入口口| 一道久在线无码加勒比| 欧美人与物videos另类| 谷原希美中文字幕在线| 日韩精品久久无码中文字幕| 成人无码视频| 午夜一区二区三区av| 免费的小黄片在线观看视频| 久久久久久曰本av免费免费| 夜夜综合网| 人妻中出中文字幕在线| 久久婷婷五月综合色奶水99啪| 青青草原精品99久久精品66| 性一交一乱一伦一视频一二三区| 81久久免费精品国产色夜| 性猛交ⅹxxx富婆视频| 国产福利姬喷水福利在线观看| 国产AV无码专区亚洲AWWW| 最新国产女主播在线观看| 少妇下面好紧好多水真爽播放| 国产日韩久久久精品影院首页| 中文字幕视频一区二区| 国产精品久久久久久久久绿色| 日本亚洲国产一区二区三区| 日本国产在线一区二区| 日本一区三区三区在线观看| 无码国模国产在线观看| 无码一区二区三区在线在看| 日本免费看一区二区三区| 免费无码av片在线观看播放| 国产AV边打电话边出轨|