摘 要：證明題是高中數(shù)學(xué)題中的難題之一，如果將數(shù)學(xué)歸納法巧妙地應(yīng)用在證明題中，將會(huì)大大降低題目難度。本文結(jié)合相關(guān)案例作具體說明，以此來解決我們學(xué)生的證明難問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法 高中數(shù)學(xué) 解題技巧

引言

高中數(shù)學(xué)是一門邏輯性非常強(qiáng)的課程，有相當(dāng)一部分知識(shí)非常抽象，我們高中生對(duì)一些抽象概念非常難理解，因而在做題時(shí)更不會(huì)靈活運(yùn)用，特別是遇到一些證明題，看到題目后往往無法下手，不知道如何來證明。因此巧妙地使用數(shù)學(xué)歸納法，使得一些難題迎刃而解。[1]

一、數(shù)學(xué)歸納法概述

最早使用數(shù)學(xué)歸納法的證明出現(xiàn)于FrancescoMaurolico的Arithmeticorumlibriduo，在1575年。Maurolico利用遞推關(guān)系巧妙的證明出了前個(gè)奇數(shù)的總和是，由此揭開了數(shù)學(xué)歸納法之謎。

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)上用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)中常用來證明等式成立、不等式成立、數(shù)或是式子的整除、數(shù)列通項(xiàng)公式成立等，這種方法在使用時(shí)是由下面兩步組成：[2]

一是：證明當(dāng)時(shí)表達(dá)式成立。這一步是遞推的基礎(chǔ)。

二是：證明如果當(dāng)時(shí)成立，那么當(dāng)時(shí)同樣成立。這一步是遞推的依據(jù)。[3]

數(shù)學(xué)歸納法將式子的有限和無限聯(lián)系在一起，我們學(xué)生學(xué)會(huì)這種方法，就能將無限種情況變?yōu)橛邢迋€(gè)步驟，將復(fù)雜的證明題簡單化。

二、數(shù)學(xué)歸納法在高中證明題中的應(yīng)用舉例

例1 試證：對(duì)于任意的正整數(shù)，都有。

證明：設(shè)

當(dāng)時(shí)，，故。

假設(shè)時(shí)成立，即

由于當(dāng)時(shí)，

因此，即時(shí)結(jié)論成立。

由以上可知對(duì)于任意的正整數(shù)，都有。

此例的技巧在于把整理成，進(jìn)而又把整理成，最后證得結(jié)論成立。

例2 對(duì)于任意大于1的正整數(shù)，求證：

證明：當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)結(jié)論成立。

假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即

由于當(dāng)時(shí)，

因此當(dāng)時(shí)結(jié)論成立

由以上可知對(duì)于任意大于1的正整數(shù)都有

成立。

此例的技巧在于把整理成

，進(jìn)而又把：

縮小為，最后證得結(jié)論成立。

例3 求證：對(duì)于任意的正整數(shù)，都有

證明：當(dāng)時(shí)，故此時(shí)結(jié)論成立。

假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即

由于當(dāng)時(shí)，

因此當(dāng)時(shí)結(jié)論成立

由以上可知對(duì)于任意的正整數(shù)，都有

。

此例的技巧在于運(yùn)用三角公式把化成。

結(jié)語

綜上所述，數(shù)學(xué)歸納法常用于證明等式、不等式、證明數(shù)或者是式子的整除，證明步驟必需完整準(zhǔn)確，不能跳過一些重要的推理步驟。用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式成立時(shí)，有些等式在證明正確時(shí)，需要恒等變形，技巧較高，本文只給出了一些技巧，更多的技巧還需要我們高中生在做題中繼續(xù)探索。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李欣雨? 在證明數(shù)列題中應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的研究[J]. 亞太教育， 2016年3月：26.

[2]邢文巧 數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究[J]. 基教與成才研究， 2017年4月第11期（總第531期）：131.

[3] 劉國良 探討歸納思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究， 2015年10月：64.

作者簡介

李昕玥（2000-），女，漢族，陜西西安人，西安市第八十五中學(xué)。